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1、《變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算》 基礎(chǔ)知識梳理 1. 導(dǎo)數(shù)的概念 ⑴函數(shù)y= f(x)在x= xo處的導(dǎo)數(shù)： 稱函數(shù)y= f(x)在x=x0處的瞬時變化率 妙0 f X0+ 雹―=熾0 g為函數(shù) y= f(x)在x = X0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f' (Xo)或y' |x= x0，即卩 y " f xo+ gx — f xo f (xo)= limo 瓦二熾o 忑 . (2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)f' (xo)的幾何意義是在曲線 y= f(x)上點P(xo, yo)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移 函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為 y — y?

2、= f' (xo)(x — xo). ⑶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)： _ — — 稱函數(shù)f' (x) = limo fx^xxf蘭為fg的導(dǎo)函數(shù). ［探究］1.f' (x)與 f' (xo)有何區(qū)別與聯(lián)系? 2. 曲線y= f(x)在點Po(xo, yo)處的切線與過點Po xo, yo)的切線，兩種說法有區(qū)別嗎? 3. 過圓上一點P的切線與圓只有公共點 P,過函數(shù)y= f(x)圖象上一點P的切線與圖象也只有公共點 P嗎? 2.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)= c(c為常數(shù)) f' (x) = 0 n * f(x) = x (n € Q ) f' (x) =

3、nxn 1 f(x)= sin x f' (x) = cos x f(x)= cos x f' (x) = — sin x f(x) = ax f' (x)= axln a f(x)=e f' (x) = ex f(x)= logax f (x)= xln a f(x) = In x , 1 f' (x) = 1 3.導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)[f(x) ±(x)] '= f' (x) ±' (x); (2)[ f(x) g(x)] '= f' (x)g(x) + f(x)g' (x); 醺選京51-認-o)- 基礎(chǔ)自測 1 3 1 .(教材習(xí)題改編)f'

4、 (x)是函數(shù)f(x)= 3x3+ 2x+ 1的導(dǎo)函數(shù)，貝y f' (— 1)的值為( ) A . o B . 3 C. 4 D. — 7 2 .曲線y= 2x— x3在x=— 1處的切線方程為( ) A . x+ y+ 2 = o B. x+ y— 2= o C. x — y+ 2= o D . x — y— 2 = o 2 3 . y= x cos x的導(dǎo)數(shù)是( ) 2 2 2 A . y '= 2xcos x+ x sin x B . y'= 2xcos x— x sin x C . y= 2xcos x D . y'= sin x 4 .(教材習(xí)題改編)曲線y= 在點

5、M( n 0)處的切線方程是 . x 5 .(教材習(xí)題改編)如圖，函數(shù)y= f(x)的圖象在點P處的切線方程是y = — x+ 8, 則 f(5) + f' (5) = . 題型分類?深度剖析 題型一導(dǎo)數(shù)的計算 ［例1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)y=(1 - X) 1+ 1x ； (2)y=竽； ⑶ y= tan x; (4)y= 3xex — 2x+ e. 互動探究 若將本例 ⑶中“tan”改為“ sin X 2co<4 ； 如何求解? 探究提高：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 (1) 求導(dǎo)之前，應(yīng)先利用代數(shù)、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減

6、少運算量，提高運算速 度，減少差錯； (2) 有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但可在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將其化簡為整式形式, 然后進行求導(dǎo)，這樣可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量. 1 t 1 (3)y=1- .x+ 1+ M； (4)y= iC0+ 2x . Sin x+ cosx 變式訓(xùn)練1 ?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)y= X+ :丁 Sin X； (2)y= (X + 1)(x + 2)(x+ 3); 題型二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ［例2］ (1)(2012遼?寧高考)已知P, Q為拋物線x2= 2y上兩點，點P, Q的橫坐標分別為 4,— 2，過P, Q 分

7、別作拋物線的切線，兩切線交于點 A，則點A的縱坐標為 ? 1 3 4 (2)已知曲線y=尹+ 3. ①求曲線在點P(2,4)處的切線方程；②求斜率為 4的曲線的切線方程. 互動探究 若將本例 ⑵①中“在點P(2,4)”改為“過點P(2,4)”如何求解? 探究提高：1.求曲線切線方程的步驟 (1) 求出函數(shù)y= f(x)在點x= xo處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 y= f(x)在點P(x°, f(xo))處切線的斜率； (2) 由點斜式方程求得切線方程為 y— yo= f' (xo) (x— xo). 2.求曲線的切線方程需注意兩點 (1) 當曲線y= f(x)在點P(xo, f(xo))

8、處的切線平行于y軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)時，切線方程為x= xo； (2) 當切點坐標不知道時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解. 變式訓(xùn)練2.已知函數(shù)f(x)= x3+ x — 16. ⑴求曲線y= f(x)在點(2,— 6)處的切線的方程； ⑵直線l為曲線y= f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線 l的方程及切點坐標； 一 1 一 ⑶如果曲線y= f(x)的某一切線與直線 y= — 4X+ 3垂直，求切點坐標與切線的方程. 題型三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 [例3]已知a為常數(shù)，若曲線 y= ax2+ 3x— ln x存在與直線x+ y— 1 = 0垂直的切線，則實數(shù) a的取值范圍 是()

9、 A. -2，+sj & |—m,— 2丨 C.[— 1,+m ) D.( — m, — 4] 探究提高：導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的三個方面 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)已知切點A(xo, f(x。))求斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值： k= f' (xo); ⑵已知斜率k,求切點A(xi, f(xi))，即解方程f' (xi)= k; ⑶已知過某點M(xi, f(xi))(不是切點)的切線斜率為k時，常需設(shè)出切點A(xo, f(xo)),利用k = f : — ：：0求解. 1 變式訓(xùn)練3?若對任意m€ R，直線x+ y+ m= 0都不是曲線f(

10、x) = ?3— ax的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 3 思想方法?感悟提高 1個區(qū)別一一“過某點”與“在某點”的區(qū)別 曲線y= f(x) “在點P(xo, yo)處的切線”與“過點 P(xo, yo)的切線”的區(qū)別：前者 P(xo, yo)為切點，而后者 P(Xo, yo)不一定為切點. 4個防范一一導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題 (i)利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆. ⑵利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時，只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯. (3) 直線與曲線公共點的個數(shù)不

11、是切線的本質(zhì)， 直線與曲線只有一個公共點， 直線不一定是曲線的切線， 同樣, 直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點. (4) 曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線 y= x3在其過(0,0)點的切線y= 0的兩側(cè)? 易誤警示一一導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的易誤點 (2013杭州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y = x3和y= ax2 +齊—9都相切，貝U a等于( ) 或—25 B . — 1 或21 C . — 7 * 或—25 D — 7 或 7 或 64 4 4 64 . 4 設(shè)過(1,0)的直線與y= x3相切于點(X。，x3)，所以切線方程為 y — x0

12、= 3x0(x— x°)，即y= 3xox— 2x0，又 3 2， 2 15 25 y= 0與y= ax + —x — 9相切可得a=—前； 27 27 2 15 y= -^x——與y= ax + 4x — 9相切可得a=— 1,所以選 A.［答案］A ［典例］ 當Xo= 0時，由 n, 0處的切線的斜率為( ) Dg 已知函數(shù)f(x) = x3 + f ' I x2— X,則函數(shù) f(x)的圖象在點3, f 3處的切線方程是 練出高分 共30分) ( ) 則彳—扌與彳扌的大小關(guān)系是 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分， 1. (2013永康模擬)函數(shù)

13、y= f(x)的圖象如圖所示，貝U y = f' (x)的圖象可能是( 2 .若函數(shù) f(x)= cos x+ 2xf' C. f B. f A . f 已知 t 為實數(shù)，f(x)= (x2 — 4)(x— t)且 f' (— 1) = 0，則 t 等于( -n= fn 不確定 ) C.1 D. 2 0 B.— 1 曲線 y= xex+ 2x— 1 在點(0,— y= 3x— 1 B. y= — 3x— 1 (2013大連模擬)若點P是曲線 D. 3 n 1 :處的切線與直線x— ay+ 1 = 0平行，則實數(shù)a等于( ) 1 B. 2 C."^ 1 + C°

14、S x在點 6 .設(shè)曲線y= sin x 1 A . — 1 B.? 二、填空題(本大題共 C.— 2 1)處的切線方程為( ) C. y= 3x+ 1 D. y= — 2x— 1 y = x2— Inx上任意一點，則點 P到直線y= x — 2的最小距離為( ) 3小題，每小題5分，共15分) ［解析］ (1,0)在切線上，則X0= 0或x0 = 3 當X0= 3時，由 ［易誤辨析］ 1.如果審題不仔細，未對點 (1,0)的位置進行判斷，誤認為(1,0)是切點，則易誤選 B. 2 .解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問題時， 應(yīng)重點注意以下幾點： (1) 首先確

15、定已知點是否為曲線的切點是解題的關(guān)鍵； (2) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)運算法則是正確解決此類問題的保證； (3) 熟練掌握直線的方程與斜率的求解是正確解決此類問題的前提. ［變式訓(xùn)練］ sin x 1 亠- 曲線y= — T在點 sin x+ cos x 2 1 1 廠 ；2 -2 B.1 c.—2 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) ax 6 10.已知函數(shù)f(x)= 2 的圖象在點(—1, f(_ 1))處的切線方程為x+ 2y+ 5= 0,求y= f(x)的解析式. x十b 11?如右圖所示，已知 A( — 1,2)為拋物線C: y= 2x2上

16、的點，直線11過點A,且與拋物 線C相切，直線12： x= a(a<_ 1)交拋物線C于點B,交直線h于點D. (1)求直線11的方程； ⑵求△ ABD的面積S1. Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從 Q1 ； P2, Q2 ；…；Pn, Qn,記 Pk 點 12.如圖，從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y= ex于點Q1(0,1)，曲線在 P2作x軸的垂線交曲線于點 Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列點： P1, 的坐標為(x?0)(k= 1,2,…,n). (1)試求 xk與 Xk_1 的關(guān)系(k= 2，…，n); (2)求P1Q1I+ IP2Q2I+ |P3Q3|+…+