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1、第5課時橢圓第八章平面解析幾何第八章平面解析幾何回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1橢圓的定義橢圓的定義(1)平面內一點平面內一點P與兩定點與兩定點F1、F2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)于常數(shù)(大于大于F1F2)的點的軌跡，即的點的軌跡，即_.PF1PF22aF1F2若常數(shù)等于若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是，則軌跡是_.若常數(shù)小于若常數(shù)小于F1F2，則軌跡，則軌跡_注意：一定要注意橢圓定義中限制條注意：一定要注意橢圓定義中限制條件件“大于大于F1F2”是否滿足是否滿足線段線段F1F2不存在不存在(2)平面內點平面內點M與定點與定點F的距離和它到的距離和它到定直線定直線l的距離的

2、距離d的比是常數(shù)的比是常數(shù)e(0e1)的點的軌跡，即的點的軌跡，即_.定點定點F為橢圓的為橢圓的_，定直線，定直線l為橢為橢圓的圓的_焦點焦點該焦點對應的準線該焦點對應的準線2橢圓中的幾何量橢圓中的幾何量(1)長軸長軸A1A2_，短軸，短軸B1B2_，焦距焦距F1F2_，且滿足，且滿足_.(2)離心率：離心率：e_(0e0)，c2a2b2離離心心率率_通徑通徑_提示：提示：不對，此處并沒有指明不對，此處并沒有指明ab0，即此方程中，即此方程中a2，b2與標準方程中與標準方程中a2，b2的意義不同的意義不同答案：答案：(3,4)(4,5)答案：答案：16或或144橢圓橢圓25x29y2225的長

3、軸長、的長軸長、短軸長、離心率依次是短軸長、離心率依次是_考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1橢圓的定義及標準方程橢圓的定義及標準方程例例1(1)求過點求過點A(2,0)且與圓且與圓x24xy2320內切的圓的圓心的軌跡方程內切的圓的圓心的軌跡方程；(2)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的長是短軸長的3倍，并且過點倍，并且過點P(3,0)，求，求橢圓的方程；橢圓的方程；【解解】(1)將圓的方程化為標準形式將圓的方程化為標準形式(x2)2y262，圓心坐標為，圓心坐標為B(2,0)，半徑為，半徑為6.作出草圖如下作出草圖如下設動圓圓心設動圓圓心M

4、的坐標為的坐標為(x，y)，由于動，由于動圓與已知圓相內切，設切點為圓與已知圓相內切，設切點為C.已知已知圓圓(大圓大圓)半徑與動圓半徑與動圓(小圓小圓)半徑之差等半徑之差等于兩圓心的距離，即于兩圓心的距離，即|BC|MC|BM|，而，而|BC|6，|BM|CM|6，又又|CM|AM|，|BM|AM|6，根據(jù)橢圓的定義知點根據(jù)橢圓的定義知點M的軌跡是以點的軌跡是以點B(2,0)和點和點A(2,0)為焦點、線段為焦點、線段AB的中點的中點(0,0)為中心的橢圓為中心的橢圓(3)設橢圓的方程為設橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0且且mn)橢圓經過橢圓經過P1、P2點，點，P1、P2點的點的坐標

5、適合橢圓方程，坐標適合橢圓方程，【名師點評名師點評】(1)根據(jù)已知條件求橢根據(jù)已知條件求橢圓方程時，主要有以下幾個步驟：圓方程時，主要有以下幾個步驟：定位：由條件確定橢圓的中心、焦點定位：由條件確定橢圓的中心、焦點所在的坐標軸，從而確定所求的方程所在的坐標軸，從而確定所求的方程是標準方程如無法確定焦點所在的是標準方程如無法確定焦點所在的坐標軸，則要分焦點在坐標軸，則要分焦點在x軸上和焦點在軸上和焦點在y軸上兩種情況討論；軸上兩種情況討論；定量：當根據(jù)條件設出橢圓方程后定量：當根據(jù)條件設出橢圓方程后，要設法建立基本量，要設法建立基本量a、b、c滿足的滿足的方程組，解方程組求出基本量方程組，解方程

6、組求出基本量(2)若解題過程中不涉及橢圓的焦點坐若解題過程中不涉及橢圓的焦點坐標、準線方程等量時，可設橢圓方程標、準線方程等量時，可設橢圓方程是是mx2ny21(m0，n0，mn)這樣可避開討論這樣可避開討論變式訓練變式訓練1在在ABC中，已知中，已知B、C坐標，分坐標，分別為別為B(3,0)和和C(3,0)且且ABC的周的周長為長為16，則頂點，則頂點A的軌跡方程為的軌跡方程為_考點考點2橢圓的性質及應用橢圓的性質及應用主要問題有兩類：一類根據(jù)橢圓方程主要問題有兩類：一類根據(jù)橢圓方程研究橢圓的幾何性質，另一類根據(jù)橢研究橢圓的幾何性質，另一類根據(jù)橢圓幾何性質，綜合其他知識求橢圓方圓幾何性質，綜

7、合其他知識求橢圓方程或者研究其他問題程或者研究其他問題例例2 (1)若F1PF260，求PF1F2的面積； (2)若存在點P，使F1PF290，求橢圓離心率的取值范圍； (3)若四邊形ABCD的內切圓恰好過焦點，求橢圓離心率【名師點評名師點評】題中題中PF1F2稱為橢圓稱為橢圓的的“焦點三角形焦點三角形”，根據(jù)，根據(jù)“焦點三角焦點三角形形”的特征，解題的主要途徑是：橢的特征，解題的主要途徑是：橢圓的兩個定義圓的兩個定義(或焦半徑公式或焦半徑公式)和正、和正、余弦余弦(或勾股或勾股)定理，以及數(shù)形結合思定理，以及數(shù)形結合思想的應用想的應用考點考點3與橢圓有關的綜合問題與橢圓有關的綜合問題已知圓已

8、知圓O：x2y28交交x軸于軸于A，B兩點，曲線兩點，曲線C是以是以AB為長軸，直為長軸，直線線l：x4為準線的橢圓為準線的橢圓例例3(1)求橢圓的標準方程；求橢圓的標準方程；(2)若若M是直線是直線l上的任意一點，以上的任意一點，以OM為直徑的圓為直徑的圓K與圓與圓O相交于相交于P，Q兩點兩點，求證：直線，求證：直線PQ必過定點必過定點E，并求出，并求出點點E的坐標；的坐標；【名師點評名師點評】解決橢圓綜合題往往解決橢圓綜合題往往要進行復雜的計算，為避免較為復雜要進行復雜的計算，為避免較為復雜的計算要注意利用向量的坐標運算或的計算要注意利用向量的坐標運算或韋達定理韋達定理(1)求橢圓求橢圓C

9、的方程；的方程；(2)若圓若圓M與與y軸有兩個交點，求點軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；橫坐標的取值范圍；(3)是否存在定圓是否存在定圓N，使得圓，使得圓N與圓與圓M恒相切？若存在，求出圓恒相切？若存在，求出圓N的方程；的方程；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由(3)存在圓存在圓N：(x1)2y216與圓與圓M恒相切，圓心恒相切，圓心N為橢圓的左焦點為橢圓的左焦點F1.由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，|MF1|MF2|2a4，|MF1|4|MF2|.兩圓相內切兩圓相內切方法技巧方法技巧1橢圓的定義有兩種形式，習慣上稱橢圓的定義有兩種形式，習慣上稱為第一定義和第二定義在第一定義中為第

10、一定義和第二定義在第一定義中，描述橢圓為，描述橢圓為“到兩定點的距離之和等到兩定點的距離之和等于定長的點的集合于定長的點的集合(軌跡軌跡)”，其中限制，其中限制條件為條件為“兩定點間距離小于定長兩定點間距離小于定長”，這，這個定義中的條件是常考內容；個定義中的條件是?？純热荩辉诘诙x中，描述橢圓為在第二定義中，描述橢圓為“到定點到定點和定直線的距離之比等于常數(shù)和定直線的距離之比等于常數(shù)e(0e1)的點的軌跡的點的軌跡”，其中定點和，其中定點和定直線被稱為橢圓的焦點和相應準線定直線被稱為橢圓的焦點和相應準線兩種定義形式各有側重，兩種定義形式各有側重， 前者對從圓到橢圓的過渡起到一定作用，容易形

11、成距離之和為定值的“焦點三角形”；后者的作用是將兩種不同性質的距離(到定點的距離，到定直線的距離)進行了轉化(特別提示：“化斜為直”的應用)因此，在解題中凡涉及點到焦點距離時，可先想到用定義來解決，往往有事半功倍之效2橢圓的標準方程有兩種形式，其結橢圓的標準方程有兩種形式，其結構簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義構簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏明確，在解題時要防止遺漏 并能熟練地應用于解題若已知焦點在x軸或y軸上，則標準方程惟一；若無法確定焦點位置，則需考慮兩種形式3求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法定義外，常用待定系數(shù)法(先

12、定性、再先定性、再定型、后定參定型、后定參)當橢圓的焦點位置不明確而無法確定當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，其標準方程時，4熟練掌握常用基本方法的同時，注熟練掌握常用基本方法的同時，注意體會解題過程，并優(yōu)化解題思維，意體會解題過程，并優(yōu)化解題思維，特別是化簡的過程需仔細揣摩特別是化簡的過程需仔細揣摩失誤防范失誤防范1在橢圓類型不確定時，忘記討論在橢圓類型不確定時，忘記討論焦點在焦點在x軸和軸和y軸上兩種形式軸上兩種形式2直線與橢圓相交，聯(lián)立方程后，直線與橢圓相交，聯(lián)立方程后，判別式判別式0，此條件易漏掉，此條件易漏掉3橢圓的長軸長為橢圓的長軸長為2a，短軸長為，短軸長為2b，應用

13、時，錯記為，應用時，錯記為a、b.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預測命題預測本節(jié)內容是高考必考內容之一，對近幾本節(jié)內容是高考必考內容之一，對近幾年江蘇高考試題分析可以看出，對橢圓年江蘇高考試題分析可以看出，對橢圓的考查常在大題中，主要是以橢圓為載的考查常在大題中，主要是以橢圓為載體，利用橢圓的基本量及性質，研究直體，利用橢圓的基本量及性質，研究直線、圓等相關圖形的性質及位置關系，線、圓等相關圖形的性質及位置關系，難度中等偏難，對計算能力要求較高難度中等偏難，對計算能力要求較高，預測，預測2013年高考可能仍延續(xù)這一方年高考可能仍延續(xù)這一方向，但向量等知識和橢圓綜合考查的向，但向量等知識

14、和橢圓綜合考查的命題趨勢較強應予以高度關注命題趨勢較強應予以高度關注規(guī)范解答規(guī)范解答例例 設過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.【解解】由題設得由題設得A(3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)(1)設點設點P(x，y)，則則PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由由PF2PB24，2分分得得(x2)2y2(x3)2y24， 得kMDkND，所以直線MN過D點 因此，直線MN必過x軸上的定點(1,0).16分【得分技巧得分技巧】解決本題的關鍵在于解決本題的關鍵在于(1)會用直接法求曲線的軌跡方程，會用直接法求曲線的軌跡方程，(2)會求兩曲線交點，會求兩曲線交點，(3)能發(fā)現(xiàn)能發(fā)現(xiàn)kMDkND.【失分溯源失分溯源】本題難度不大，但對本題難度不大，但對計算能力要求較高，本題絕大部分考計算能力要求較高，本題絕大部分考生失分都在計算不準確生失分都在計算不準確