《高二數(shù)學必修5 基本不等式1 課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高二數(shù)學必修5 基本不等式1 課件（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、不等關系嗎？或圖中找出一些相等關系設計的你能在這個圖古代數(shù)學家趙爽的弦會標，會標是根據(jù)中國的屆國際數(shù)學家大會上圖是在北京召開的第一、新課引入一、新課引入ICM2002會標會標趙爽：弦圖趙爽：弦圖一、新課引入一、新課引入實黃實，加差實，亦成弦以勾股之差自相乘為中，朱實二，倍之為朱實四圖，又可以勾股相乘為弦證明方法敘述為：按開方除之，即弦實股各自乘，并之，為弦勾股定理表述為：勾將勾股定理的理論證明，價值的文獻它記述了有圖注文是數(shù)學史上極余字的勾股圓方了詳細注釋其中一段為該書寫了序言，并作，入研究了周髀算經(jīng)貢獻是約在年深要三國時代的人他的主中國數(shù)學家，東漢末至ADBCEFGHab22ab不等式：不等

2、式： 一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有，我們有當且僅當當且僅當a=b時，等號成立。時，等號成立。222ababABCDE(FGH)ab證明推導證明推導1：結論： 如果a、bR,那么 a+b2ab (當且僅當a=b時取“=”號) 以公式(1)為基礎,運用不等式的性質推導公式(2)這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法綜合法。如果a、bR,那么有 ( a-b ) 0 ( 1 )把(1)式左邊展開，得 a -2ab+b 0 a+b 2ab ( 2 )(2)式中取等號成立的充要條件是什么？式中取等號成立的充要條件是什么？證明推導證明推導2：:基本不等式22

3、(1)2( ,_);abab a b預備不等式(2)( ,_).2abab a b均值不等式()分析法證明不等式?)2(,.,的幾何解釋得出不等式試用這個圖形連接的弦垂直于作過點上一點點是是圓的直徑如圖BDADDEABCbBCaACABAB證明推導證明推導3：證明推導證明推導4：均值不等式的幾何解釋是均值不等式的幾何解釋是: 半徑不小于半弦半徑不小于半弦.均值不等式的代數(shù)解釋為均值不等式的代數(shù)解釋為: 兩個正數(shù)的等差中項兩個正數(shù)的等差中項不小它們的等比中項不小它們的等比中項.兩個不等式的適用范圍不同兩個不等式的適用范圍不同結論推廣結論推廣公式公式 如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (

4、a1+a2+an ) / n 叫做這n個正數(shù)的算術平均數(shù)算術平均數(shù) ， 叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 。a1a2a nn結論：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21結論舉例結論舉例1. 如果a、bR,那么a+b2ab (當且僅當a=b時取“=”號)2 如果a、b、c 0,那么a+b+c 3abc (當且僅當a=b=c時取“=”號)推論推論 如果a、b 0,那么(a+b)/2 (當且僅當a=b時取“=”號)ab推論推論 如果a、b、c 0,那么(a+b+c)/3 (當且僅當a=

5、b=c時取“=”號)abc3二、新課講解二、新課講解1. ,:a b例均為正數(shù) 證明以下不等式;112) 1 (baab.22)2(22baba:重要結論222( ,).1122abababa bRab其中當且僅當其中當且僅當ab時取等號時取等號.三、探索三、探索由a、b、cR，依次對其中的兩個運用公式(2)，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca.把以上三式疊加，得 a +b +c ab+bc+ca （a、b、cR） ( 3 ) (當且僅當a=b=c時取“=”號) 從以上推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法迭代與疊加迭代與疊加.證明： a +b +c

6、ab+bc+ca （a、b、cR ） (當且僅當a=b=c時取“=”號) 由于 a+b=(a+b)(a-ab+b), 啟示我們把公式a+b2ab變成 a-ab+bab, 兩邊同乘以a +b，為了得到同向不等式，這里要求a、b0, 得到 a+bab+ab。 ( 4 )結論結論 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當且僅當a=b=c時取“=”號)四、再探索四、再探索 由公式(3) 的推導方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c , c、a 迭代(4)式，并應用公式(2)，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc a+b+c3ab

7、c ( 5 )(當且僅當a=b=c時取“=”號）證明證明 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當且僅當a=b=c時取“=”號)五、繼續(xù)探索五、繼續(xù)探索結論結論 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當且僅當a=b=c時取“=”號)在公式(5)中用 、 、 分別替換a、b、c，可得 ( ) + ( ) + ( ) 3 a + b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 ( 7 ) (當且僅當a=b=c時取“=”號）3abc證明證明 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當且僅當a=b=c時取“=”號)221.2 ( ,)ababab R22

8、22.( ,).1122abababa bRab3.3. 如果a、b、c0,那么a+b+c 3abc (當且僅當a=b=c時取“=”號)4. 4. 如果a、b、c0,那么(a+b+c)/3 (當且僅當a=b=c時取“=”號)5.n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)。如果a1，a2，an 0 ，且 n1，那么 (a1+a2+an ) / n nnaaa21其中當且僅當其中當且僅當ab時取等號時取等號. .2,)1(”號）”號）時取“時取“（當（當時時當當 baabbaRba . 21,)2( aaRba時時當當變式：變式：3種情況，種情況，5個結論個結論 ：abbaabba

9、Rba22,22 ，時，有時，有當當abbaabbaRba22,22 ，時，有時，有當當”不成立”不成立，顯然“，顯然“時，有時，有當當 abbaba2022推廣：推廣：（1 1）兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。）兩個正數(shù)積為定值，和有最小值。（2 2）兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。）兩個正數(shù)和為定值，積有最大值。應用要點：應用要點：一正一正 二定二定 三相等三相等2、(04重慶）已知重慶）已知則則x y 的最大值是的最大值是 。232(0,0)xyxy練習：練習：1、當、當x0時，時， 的最小值為的最小值為 ，此，此時時x= 。1xx21思考：當思考：當x0時表時表達式又有何最值達式又有何最值呢？呢？16P100A組第組第1題題