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1、高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想 【思想方法詮釋】 一、數(shù)形結(jié)合的思想 所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合． 數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是

2、代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化． 二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種： 1．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； 2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； 3．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； 4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式； 5．構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題； 6．構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； 7．構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)； 8．研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。 三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)

3、發(fā)揮奇特功效，具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1．準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域； 2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。 四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)： 1．要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； 2．要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； 3．要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； 4．精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問

4、題求解。 【核心要點(diǎn)突破】 要點(diǎn)考向1：利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題 例1：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求： （1）點(diǎn)（a,b）對應(yīng)的區(qū)域的面積； （2）的取值范圍； （3）(a-1)2+(b-2)2的值域． 思路精析：列出a,b滿足的條件→畫出點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的區(qū)域→求面積→根據(jù)的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域． 解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在

5、區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)， 由此可得不等式組 由，解得A（-3，1）． 由，解得C（-1，0）． ∴在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC（不包括邊界）． （1）△ABC的面積為（h為A到Oa軸的距離）． （2）幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線的斜率． 由圖可知 （3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方， 注：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有： （1）連線的斜率； （2）之

6、間的距離； （3）為直角三角形的三邊； （4）圖象的對稱軸為x=．只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法． 要點(diǎn)考向2：用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題 例2：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1);②當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是（ ） (A)5 (B)7 (C)9 (D)10 (2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]時(shí)，恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的范圍． 思

7、路精析：（1）畫出f(x)的圖象→畫出y=lgx的圖象→數(shù)出交點(diǎn)個(gè)數(shù)． （2）f(x)≤g(x)變形為→畫出的圖象→畫出的圖象→尋找成立的位置 解析：（1）選C．由題間可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)．又f(x) =lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)．由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)． （2）f(x)≤g(x)，即，變形得，令…………①，………………② ①變形得，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓； ②表示斜率為，縱截距為1-a的平行直線系．設(shè)與圓相切的直線為AT，其傾斜角為，則有tan=,, 要使f(x)≤g(x)在x∈

8、[-4,0]時(shí)恒成立，則②成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5． 注：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)． （2）解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)（或多個(gè)）函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答． （

9、3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用 例3：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，且長軸長與短軸長的比是． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，，求證：直線的斜率為定值； （Ⅲ）求面積的最大值． 解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為． 由題意………………………………………………2分 解得 ，． 所以橢圓的方程為．………………………………………………4分 （Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜

10、率必存在，設(shè)的斜率為，則的直線方程為. 由得 .………………6分 設(shè)，，則 ， 同理可得， 則，. 所以直線的斜率為定值. ……………………………………8分 （Ⅲ）設(shè)的直線方程為. 由得. 由，得.……………………………………10分 此時(shí)，. 到的距離為， 則 . 因?yàn)槭古袆e式大于零， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以面積的最大值為．………………………………………………………13分 注：1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會(huì)有更大的功效． 2．此類題目的求解

11、要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決． 要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用 例4：如圖1,在直角梯形中,,,,為線段的中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示. (Ⅰ) 求證:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值. 解析:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故. 取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面, 面面,面,從而平面. …………………4分 ∴，又,. ∴平面. ………………………………………………6分 （Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,

12、,. ………………………………………………8分 設(shè)為面的法向量, 則即,解得. 令,可得. 又為面的一個(gè)法向量， ∴. ∴二面角的余弦值為. 注：1．應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置．其一般思路是：盡量建立空間直角坐標(biāo)系，將要證、要求的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算． 2．立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口． 【跟蹤模擬訓(xùn)練】 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1.方程lgx=si

13、nx的根的個(gè)數(shù)( ) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( ) A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+) 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面積為（ ） (A)2 (B)1 (C) (D) 4．函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（

14、 ） －2 3 y x 0 A． B．C． D． 5．不等式組有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 6．已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0

15、(x,y)|x+y+m≥0}，則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______. 三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分） 10．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且 （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）若，求平面與平面的所成銳 二面角的大小 11．如圖，，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin． （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程； （Ⅱ）

16、該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于km．求此廠離點(diǎn)0的最近距離．（注：工廠視為一個(gè)點(diǎn)） 12．已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t); (2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由. 參考答案 1．【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3. 2．答案：B 3． 作出

17、不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，可求出面積，所以平面區(qū)域B的面積為1． 4．答案：D 5．答案：A 6．【解析】選B.根據(jù)對稱性畫出 f(x)在（-3,0）上的圖象如 圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函數(shù)值的正負(fù), 易知不等式f(x)cosx<0的解集是 7．【解析】由題意知，設(shè)，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線斜率，作圖如下： 又由對稱性，可得答案： 答案： 8．【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其圖象如圖. 畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1

18、5時(shí)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根. 答案：（1，5） 9．【解析】由于集合A，B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個(gè)圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個(gè)不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使AB，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖）， 即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時(shí)有 故m的取值范圍是m≥-1. 答案：m≥-1 10．解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系又 PA=AD=2，則有P（0，0，2），D（0，2，0） ……3分 （Ⅰ） 又……………7分 （Ⅱ）設(shè)則有 同理可得即得……

19、…………9分 由 而平面PAB的法向量可為 故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為…………12分 11．解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9） 設(shè)MN所在拋物線的方程為，則有 ，解得 ∴所求方程為（2≤≤3） 5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求對方程，本問扣2分） （2）設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P（，）（2≤≤3） 廠址為點(diǎn)A（0，）（5＜t≤8，由題意得≥ ∴≥0 7分 令，∵2≤≤3，∴4≤≤9 ∴對于任意的，不等式≥0恒成立（*） 8分 設(shè)，∵≤8

20、∴≤. 要使（*）恒成立，需△≤0，即≤0 10分 解得≥，∴的最小值為 所以，該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km 12分 12．【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. ①當(dāng)t+1<4即t<3時(shí)，f(x)在 ［t,t+1］上單調(diào)遞增(如圖①). h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1) =-t2+6t+7. ②當(dāng)t≤4≤t+1即3≤t≤4時(shí)，f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖②) ③當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減（如圖③）， h(t)=f(t)=-t2+8t. (2)函數(shù)y=f(x

21、)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn). ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m, 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù); 當(dāng)x∈(1,3)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù); 當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù); 當(dāng)x=1或x=3時(shí)，φ′（x）=0. ∴φ(x)極大值=φ（1）=m-7, φ(x)極小值=φ（3）=m+6ln3-15. ∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，φ（x）<0， 當(dāng)x充分大時(shí),φ(x)>0, ∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交

22、點(diǎn)， 即7c (B)b≥c或b≤c中至少有一個(gè)正確 (C)b

23、)+c=0有兩個(gè)不同的根.且一個(gè)根在（0,1）內(nèi)，另一個(gè)根為1. ∴b

24、x|-1

25、60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值. 【解析】如圖， 建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0). (1)∵M(jìn)N是l1、l2的公垂線，l1⊥l2,∴l(xiāng)2⊥平面ABN， ∴l(xiāng)2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是 內(nèi)容總結(jié) （1）高考數(shù)學(xué)思想方法專題：第二講 數(shù)形結(jié)合思想 【思想方法詮釋】 一、數(shù)形結(jié)合的思想 所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法