《雅克比高斯賽德爾迭代法(共6頁(yè))》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《雅克比高斯賽德爾迭代法(共6頁(yè))（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第八節(jié) 雅可比迭代法與高斯—塞德爾迭代法 ? 一 雅可比迭代法 設(shè)線性方程組 (1) 的系數(shù)矩陣A可逆且主對(duì)角元素均不為零,令 并將A分解成 (2) 從而(1)可寫成 令 其中. (3) 以為迭代矩陣的迭代法(公式) (4) 稱為雅可比(J

2、acobi)迭代法(公式),用向量的分量來(lái)表示,(4)為 (5) 其中為初始向量. 由此看出,雅可比迭代法公式簡(jiǎn)單,每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法.在電算時(shí)需要兩組存儲(chǔ)單元,以存放及. 例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程組 解 將方程組按雅可比方法寫成 取初始值按迭代公式 進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如表1所示 表1 ? 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.72 0.971 1.057 1.0853 1.0951 1.0983 … 0 0.8

3、3 1.070 1.1571 1.1853 1.1951 1.1983 … 0 0.84 1.150 1.2482 1.2828 1.2941 1.2980 … ? 二 高斯—塞德爾迭代法 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計(jì)算過程中是用的全部分量來(lái)計(jì)算的所有分量,顯然在計(jì)算第i個(gè)分量時(shí),已經(jīng)計(jì)算出的最新分量沒有被利用，從直觀上看,最新計(jì)算出的分量可能比舊的分量要好些.因此，對(duì)這些最新計(jì)算出來(lái)的第次近似的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法. 把矩陣A分解成 (6

4、) 其中,分別為的主對(duì)角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程組(1)便可以寫成 即 其中 (7) 以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式) (8) 稱為高斯—塞德爾迭代法(公式),用 量表示的形式為 (9) 由此看出,高斯—塞德爾迭代法的一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)是,在電算時(shí),只需一組存儲(chǔ)單元(計(jì)算出后不再使用,所以用沖掉,以便存放近似解. 例2 例2 用高斯——塞德爾迭代法求解例1.

5、解 取初始值，按迭代公式 進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如下表2 表2 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.72 1.04308 1.09313 1.09913 1.09989 1.09999 1.1 0 0.902 1.16719 1.19572 1.19947 1.19993 1.19999 1.2 0 1.1644 1.28205 1.29777 1.29972 1.29996 1.3 1.3 ? 從

6、此例看出,高斯—塞德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快(達(dá)到同樣的精度所需迭代次數(shù)少),但這個(gè)結(jié)論,在一定條件下才是對(duì)的,甚至有這樣的方程組,雅可比方法收斂，而高斯—塞德爾迭代法卻是發(fā)散的. 三 迭代收斂的充分條件 定理1 在下列任一條件下,雅可比迭代法(5)收斂. ① ; ② ; ③ 定理2 設(shè)分別為雅可比迭代矩陣與高斯—塞德爾迭代矩陣,則 (10) 從而，當(dāng) 時(shí)，高斯—塞德爾迭代法(8)收斂. 證明 由的定義,它們可表示成 用表示維向量,則有不等式 這里,記號(hào)｜·｜表示其中矩陣的元素都取絕對(duì)值,而不等式是

7、對(duì)相應(yīng)元素來(lái)考慮的,于是 容易驗(yàn)證 所以,及可逆，且 從而有 因此必有 因?yàn)橐阎?即高斯—塞德爾迭代法收斂. 若矩陣為對(duì)稱，我們有 定理3 若矩陣正定,則高斯—塞德爾迭代法收斂. 證明 把實(shí)正定對(duì)稱矩陣A分解為 ,則為正定的,迭代矩陣 設(shè)是的任一特征值,為相應(yīng)的特征向量,則 以左乘上式兩端,并由有 用向量的共軛轉(zhuǎn)置左乘上式兩端,得 (11) 求上式左右兩端的共軛轉(zhuǎn)置,得 以和分別乘以上二式然后相加,得 由,得 即

8、 (12) 因?yàn)锳和D都是正定的,且x不是零向量,所以由(11)式得,而由(12)式得, 即,從而,因而高斯—塞德爾迭代法收斂. 定義1 設(shè)為n階矩陣. ① ①如果 (13) 即A的每一行對(duì)角元素的絕對(duì)值都嚴(yán)格大于同行其他元素絕對(duì)值之和，則稱A為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣. ② ②如果 且至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立,則稱A為弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣. 例如是嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣，是弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣. 定義2 設(shè)是n階矩陣，如果經(jīng)過行的互換及相應(yīng)列的互換可化為, 即存在n階排列矩陣P,使 其中為

9、方陣，則稱A是可約的,否則稱A為不可約的. 是可約矩陣,意味著可經(jīng)過若干次行列重排,化為兩個(gè)低階方程組,事實(shí)上, 可化為 ,記 于是，求解化為求解 可以證明,如果A為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣,則A是非奇異的. 定理4 如果A為嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣或?yàn)椴豢杉s弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣,則對(duì)任意,雅可比迭代法(4)與高斯—塞德爾迭代法(8)均為收斂的. 證明 下面我們以A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣為例，證明雅可比迭代法收斂，其他證明留給讀者. 要證明雅可比迭代法收斂，只要證,是迭代矩陣. 用反證法,設(shè)矩陣有某個(gè)特征值,使得,則,由于A不可約,且具有弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以存在，且 從而 另一方面，矩陣與矩陣A的非零元素的位置是完全相同的，所以也是不可約的,又由于,且A弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，所以 并且至少有一個(gè)i使不等號(hào)嚴(yán)格成立.因此,矩陣弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)，故為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣.從而 矛盾，故的特征值不能大于等于1，定理得證. 專心---專注---專業(yè)