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2019-2020年高考數(shù)學滾動檢測05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測A卷理 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 設平面、，直線、，，，則“，”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 考點：1.平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)；2.充分必要條件 2. 如果對任意實數(shù)x總成立,則a的取值范圍是　　　?。? ） A． B． C． D． 【答案】Ａ 【解析】 試題分析：因為對任意實數(shù)x總成立,所以a小于的最小值，由絕對值的幾何意義，數(shù)軸上到定點-1，-9距離之和的最小值為兩定點之間的距離，所以，故選A。 考點：本題主要考查絕對值的幾何意義。 3. 【xx河南漯河中格紙上小正方形邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. 48 B. 36 C. 32 D. 24 【答案】C 【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱截去一個四棱錐而得到的。 該幾何體的體積為： 故選：C 點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬. 4. 《莊子天下篇》中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個命題本質(zhì)的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點：等比數(shù)列求和. 5. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是斜邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】幾何體如圖： 為外接球的球心，表面積為，選B. 點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解． (2)若球面上四點構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解． 6. 設等比數(shù)列中，前n項和為,已知，則 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意可知成等比數(shù)列，即8，-1，成等比數(shù)列， 可得 ，故選A 考點：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì) 7. 【xx云南昆明一中檢測】已知數(shù)列的前項和為，且， ，則數(shù)列中的為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【方法點晴】本題主要考查等差數(shù)列的定義以及已知數(shù)列的遞推公式求通項，屬于中檔題.由數(shù)列的遞推公式求通項常用的方法有：累加法、累乘法、構(gòu)造法， 已知數(shù)列前項和與第項關系，求數(shù)列通項公式，常用公式，將所給條件化為關于前項和的遞推關系或是關于第項的遞推關系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式. 在利用與通項的關系求的過程中，一定要注意 的情況.，進而得出的通項公式. 8. 是邊長為1的等比三角形，已知向量滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 考點：平面向量數(shù)量積運算. 【方法點睛】平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式ab＝|a||b|cos θ；二是坐標公式ab＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義. (2)求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡. 9. 【xx江西宜春調(diào)研】如圖（1），五邊形是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成，其中， ，現(xiàn)將進行翻折，使得平面平面，連接，所得四棱錐如圖（2）所示，則四棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】對四棱錐進行補型，得到三棱柱如下所示，故四棱錐的外接球球心即為三棱柱的外接球球心；故其外接球半徑 ，故表面積 故選C. 點睛：本題考查了多面體的外接球，把不易求其外接球半徑的幾何體轉(zhuǎn)化為易求半徑的幾何體是解題的關鍵，體現(xiàn)了補體的方法. 10. 若不等式在區(qū)間上有解，則a的取值范圍為（ ） A．（,） B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：，設在上是減函數(shù)，所以最小值為，所以 考點：不等式與函數(shù)問題 11. 【xx遼寧凌源兩校聯(lián)考】若實數(shù)， 滿足不等式組 ， ，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 12. 已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為120，此時點在同一個球面上，則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點：多面體的外接球及表面面積公式的運用． 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 已知向量，，則__________． 【答案】5 【解析】 試題分析：因為又，所以． 考點：平面向量的數(shù)量積． 14. 設數(shù)列前項和為，如果那么_____________． 【答案】 【解析】 考點：數(shù)列通項公式的應用． 【方法點晴】本題主要考查了數(shù)列通項公式的應用，其中解答中涉及數(shù)列的遞推關系式的應用、數(shù)列的累積法等知識點的綜合考查，著重考查學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題，本題的解答中，利用數(shù)列的遞推關系式，得到，進而得到是解答的關鍵． 15. 【xx江蘇溧陽調(diào)研】給出下列命題： （1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面； （2）若兩個平面垂直，那么平行于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面； （3）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面． 則其中所有真命題的序號是___________________． 【答案】（1）（3） 【解析】逐一考查所給的命題： （1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面； （2）若兩個平面垂直，那么平行于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （3）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面； （4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線不一定垂直于另一個平面． 綜上可得：真命題的序號是（1）（3）. 16. 如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是__ ___cm2，體積為_ __ cm3． 【答案】 【解析】 考點：空間幾何體的三視圖． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 【xx河南漯河中學四?！咳鐖D，四棱錐中，底面是的菱形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直， 為的中點. （1）求證： 平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：（1）要證平面，轉(zhuǎn)證線線垂直即可；（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量間的運算關系求出兩個向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角． 試題解析： （1）法一：作于，連接 由側(cè)面與底面垂直，則面 所以，又由， ， ， 則，即 取的中點，連接， 由為的中點， 則四邊形為平行四邊形， 所以，又在中， ， 為中點，所以， 所以，又由所以面. 法二: 作于，連接 由側(cè)面與底面垂直，則面 所以，又由， ， ， 則，即 分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系， 由已知， ， ， ， ， ， ， 所以， ， 又由所以面. （2）設面的法向量為 由， ， 由（I）知面，取面的法向量為 所以，設二面角大小為，由為鈍角得 點睛：利用法向量求解空間二面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 18. 已知函數(shù)其中在中，分別是角的對邊，且． （1）求的對稱中心； （2）若，，求的面積． 【答案】（1） 對稱中心為（2） 【解析】 試題分析：（1）利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，利用f（A）=1，結(jié)合A的范圍，可得結(jié)論；（2）先利用余弦定理，結(jié)合條件可求bc的值，從而可求△ABC的面積． 試題解析： (1）因為， 所以對稱中心 考點：解三角形；三角形中的恒等變換 【名師點睛】數(shù)學問題中的條件和結(jié)論，很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進行搭配和呈現(xiàn)的．在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關系，認真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對數(shù)式結(jié)構(gòu)進行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到突破問題的方案． 19. 已知函數(shù) （1）若對于任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍； （2）如果關于x的不等式f（x）m有解，求實數(shù)m的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）結(jié)合二次函數(shù)圖像，當在區(qū)間兩端點處函數(shù)值滿足成立成立時，則有在區(qū)間上成立，將相應的自變量值代入可求得實數(shù)的不等式，得到其取值范圍；（2）由不等式有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，從而得到關于實數(shù)m的不等式，求得其范圍 試題解析：（1） （2） ， 法二： 有解 ∴ 考點：1．二次函數(shù)圖像及性質(zhì)；2．不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化 20. 已知數(shù)列的首項且． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，求出它的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）證明見解析，；（2）. 【解析】 試題解析： （1），即， ∴，又， ∴數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列， ，． （2）由（1）得， ∴， ， , 相減得， ∴． 考點：遞推數(shù)列求通項，錯位相減法． 【方法點晴】錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項和公式就是用此法推導的．若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令，則兩式錯位相減并整理即得. 21. 如圖，在四棱錐中，為正三角形，，平面平面． （1）點在棱上，試確定點的位置，使得平面； （2）求二面角的余弦值． 【【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）借助題設條件運用線面垂直的判定定理推證；（2）借助題設運用空間向量的數(shù)量積求解. （1），故； 設，若，則，即， 即，即，即當為的中點時，， 則平面，所以當為的中點時平面． （2）設平面的一個法向量，，則且，即且，令，則，則， 再取平面的一個法向量為 則， 故二面角的余弦值為 考點：線面垂直的判定定理及空間向量的數(shù)量積公式等有關知識的綜合運用. 【易錯點晴】立體幾何是中學數(shù)學中的重要內(nèi)容之一,也高考和各級各類考試的重要內(nèi)容和考點.本題以四棱錐為背景考查的是空間的直線與平面的位置關系及二面角的平面角等有關知識的綜合運用.解答本題第一問時,要掌握線面垂直判定定理中的條件,設法找出面內(nèi)的兩條相交直線與已知直線垂直；第二問中計算問題先建立空間直角坐標系,運用空間向量的有關知識先確定平面的一個法向量,再運用空間向量的數(shù)量積公式求解出二面角的余弦值為. 22. 【xx江西宜春調(diào)研】已知多面體如圖所示，底面為矩形，其中平面， ，若分別是的中心，其中. （1）證明： ； （2）若二面角的余弦值為，求的長. 【答案】(1)見解析(2) SD=2 【解析】試題分析： 利用題意證得平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)和直線平行的結(jié)論可得 （2）如圖，以D為原點，射線DA，DC，DS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系；設，則． 因為⊥底面，所以平面的一個法向量為. 設平面SRB的一個法向量為， ， ，則 即 令x=1，得，所以， 由已知，二面角的余弦值為， 所以得 ，解得a =2，所以SD=2．