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10 4穩(wěn)定性與Liyaponov方法 1 理解Liyaponov穩(wěn)定性的定義 10 4 1Liyaponov關于穩(wěn)定性的定義 1 系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 設初始條件 t0 x0 的唯一解為 稱為從初始條件 t0 x0 出發(fā)的運動軌跡 運動 狀態(tài)軌線 的xe 稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 2 掌握穩(wěn)定性的判定方法 要求 滿足 例 其平衡點為 結論 非線性系統(tǒng)的平衡點可能不唯一 也可能無 任何一個平衡狀態(tài)可以通過坐標平移至坐標原點xe 0處 2 關于穩(wěn)定性的幾個定義 定義 稱為歐幾里德范數(shù)即x與xe的距離 1 Liyaponov意義下的穩(wěn)定 稱平衡狀態(tài)xe為Liyaponov意義下的穩(wěn)定 簡稱穩(wěn)定 2 漸近穩(wěn)定 xe穩(wěn)定且從初始狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌線收斂于xe 3 大范圍漸近穩(wěn)定 對所有的初始狀態(tài)x0都漸近穩(wěn)定 4 不穩(wěn)定 由s 內出發(fā)的狀態(tài)軌線至少有一根會越過s 稱xe不穩(wěn)定 結論 x t 有界 xe穩(wěn)定 x t 有界且 0 xe漸近穩(wěn)定 x t 無界 xe不穩(wěn)定 10 4 2Liyaponov第一法 線性定常 時不變 系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe 0漸近穩(wěn)定的充分必要條件是A的所有特征值全部具有負實部 為內部穩(wěn)定性 若系統(tǒng)對于有界輸入 所引起的輸出有界 則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定 輸出穩(wěn)定的充要條件是W s C SI A 1b的極點全部位于s的左半平面 例1判定系統(tǒng) 的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性 解 由 得 故系統(tǒng)平衡狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的 由 s 1位于s的左半平面 因而系統(tǒng)輸出穩(wěn)定 結論 只有系統(tǒng)無零 極點對消且系統(tǒng)的特征值與其極點相同時 系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性才與其輸出穩(wěn)定性一致 10 4 3Liaponov第二法 基本思想 構造虛擬廣義的能量函數(shù)V x 以此判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 適用范圍 不能用傳統(tǒng)方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性的情況下 定義V 0 0的V x 為Liaponov函數(shù) 亦稱能量函數(shù) 是標量函數(shù) 1 V x 的符號性質 正定 半正定 負定 半負定 不定 V x 0 V x 0 V x 0 V x 0 V x 0或V x 0 例對于x x1x2x3 T V x x12 x22 x32 V x x1 x2 2 x32 V x x12 x22 2 二次型標量函數(shù) 正定 半正定 半正定 各主子行列式的值均 0 且 P 0 P半負定 P為實對稱陣 存在正交陣T 使當 時 有 稱為二次標準型 V x 正定的充要條件是P的特征值均大于0 P的符號性質 V x 正定 P正定 記為P 0 3 希爾維斯特判據(jù) 實對稱陣P符號性質的充分必要條件是 各主子行列式的值均大于0 P正定 偶數(shù)階和奇數(shù)階主子行列式的值分別大于0和小于0 P負定 各主子行列式的值均 0 且 P 0 P半正定 V x 負定 P負定 記為P 0 V x 半正定 P半正定 記為P 0 V x 半負定 P半負定 記為P 0 行列式的值為1 逆陣和轉置陣相等 4 Liaponov穩(wěn)定性判據(jù) 的平衡狀態(tài)為xe 0 有V x 滿足 對x有連續(xù)一階偏導 V x 正定 則 為半負定 但對任意的x t0 0除x 0外的其它x 也漸近穩(wěn)定 注意 不能說找不到Liaponov函數(shù)V x 就作出否定的結論 例1判定 設 為負定 則漸近穩(wěn)定 為正定 不穩(wěn)定 為半負定 則穩(wěn)定 不恒為0 更進一步 x 有V x 則為大范圍漸近穩(wěn)定 的穩(wěn)定性 平衡狀態(tài)必須是坐標原點即xe 0 否則須坐標平移 解 xe 0 設 易知其正定 則 故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 且當 x 時 有V x 所以為大范圍漸近穩(wěn)定 例2判定 的穩(wěn)定性 解 xe 0 設 易知其正定 則 半負定 負定 若 必有x2 0 由于 因此必然x1 0 只在平衡點才為0 其余不為0 故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 亦即 且當 x 時 有V x 所以為大范圍漸近穩(wěn)定 例3確定 平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定的條件 解 由 設 易知其正定 則 故系統(tǒng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定 且當 x 時 有V x 所以該系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定 條件是a 0 當a 0時半負定 可得xe 0 若 必有x2 0 由于 因此必然x1 0 亦即 不恒為0 例4確定 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 解 由狀態(tài)方程可得 平衡狀態(tài)非坐標原點 設 即 則狀態(tài)方程變?yōu)?Liaponov函數(shù)的說明 2 必須是應用于穩(wěn)定性判據(jù)的標量函數(shù) 且有一階連續(xù)偏導 1 構造Liaponov函數(shù)沒有確定的方法 要求有一定的技巧 一般用于非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 3 非唯一但不影響結論的正確性 4 最簡單的形式為二次型 作業(yè) P66610 39 10 43 設 易知其正定 則 且當 所以該系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定 半負定 若 必有 由于 因此必然 亦即 不恒為0 易知其平衡狀態(tài)為坐標原點 時 有 課堂思考 確定 平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定的條件 5 Liaponov方法的應用 1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 判據(jù) 的平衡狀態(tài)xe 0大范圍漸近穩(wěn)定 對于任意給 定的正定實對稱矩陣Q 存在正定的實對稱矩陣P 滿足Liaponov方程 是系統(tǒng)的Liaponov函數(shù) 且 說明 通常取Q I 舉例 的穩(wěn)定性 判定系統(tǒng) 有 設 解 解得 且系統(tǒng)的Liaponov函數(shù)是 Riccati矩陣微分方程 解為 P正定 系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定 2 線性時變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 的平衡狀態(tài)xe 0大范圍漸近穩(wěn)定 對于任意 給定的連續(xù)實對稱矩陣正定Q t 必存在一個連續(xù)對稱正定的矩陣P t 滿足 P 使下列矩陣 平衡狀態(tài)xe 0漸近穩(wěn)定的充分條件是 任給正定實對稱矩陣 亦即Krasovski法 5 非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的Jacobian矩陣法 是系統(tǒng)的Liaponov函數(shù) 且 意給定的正定實對稱矩陣Q 必存在一個正定的實對稱矩陣P 滿足 對于任 平衡狀態(tài)xe 0大范圍漸近穩(wěn)定 4 線性時變離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 且 是系統(tǒng)的Liaponov函數(shù) 意給定的正定實對稱矩陣Q 必存在一個正定的實對稱矩陣P 滿足 平衡狀態(tài)xe 0大范圍漸近穩(wěn)定 對于任 3 線性定常離散時間系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù) 解 例分析系統(tǒng) 在xe 0的穩(wěn)定性 若 x 有V x 則為大范圍漸近穩(wěn)定 是系統(tǒng)的一個Liaponov函數(shù) 正定 且 取P I 則 Q x 正定 且 x 有 則系統(tǒng)的平衡點xe 0為大范圍漸進穩(wěn)定