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高中數(shù)學(xué) 332利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課件 新人教B版選修1

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1、 1知識(shí)與技能 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值,以及閉區(qū)間上多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值 2過(guò)程與方法 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極大值、極小值和閉區(qū)間上的最大值、最小值的方法 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性,通過(guò)對(duì)函數(shù)的極值與最值的類(lèi)比,體驗(yàn)知識(shí)間的聯(lián)系,逐步提高科學(xué)地分析、解決問(wèn)題的能力 本節(jié)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求函數(shù)的極值 本節(jié)難點(diǎn):函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值時(shí),首先要確定函數(shù)的定義域;其次,為了清楚起見(jiàn),可用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格,判斷導(dǎo)函

2、數(shù)在各個(gè)小開(kāi)區(qū)間的符號(hào) 求函數(shù)的最大值和最小值,需要先確定函數(shù)的極大值和極小值,極值是一個(gè)局部概念并且不唯一,極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系,極大值可能比極小值大,也可能比極小值小 f(x0)0只是函數(shù)f(x)在x0取得極值的必要條件,不是充分條件例如:函數(shù)f(x)x3,f(0)0,但x0不是f(x)x3的極值點(diǎn) 1已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x.對(duì)于包含x0在內(nèi)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x,如果都有,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得,并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè) ;如果都有,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得,并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值與極小值統(tǒng)稱為,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為f(x)

3、f(x0)極小值極小值點(diǎn)極值極值點(diǎn) 2假設(shè)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上的圖象是一條 ,該函數(shù)在a,b上一定能夠取得 與,該函數(shù)在(a,b)內(nèi)是 ,該函數(shù)的最值必在取得連續(xù)不斷的曲線最大值最小值可導(dǎo)的極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn) 3當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí),判斷f(x0)是否存在極大(小)值的方法是: (1)如果在x0附近的左側(cè),右側(cè),那么f(x0)是極大值; (2)如果在x0附近的左側(cè),右側(cè),那么f(x0)是極值; (3)如果f(x)在點(diǎn)x0的左右兩側(cè)符號(hào)不變,則f(x0)函數(shù)f(x)的極值f(x)0f(x)0f(x)0小不是 例1求函數(shù)yx312x6的極值 解析(1)y3x2123(x2)令y0

4、,解得x12,x22.當(dāng)x變化時(shí),y,y的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)y00y極小值10極大值22 當(dāng)x2時(shí),y有極小值,并且y極小值f(2)10; 而當(dāng)x2時(shí),y有極大值,并且y極大值f(2)22. 規(guī)律方法一般地,求函數(shù)yf(x)的極值的步驟是: (1)求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x); (2)解方程f(x)0,得方程的根x0(可能不止一個(gè)); (3)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值 求函數(shù)f(x)x33x29x5的極值 解析f(x)3x26x9. 解方程3x26x90,得x11,

5、x23. 當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)單調(diào)遞增10單調(diào)遞減22單調(diào)遞增 因?yàn)?,?dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極大值,且極大值為f(1)10;當(dāng)x3時(shí)函數(shù)取得極小值,且極小值為f(3)22. 例2已知f(x)ax5bx3c在x1處有極大值為4,極小值為0,試確定a、b、c值 分析對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論是本題的難點(diǎn) 解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由題意,f(x)0應(yīng)有根x1,故5a3b,于是f(x)5ax2(x21) (1)當(dāng)a0時(shí),x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)極大值極小值 (2)當(dāng)a0時(shí),x(,1)1(

6、1,1)1(1,)f(x)00f(x)極小值極大值 說(shuō)明本題從逆向思維的角度出發(fā)根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行逆向聯(lián)想,合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,使抽象問(wèn)題具體化 例3求函數(shù)f(x)x42x23(x3,2)的最大值和最小值 解析f(x)4x34x4x(x1)(x1) 由f(x)0得x0或x1或x1, 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x3(3,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60極大值4極小值3極大值45 當(dāng)x3時(shí),f(x)取得最小值60, 當(dāng)x1或x1時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值4. 規(guī)律方法函數(shù)最值的求法 求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟如下: (1)

7、求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x); (2)解方程f(x)0,求出使得f(x)0的所有點(diǎn); (3)求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (4)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的是函數(shù)的最大值,最小的是函數(shù)的最小值 求函數(shù)f(x)x33x26x10在區(qū)間1,1上的最值 解析f(x)3x26x63(x1)23,所以f(x)0在區(qū)間1,1上恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是單調(diào)遞增函數(shù),故當(dāng)x1時(shí),函數(shù)取得最小值f(1)20;當(dāng)x1時(shí),函數(shù)取得最大值f(1)6. 例4設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取得極值 (1)求a,b的值; (2)若對(duì)

8、于任意的x0,3,都有f(x)0. 所以當(dāng)x1時(shí),f(x)取得極大值f(1)58c, 又f(0)8c,f(3)98c. 則當(dāng)x0,3時(shí),f(x)的最大值為f(3)98c, 因?yàn)閷?duì)于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立, 所以98cc2,解得c9, 因此c的取值范圍為(,1)(9,) 規(guī)律方法(1)不等式恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系,解決有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題,通常轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解: cf(x)恒成立cf(x)max; cf(x)恒成立cf(x)min. (2)高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問(wèn)題,通常采用導(dǎo)數(shù)法解決 上例改為“若對(duì)任意的x0,3都有f(x)c2成立,求c的取值范圍”,如何解答

9、? 解析由例題可知 f(x)2x39x212x8c, 若對(duì)于任意的x0,3,都有f(x)c2成立,只需f(x)在x0,3上的最小值大于c2即可 又當(dāng)x1或x2時(shí),f(x)0, 當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f(x)00極大值58c 可見(jiàn)函數(shù)f(x)在0,3上的最小值為8c, f(x)c2恒成立,等價(jià)于8cc2, 解得0c8. 例5已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值為0,求常數(shù)a,b的值 誤解因?yàn)閒(x)在x1時(shí)有極值為0,且f(x)3x26axb, 所以即 解得或 因此常數(shù)a1時(shí),b3;a2時(shí),b9. 辨析根據(jù)極值的定義,函

10、數(shù)先減后增為極小值,函數(shù)先增后減為極大值,此題未驗(yàn)證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性 正解由錯(cuò)解得當(dāng)a1,b3時(shí),f(x)3x26x33(x1)20, 所以f(x)在R上為增函數(shù),無(wú)極值,故舍去 當(dāng)a2,b9時(shí),f(x)3x212x93(x1)(x3) 當(dāng)x(3,1)時(shí),f(x)為減函數(shù), 當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)為增函數(shù), 所以f(x)在x1處取得極小值,因此a2,b9. 一、選擇題 1若函數(shù)yf(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),則f(x)0是x0為函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 答案B 解析如yx3,y3x2,y|x00,但x0不是函數(shù)

11、yx3的極值點(diǎn) 答案A 答案B 二、填空題 4函數(shù)f(x)x(xm)2在x2處有極大值,則常數(shù)m的值為_(kāi) 答案6 解析f(x)x(xm)2x32mx2m2x, f(x)3x24mxm2,由題意得,f(2)0, m6或2, 當(dāng)m2時(shí),函數(shù)f(x)在x2處取極小值,故m6. 答案01 三、解答題 6已知函數(shù)f(x)x33x29x11. (1)寫(xiě)出函數(shù)的遞減區(qū)間; (2)討論函數(shù)的極大值或極小值,如有試寫(xiě)出極值 解析f(x)3x26x93(x1)(x3), 令f(x)0,得x11,x23. x變化時(shí),f(x)的符號(hào)變化情況及f(x)的增減性如下表所示:x(,1)1(1,3)1(3,)f(x)00f(x)增極大值f(1)減極小值f(3)增 (1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(1,3) (2)由表可得,當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有極大值為f(1)16;當(dāng)x3時(shí),函數(shù)有極小值為f(3)16.

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