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2019-2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 高考應(yīng)用題專題復(fù)習(xí) 新人教版
我們先來看看近幾年來我省高考應(yīng)用題的考查情況
1.xx福建理科16。 (本小題滿分13分)
受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛,統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下:
將頻率視為概率,解答下列問題:
(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;
(II)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為,分別求,的分布列;
(III)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當,由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車,若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車?說明理由。
本小題主要考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識,考查必然與或然思想。
解答:
(I)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為
(II)隨機變量的分布列為 隨機變量的分布列為
(III)(萬元)
(萬元)
所以應(yīng)該生產(chǎn)甲品牌汽車。
2。xx福建理科18.(本小題滿分13分)
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式,其中3
0, >0) x[0,4]的圖象,且圖象的最高點為
S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽
運動員的安全,限定MNP=120
(I)求A , 的值和M,P兩點間的距離;
(II)應(yīng)如何設(shè)計,才能使折線段賽道MNP最長?
18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,
解法一
(Ⅰ)依題意,有,,又,。
當 是,
又
(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120,MP=5,
設(shè)∠PMN=,則0<<60
由正弦定理得
,
故
0<<60,當=30時,折線段賽道MNP最長
亦即,將∠PMN設(shè)計為30時,折線段道MNP最長
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120,MP=5,
由余弦定理得∠MNP=
即
故
從而,即
當且僅當時,折線段道MNP最長
注:本題第(Ⅱ)問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一,除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計方式,還可以設(shè)計為:①;②;③點N在線段MP的垂直平分線上等
福建省xx年高考數(shù)學(xué)考試說明指出:五、強化應(yīng)用意識,關(guān)注應(yīng)用能力
加強應(yīng)用意識的培養(yǎng)與考查是時代的需要,是教育改革的需要,同時也是數(shù)學(xué)科的特點所決定的。應(yīng)用性問題主要是考查數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用。應(yīng)用題的設(shè)計應(yīng)貼近生活,聯(lián)系實際,具有強烈的現(xiàn)實意義。
應(yīng)用問題考查的重點是客觀事物的數(shù)學(xué)化,這個過程主要是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并加以解決。命題時要堅持“貼近生活,背景公平,控制難度”的原則,要把握好提出問題所涉及的數(shù)學(xué)知識和方法的深度和廣度,要切合福建省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實際,讓數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度更加符合考生的水平,引導(dǎo)考生自覺地置身于現(xiàn)實社會的大環(huán)境,關(guān)心自己身邊的數(shù)學(xué)問題,促使學(xué)生在學(xué)習(xí)和實踐中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識。
以上內(nèi)容均選自xx年福建高考數(shù)學(xué)考試說明
數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指能利用數(shù)學(xué)知識解決的非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題,數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)最終價值的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)應(yīng)用題在數(shù)學(xué)教育中有其重要的地位,數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型。國家考試中心評價報告對應(yīng)用題給予了充分的關(guān)注,要求試題要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,要真正使數(shù)學(xué)服務(wù)于生產(chǎn)生活實際,就必須具有建立數(shù)學(xué)模型的能力。數(shù)學(xué)教育目標也要求學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,并解決問題。培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的迫切要求,數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)高度重視應(yīng)用題教學(xué),根據(jù)高中學(xué)生的認知規(guī)律和思維特點進行應(yīng)用問題的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力,讓數(shù)學(xué)真正成為對每一學(xué)生都具有實用性價值的科學(xué)。
自1995年數(shù)學(xué)應(yīng)用題進入高考以來,每年不論數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題目難或易,其得分率都是比較低的。究其原因,一是考生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題有一種恐懼感;二是考生沒有掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用題求解的一般分析方法;三是考生的應(yīng)試策略與表述方面還存在一些問題。在高考復(fù)習(xí)與沖刺階段如何能在數(shù)學(xué)應(yīng)用題方面有所突破呢?下面談?wù)勎覀€人的看法,供參考。
(一)學(xué)會數(shù)學(xué)建模分析的步驟
一、數(shù)學(xué)建模分析的步驟:
1. 讀懂題目。應(yīng)包括對題意的整體理解和局部理解,以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。
“整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象;明白問題說了什么事,學(xué)會數(shù)學(xué)應(yīng)用的建模分析。
“局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句,正確把握其含義;一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀時事刊物較大,通過審題找出關(guān)鍵詞和句,并理解其意義。
“分析關(guān)系”就是根據(jù)題意,弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系;題設(shè)材料呈現(xiàn)的文字語言、圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言。
“領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要問題、正確識別其類型;用恰當?shù)臄?shù)學(xué)方法去解數(shù)學(xué)模型。
2、建立數(shù)學(xué)模型,將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系,將這些關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來。
3、求解數(shù)學(xué)模型,根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型,選擇合適的方法,設(shè)計合理簡捷的運算途徑,求出數(shù)學(xué)問題的解。
4、檢驗,既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型,又要評判所得結(jié)果是否符合實際問題的要求。
二、注意具體的建模分析法:
1、關(guān)系分析法:即通過尋找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型的方法。
2、列表分析法:對于數(shù)據(jù)較多,較復(fù)雜的應(yīng)用性問題通過列表的方式探索問題的數(shù)學(xué)模型的方法。
3、圖象分析法:通過圖象中的數(shù)量關(guān)系分析建立數(shù)學(xué)模型的方法。
三、注意語言表達的完整性
數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解不同于一般的數(shù)學(xué)運算題,有人比喻它是數(shù)學(xué)中的小作文,因此解數(shù)學(xué)應(yīng)用題要做到“有頭有尾”,把問題中的普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,引入變量與字母,畫出圖形,將數(shù)學(xué)建模的過程詳細地寫出來,建立數(shù)學(xué)模型后,要準確地求解,并注意計量單位的一致,最后對于所得數(shù)據(jù)不僅要思考或檢驗是否與實際吻合,而且要給出完整的答案。
(二)xx全國各地高考應(yīng)用題考查的典型試題
一、排列組合應(yīng)用題:1、xx安徽(10)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀念品,已知6位同學(xué)之間共進行了13次交換,則收到份紀念品的同學(xué)人數(shù)為( )
或 或 或 或
【解析】選
①設(shè)僅有甲與乙,丙沒交換紀念品,則收到份紀念品的同學(xué)人數(shù)為人
②設(shè)僅有甲與乙,丙與丁沒交換紀念品,則收到份紀念品的同學(xué)人數(shù)為人
2、xx福建文科16.某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè),考慮道路鋪設(shè)方案,方案設(shè)計圖中,求表示城市,兩點之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路,連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費用,要求從任一城市都能到達其余各城市,并且鋪設(shè)道路的總費用最小。例如:在三個城市道路設(shè)計中,若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖1,則最優(yōu)設(shè)計方案如圖2,此時鋪設(shè)道路的最小總費用為10.
現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖3,則鋪設(shè)道路的最小總費用為__________
3、xx江西文科5. 觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4 , |x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,,y)的個數(shù)為8, |x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12 ,...,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為
A.76 B.80 C.86 D.92
二、解析幾何應(yīng)用題:xx全國理科卷(12)正方形ABCD的邊長為1,點E在邊AB上,點F在邊BC上,AE=BF=。動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動,每當碰到正方形的方向的邊時反彈,反彈時反射等于入射角,當點P第一次碰到E時,P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為
(A)16(B)14(C)12(D)10
xx湖北文科5.過點P(1,1)的直線,將圓形區(qū)域{(x,y)|x2+y2≤4}分兩部分,使得這兩部分的面積之差最大,則該直線的方程為( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0
三、概率統(tǒng)計應(yīng)用題:1、xx福建理科16.(本小題滿分13分)
受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響,企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛,統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下:
將頻率視為概率,解答下列問題:
(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;
(II)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;
(III)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當,由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車,若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車?說明理由。
2、xx北京理科17.(本小題共13分)
近年來,某市為了促進生活垃圾的風(fēng)分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):
“廚余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
廚余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(Ⅰ)試估計廚余垃圾投放正確的概率;
(Ⅱ)試估計生活垃圾投放錯誤額概率;
(Ⅲ)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a>0,=600。當數(shù)據(jù)的方差最大時,寫出的值(結(jié)論不要求證明),并求此時的值。
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
解:(1)由題意可知:。
(2)由題意可知:。
(3)由題意可知:,因此有當,,時,有.
3、xx福建文科18.(本題滿分12分)
某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):
(I)求回歸直線方程=bx+a,其中b=-20,a=-b;
(II)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(I)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)
4、xx遼寧文科(19)(本小題滿分12分)
電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖;
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”,已知“體育迷”中有10名女性。
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別
有關(guān)?
非體育迷
體育迷
合計
男
女
合計
(Ⅱ)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”,已知“超級體育迷”中有2名女性,若從“超級體育迷”中任意選取2人,求至少有1名女性觀眾的概率。
附
5.xx江西文科6.小波一星期的總開支分布圖如圖1所示,一星期的食品開支如圖2所示,則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為
A.30% B.10% C.3% D.不能確定
四、三角函數(shù)應(yīng)用題:1、xx福建理科17文科20(本小題滿分13分)
某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。
(1)sin213+cos217-sin13cos17
(2)sin215+cos215-sin15cos15
(3)sin218+cos212-sin18cos12
(4)sin2(-18)+cos248- sin2(-18)cos248
(5)sin2(-25)+cos255- sin2(-25)cos255
Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)
Ⅱ 根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式,并證明你的結(jié)論。
2、xx上海理科21.海事救援船對一艘失事船進行定位:以失事船的當前位置為原點,以正北方向為y軸
正方向建立平面直角坐標系(以1海里為單位長度),則救援船恰在失事船的正南方向12海
x
O
y
P
A
里A處,如圖. 現(xiàn)假設(shè):①失事船的移動路徑可視為拋物線
;②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;③救
援船出發(fā)小時后,失事船所在位置的橫坐標為.
(1)當時,寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時
兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
[解](1)時,P的橫坐標xP=,代入拋物線方程
中,得P的縱坐標yP=3. ……2分
由|AP|=,得救援船速度的大小為海里/時. ……4分
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
為北偏東arctan弧度. ……6分
(2)設(shè)救援船的時速為海里,經(jīng)過小時追上失事船,此時位置為.
由,整理得.……10分
因為,當且僅當=1時等號成立,
所以,即.
因此,救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
五、立體幾何應(yīng)用題:xx湖北理科10.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑,“開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式。人們還用過一些類似的近似公式。根據(jù)x=3.14159…..判斷,下列近似公式中最精確的一個是
六、數(shù)列應(yīng)用題:1、xx湖北理科13.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22,,11,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個:11,22,33…,99。 3位回文數(shù)有90個:101,111,121,…,191,202,…,999。則
(Ⅰ)4位回文數(shù)有______個;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有______個。
2、xx湖南理科16.設(shè)N=2n(n∈N*,n≥2),將N個數(shù)x1,x2,…,xN依次放入編號為1,2,…,N的N個位置,得到排列P0=x1x2…xN。將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對應(yīng)的前個數(shù)和后個位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,將此操作稱為C變換,將P1分成兩段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到P2當2≤i≤n-2時,將Pi分成2i段,每段個數(shù),并對每段C變換,得到Pi+1,例如,當N=8時,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此時x7位于P2中的第4個位置。
(1)當N=16時,x7位于P2中的第___個位置;
(2)當N=2n(n≥8)時,x173位于P4中的第___個位置。
3、xx湖南文科20.(本小題滿分13分)
某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)。該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元,將其投入生產(chǎn),到當年年底資金增長了50%。預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同。公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)。設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元。
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式;
(Ⅱ)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)
七、函數(shù)與方程應(yīng)用題1、xx湖南理科20.(本小題滿分13分)
某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件)。已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù))。
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。
2、xx江蘇文科17.(本小題滿分14分)
如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.
(1)求炮的最大射程;
(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大?。?,其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.
x(千米)
y(千米)
O
(第17題)
(三)我在高考應(yīng)用題復(fù)習(xí)方面的一些做法
一、和學(xué)生一起學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)建模分析的步驟:
1、讀懂題目。應(yīng)包括對題意的整體理解和局部理解,以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。
2、建立數(shù)學(xué)模型。將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系,將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來,即可得到解決問題的數(shù)學(xué)模型。
3、求解數(shù)學(xué)模型。根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型,選擇合適的數(shù)學(xué)方法,設(shè)計合理簡捷的運算途徑,求出數(shù)學(xué)問題的解,其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件。
4、檢驗。既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型,又要評判所得結(jié)果是否符合實際問題的要求,從而對原問題作出合乎實際意義的回答。
二、開設(shè)專題講座和練習(xí),減輕對應(yīng)用題的恐懼感。
1.平時教學(xué)中強化訓(xùn)練讀題、審題能力。
2.階段性考試中有目的的加入應(yīng)用題題型。
3.不刻意回避應(yīng)用題題型。
4.第二輪復(fù)習(xí)開設(shè)應(yīng)用題專題課,原則上安排三節(jié)課,主要和學(xué)生一起分析近三年來全國各地應(yīng)用題題型特征,建模類型,如何破題等等。
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