2019-2020年高中數(shù)學人教B版選修4-1教學案：第二章 章末小結.doc
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2019-2020年高中數(shù)學人教B版選修4-1教學案：第二章 章末小結 [對應學生用書P43] 平行投影 平行投影關鍵在于注意角度的變換及運動變化和發(fā)展的觀點的應用，并由此來處理有關圖形的投影問題．如一個圓在平面上的平行投影可能是一個圓，一個橢圓或者是一條線段，但是由于缺乏具體的量的關系，我們對所成的橢圓不能做出具體的量的關系．將圓與平面立體化就形成了平面與圓柱的截面問題． [例1] 已知△ABC的邊BC在平面α內，A在平面α上的正投影為A′(A′不在邊BC上)．當∠BAC＝60時、AB、AC與平面α所成的角分別是30和45時，求cos∠BA′C. [解] 由題意，∠ABA′＝30，∠ACA′＝45. 設AA′＝1，則A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2， ∴BC＝ ＝， cos∠BA′C＝＝. 圓柱面、圓錐面的平面截線 (1)由兩個等圓的內公切線與兩條外公切線的交點，切點之間的量的關系具體化，就可以得到相應的數(shù)量關系，將其進一步拓廣到空間之中就得到了平面與圓柱的截面問題． (2)在平面中：由與等腰三角形的兩條腰的交點問題進一步推廣到空間中的平面與圓錐面的交線問題所采用的方法與以前的平行投影和平面與圓柱面的截面問題相同．從不同的方向不同的位置用平面去截圓錐面，其截面的形狀不同，由此我們可以得到定理，并可以利用Dandelin雙球對定理的結論進行證明和研究其特點． [例2] 如圖所示，用一個平面分別與球O1、O2切于F1、F2，截圓柱面于G1、G2點，求證所得的截面為橢圓． [證明] 如圖所示由平面圖形的性質可知， 當點P與G1或G2重合時， G2F1＋G2F2＝AD， G1F1＋G1F2＝AD. 當P不與G1、G2重合時， 連接PF1、PF2， 則PF1、PF2分別是兩個球面的切線，切點分別為F1、F2. 過P作圓柱面的母線，與兩個球分別相交于K1、K2二點， 則PK1、PK2分別為兩個球的切線，切點為K1、K2. 由切線長定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2. 所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2. 由于AD為定值且AD>F1F2，故點P的軌跡為橢圓． 一、選擇題 1．若一直線與平面的一條斜線在此平面上的正投影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關系是( ) A．垂直 B．異面 C．相交 D．不能確定 解析：當這條直線在平面內時，則A成立，當這條直線是平面的垂線，則B或C成立，故選D. 答案：D 2．在空間，給出下列命題： (1)一個平面的兩條斜線段相等，那么它們在平面內的正投影相等． (2)一條直線和平面的一條斜線垂直，必和這條斜線在這個平面內的正投影垂直． (3)一條斜線和它在平面內的正投影所成的銳角是這條斜線和平面內過斜足的所有直線所成的一切角中最小的角． (4)若點P到△ABC三邊所在的直線的距離相等，則點P在平面ABC內的正投影是△ABC的內心． 其中，正確的命題是( ) A．(3) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4) 解析：由平行投影的性質知，當兩條線段與平面所成的角相等時，才有(1)正確，在(2)中這條直線在平面外時不正確，(3)顯然正確；(4)中P點有可能是△ABC的旁心． 答案：A 3．一平面截圓錐面的截線為橢圓，橢圓的長軸為8，長軸的兩端點到圓錐頂點的距離分別是6和10，則橢圓的離心率為( ) A. B． C. D． 解析：如圖為圓錐面的軸截面，則AB＝8，SA＝6，SB＝10， ∴∠SAB＝90， ∴cos∠ASB＝， ∴cos∠ASP＝cos＝ ＝ ＝. ∴cos∠BPH＝sin∠ASP＝ ＝ ＝. ∴橢圓離心率e＝＝＝. 答案：C 4．邊長為2的等邊三角形所在平面與平面α所成的角為30，BC?α，A在α內的正投影為O，則△BOC的面積為( ) A. B． C. D． 解析：取BC的中點D，連接AD，OD，則∠ADO為二面角的平面角，∠ADO＝30， ＝＝cos30＝，又S△ABC＝， ∴S△BOC＝. 答案：B 二、填空題 5．P為△ABC所在平面外一點，PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么△ABC的形狀可能是________． ①正三角形?、诘妊切巍、鄯堑妊切? ④等腰直角三角形(將你認為正確的序號全填上) 解析：設點P在底面ABC上的正投影為O，由PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即點O為△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，得AO為△ABC中BC邊上的高線，所以AB＝AC，即△ABC必為等腰三角形，故應填①②④. 答案：①②④ 6．兩個大小不等的球相交，交線為________． 答案：圓 7．在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝.則PA與底面ABC所成角為________． 解析：P在底面ABC的正投影為BC中點D，設PA＝PB＝PC＝2，則PD＝，AP＝2，∴∠PAD＝. 答案： 8．一圓柱面底半徑為2，一截面與軸成60，從割平面上、下放入圓柱面的兩個內切球，使它們都與截面相切，則這兩個切點的距離等為________． 解析：由已知可知截線為一個橢圓，并且其長軸長為 2a＝＝＝，短軸長為2b＝22＝4， 所以2c＝＝ ＝. 答案： 三、解答題 9．設圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角)為120，當圓錐的一截面與軸成45角時，求截得二次曲線的形狀及離心率． 解：由題意知α＝60，β＝45，滿足β<α，這時截面截圓錐得的交線是雙曲線，其離心率為e＝＝. 10．如圖所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正投影． 求證：A′不可能是△BCD的垂心． 證明：假設A′為△BCD的垂心， 則A′B⊥CD. 又因為AA′⊥平面BCD于A′，則AB⊥CD. 又因為DA⊥平面ABC，則AD⊥AB，所以AB⊥AC， 這與△ABC是斜三角形的已知條件相矛盾， 故A′不可能是△BCD的垂心． 11．已知圓錐面S，其母線與軸線的夾角為30，又有一平面α與圓錐面的軸線成45角并相交于點C，且SC＝6，一球與圓錐面相切并在平面α的上方與平面α相切．求此內切球的半徑，并畫出它的直觀圖． 解：設內切球的球心為O，半徑為R，且設球O與錐面一個切點為P，球O與平面α切于M. 在Rt△SPO中 ，OP＝R，∠PSO＝30，所以SO＝2R. 在Rt△OMC中，∠OCM＝45， 所以OC＝＝＝R. 又SC＝6＝SO＋OC＝2R＋R， 所以R＝3(2－)，其直觀圖為如圖： [對應學生用書P47] (時間90分鐘，總分120分) 一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．線段AB、CD在同一平面內的正投影相等，則線段AB、CD的長度關系為( ) A．AB>CD B．AB
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