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2019-2020年高中數學 1.3 三角函數的圖象與性質 1.3.1 正弦函數的圖象與性質同步訓練 新人教B版必修4 知識點一：正弦函數的圖象 1．正弦函數y＝sinx(x∈R)的圖象關于______對稱． A．y軸 B．直線x＝ C．直線x＝π D．直線y＝0 2．函數f(x)＝x－sinx零點的個數為 A．1 B．2 C．3 D．無數個 3．函數y＝sinx，x∈R的對稱中心為__________． 知識點二：正弦函數的性質 4．下列四個函數中，為周期函數的是 A．y＝3sinx B．y＝3x C．y＝sin|x|(x∈R) D．y＝sin(x∈R且x≠0) 5．函數y＝sin(x＋)在下列哪個區(qū)間上是遞減的 A．[，] B．[－π，0] C．[－，] D．[－，] 6．函數f(x)＝cos(πx－)－1，則下列命題正確的是 A．f(x)是周期為1的奇函數 B．f(x)是周期為2的偶函數 C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數 D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數 7．(xx江西高考，文6)函數y＝sin2x＋sinx－1的值域為 A．[－1,1] B．[－，－1] C．[－，1] D．[－1，] 8．函數y＝的定義域是__________． 9．求使下列函數取得最小值的自變量x的集合，并寫出最小值． (1)y＝－2sinx，x∈R；(2)y＝－2＋sin，x∈R. 知識點三：正弦型函數 10．(xx湖北高考，文2)函數f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期為 A. B．π C．2π D．4π 11．(xx四川高考，理6)將函數y＝sinx的圖像上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像的函數解析式是 A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－) C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－) 12．用五點法作出函數y＝2sin(x－)＋3的圖象，并指出它的周期、頻率、相位、初相、最值及單調區(qū)間． 能力點一：函數圖象的應用 13．已知簡諧運動f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的圖象經過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為 A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 14．(xx重慶高考，理6)已知函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則 A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 15．(xx江西高考，文12)四位同學在同一個坐標系中分別選定了一個適當的區(qū)間，各自作出三個函數y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的圖象如下，結果發(fā)現恰有一位同學作出的圖象有錯誤，那么有錯誤的圖象是 16．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象如圖． (1)求出f(x)的解析式； (2)若g(x)與f(x)的圖象關于x＝2對稱，求g(x)的解析式． 能力點二：函數性質的應用 17．把函數y＝sinx(x∈R)的圖象向左平移個單位長度，再把所得的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數是 A．y＝sin(2x－)，x∈R B．y＝sin(＋)，x∈R C．y＝sin(2x＋)，x∈R D．y＝sin(2x＋)，x∈R 18．函數f(x)＝()x－sinx在區(qū)間[0,2π]上的零點個數為 A．1 B．2 C．3 D．4 19．函數f(x)＝sin(－2x)的單調增區(qū)間為__________. 20．方程sinx＝lgx的實根有__________個． 21．求函數y＝sin2x－sinx＋1在x∈[，]上的最大值和最小值． 22．(xx廣東高考，文16)設函數f(x)＝3sin(ωx＋)，ω＞0，x∈(－∞，＋∞)，且以為最小正周期． (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式； (3)已知f(＋)＝，求sinα的值． 23．已知函數y＝sinx＋|sinx|. (1)畫出函數的簡圖． (2)這個函數是周期函數嗎？如果是，求出它的最小正周期． (3)指出這個函數的單調增區(qū)間． 24．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一個最高點的坐標為(，)，且此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點(，0)．若φ∈(－，)， (1)試求這條曲線的函數表達式； (2)用“五點法”畫出(1)中函數在[0，π]上的圖象． 答案與解析 基礎鞏固 1．B　2.A　3.(kπ，0)，k∈Z　4.A 5．A　y＝sin(x＋)的遞減區(qū)間是2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， ∴選項A符合要求． 6．D　∵f(x)＝cos(πx－)－1＝sinπx－1， ∴周期T＝＝2. 又∵f(－x)≠f(x)， ∴f(x)為非奇非偶函數． 7．C　令t＝sinx，則t∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，t∈[－1,1]，∴y∈[－，1]． 8．[6kπ－3π，6kπ]，k∈Z 9．解：(1)因為對于y＝sinx，x∈R，當x＝2kπ＋(k∈Z)時有最大值1，所以對于y＝－2sinx，x∈R，當x＝2kπ＋(k∈Z)時有最小值－2，x的集合為{x|x＝2kπ＋，k∈Z}． (2)因為對于y＝sinx，x∈R，當x＝2kπ－(k∈Z)時有最小值－1，把當作一個整體，相當于上式中的x，則有當＝2kπ－(k∈Z)時，y＝－2＋sin有最小值，即當x＝6kπ－(k∈Z)時，y＝－2＋sin，x∈R有最小值－3，x的集合為{x|x＝6kπ－，k∈Z}． 10．D 11．C　函數y＝sinx的圖象上的點向右平行移動個單位長度可得函數y＝sin(x－)的圖象；橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)可得函數y＝sin(x－)的圖象，所以所求函數的解析式是y＝sin(x－)． 12．解：(1)列表： x－ 0 π 2π x y 3 5 3 1 3 (2)描點． (3)作圖，如下圖．周期T＝2π，頻率f＝＝，相位為x－，初相為－，最大值為5，最小值為1，函數的減區(qū)間為[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z. 將函數在一個周期內的圖象向左、向右兩邊擴展即得y＝2sin(x－)＋3的圖象． 能力提升 13．A 14．D　由圖象知T＝π，∴ω＝2. ∴y＝sin(2x＋φ)． 又由于y＝sin(2x＋φ)圖象過點(，1)，∴sin(＋φ)＝1. ∴＋φ＝2kπ＋， ∴φ＝2kπ－(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝－. 15．C　函數y＝sin2x取最小值－1時x的值為x＝kπ－(k∈Z)，y＝sin(x＋)取最小值－1時x的值為x＝2kπ－(k∈Z)，y＝sin(x－)取最小值－1時x的值為x＝2kπ－(k∈Z)，因此三個函數中沒有兩個函數有相同的最低點，所以C錯誤． 16．解：(1)由圖知A＝2.周期T＝7－(－1)＝8， ∴＝8，ω＝. ∵點(1,2)在圖象上， ∴2＝2sin(1＋φ)，即sin(φ＋)＝1. ∴φ＝. ∴f(x)的解析式為f(x)＝2sin(x＋)． (2)在y＝g(x)的圖象上任取一點P(x，y)，則點P關于x＝2的對稱點P′(4－x，y)在y＝f(x)的圖象上， ∴y＝2sin[(4－x)＋]， 即y＝2sin(－x)． ∴g(x)的解析式為g(x)＝2sin(－x)． 17．C 18．B 19．[＋kπ，＋kπ]，k∈Z f(x)＝sin(－2x) ＝－sin(2x－)， 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 20．3 21．解：y＝sin2x－sinx＋1 ＝(sinx－)2＋. ∵x∈[，]， ∴由正弦函數的圖象知≤sinx≤1. 而函數y＝(t－)2＋在[，1]上單調遞增， ∴當sinx＝時，f(x)min＝； 當sinx＝1時，f(x)max＝1. 22．解：(1)由題設可知f(0)＝3sin＝. (2)∵f(x)的最小正周期為， ∴ω＝＝4. ∴f(x)＝3sin(4x＋)． (3)由f(＋)＝3sin(α＋＋) ＝3cosα＝， ∴cosα＝. ∴sinα＝＝. 拓展探究 23．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝ 　 函數圖象如圖所示． (2)由圖象知該函數是周期函數，且函數的最小正周期是2π. (3)由圖象知函數的單調增區(qū)間為[2kπ，2kπ＋](k∈Z)． 24．解：(1)依題意，A＝， T＝4(－)＝π. ∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2. ∴y＝sin(2x＋φ)． 又曲線上的最高點為(，)， ∴sin(2＋φ)＝1. ∵－<φ<， ∴φ＝. ∴y＝sin(2x＋)． (2)列出x、y的對應值表 2x＋ 0 π 2π x － y 0 0 － 0 作圖如下：