《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第二部分 第二板塊 貫通4大數(shù)學(xué)思想——解得穩(wěn)講義 理（重點生含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第二部分 第二板塊 貫通4大數(shù)學(xué)思想——解得穩(wěn)講義 理（重點生含解析）.doc（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第二板塊 貫通4大數(shù)學(xué)思想——解得穩(wěn) 思想(一)　函數(shù)方程　穩(wěn)妥實用 函數(shù)與方程思想的概念 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 　　函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題．方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解．方程是從算術(shù)方法到代數(shù)方法的一種質(zhì)的飛躍，有時，還可以將函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的. 　　函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解(證明)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易、化繁為簡的目的. 借助“顯化函數(shù)關(guān)系”，利用函數(shù)思想解決問題 在方程、不等式、三角、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問題中，將原有隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來，從而充分運用函數(shù)知識或函數(shù)方法使問題順利獲解． 　已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，bn＝＋＋…＋，若對任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求實數(shù)k的最小值． [解]　(1)因為a1＝2，a＝a2(a4＋1)， 又因為{an}是正項等差數(shù)列，所以公差d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 解得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項公式an＝2n. (2)由(1)知Sn＝n(n＋1)， 則bn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝－＋－＋…＋－ ＝－＝＝. 令f (x)＝2x＋(x≥1)，則f ′(x)＝2－， 當x≥1時，f ′(x)>0恒成立， 所以f (x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)， 故當x＝1時，f (x)min＝f (1)＝3， 即當n＝1時，(bn)max＝， 要使對任意的正整數(shù)n，不等式bn≤k恒成立， 則需使k≥(bn)max＝， 所以實數(shù)k的最小值為. [技法領(lǐng)悟] 數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式都具有隱含的函數(shù)關(guān)系，都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，在解等差數(shù)列、等比數(shù)列問題時，有意識地凸現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)思想或函數(shù)方法研究、解決問題 ，不僅能獲得簡便的解法，而且能促進科學(xué)思維的培養(yǎng)，提高發(fā)散思維的水平． 　　　 [應(yīng)用體驗] 1．已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正棱柱的體積取最大值時，其高的值為(　　) A．3　　　　　　　　　 B. C．2 D．2 解析：選D　設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為h，則可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的體積V＝h＝h＝. 令y＝－＋9h，則y′＝－＋9， 令y′＝0，解得h＝2.易知當h＝2時，y取最大值，即正六棱柱的體積最大． 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13<0，則S1，S2，S3，…，S12中的最大項為________． 解析：由a3＝12，得a1＝12－2d， 所以S12＝144＋42d>0. S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－＜d＜－3. Sn＝na1＋d＝dn2＋n， 由d＜0，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，知對稱軸方程為n＝－. 又由－＜d＜－3，得6＜－＜， 所以當n＝6時，Sn最大． 答案：S6 3．滿足條件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面積的最大值是________． 解析：可設(shè)BC＝x，則AC＝x，根據(jù)面積公式得 S△ABC＝ABBCsin B＝x. 由余弦定理得cos B＝＝. 則S△ABC＝x ＝ . 由解得2－2＜x＜2＋2. 故當x＝2時，S△ABC取得最大值，最大值為2. 答案：2 轉(zhuǎn)換“函數(shù)關(guān)系”，利用函數(shù)思想解決問題 在有關(guān)函數(shù)形態(tài)和曲線性質(zhì)或不等式的綜合問題、恒成立問題中，經(jīng)常需要求參數(shù)的取值范圍，如果按照原有的函數(shù)關(guān)系很難奏效時，不妨轉(zhuǎn)換思維角度，放棄題設(shè)的主參限制，挑選合適的主變元，揭示它與其他變元的函數(shù)關(guān)系，切入問題本質(zhì)，從而使原問題獲解． 　已知函數(shù)f (x)＝lg，其中a為常數(shù)，若當x∈(－∞，1]時，f (x)有意義，則實數(shù)a的取值范圍為________． [解析]　參數(shù)a深含在一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式(組)非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a分離出來，重新認識a與變元x的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，使原問題“柳暗花明”． 由＞0，且a2－a＋1＝2＋＞0， 得1＋2x＋4xa＞0，故a＞－. 當x∈(－∞，1]時，y＝與y＝都是減函數(shù)， 因此，函數(shù)y＝－在(－∞，1]上是增函數(shù)， 所以－max＝－，所以a＞－. 故實數(shù)a的取值范圍是. [答案]　 發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系，反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn)．本題主客換位后，利用新建函數(shù)y＝－＋的單調(diào)性巧妙地求出實數(shù)a的取值范圍．此法也叫主元法． 　　　　[技法領(lǐng)悟] [應(yīng)用體驗] 4．設(shè)不等式2x－1>m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立，則x的取值范圍為________． 解析：問題可以變成關(guān)于m的不等式 (x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立， 設(shè)f (m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 則 即 解得0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2， 則y1＋y2＝，y1y2＝， 所以|y2－y1|＝， 所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝ ＝. 設(shè)t＝，則g(t)＝t＋，t≥， 所以g′(t)＝1－＞0， 所以g(t)在區(qū)間[，＋∞)上為增函數(shù)， 所以g(t)≥， 所以S△AOB≤，當且僅當m＝0時等號成立． 所以△AOB的面積存在最大值，為. 構(gòu)造“函數(shù)關(guān)系”，利用函數(shù)思想解決問題 在數(shù)學(xué)各分支形形色色的問題或綜合題中，將非函數(shù)問題的條件或結(jié)論，通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造出某些函數(shù)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上利用函數(shù)思想和方法使原問題獲解，這是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn)．特別要注意的是，構(gòu)造時，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類比、聯(lián)想的因素，促進思維遷移． 　設(shè)函數(shù)f (x)＝aexln x＋，曲線y＝f (x)在點(1，f (1))處的切線為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f (x)＞1. [解]　(1)f ′(x)＝aex＋(x＞0)， 由于直線y＝e(x－1)＋2的斜率為e，圖象過點(1,2)， 所以即解得 (2)證明：由(1)知f (x)＝exln x＋(x＞0)， 從而f (x)＞1等價于xln x＞xe－x－. 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x， 所以當x∈時，g′(x)＜0，當x∈，＋∞時，g′(x)＞0，故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g＝－. 構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xe－x－， 則h′(x)＝e－x(1－x)． 所以當x∈(0,1)時，h′(x)＞0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0； 故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－. 綜上，當x＞0時，g(x)＞h(x)，即f (x)＞1. 　[技法領(lǐng)悟] 對于第(2)問“aexln x＋＞1”的證明，若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)＝aexln x＋－1，求導(dǎo)以后不易分析，因此并不宜對其整體進行構(gòu)造函數(shù)，而應(yīng)先將不等式“aexln x＋＞1”合理拆分為“xln x＞xe－x－”，再分別對左右兩邊構(gòu)造函數(shù)，進而達到證明原不等式的目的． [應(yīng)用體驗] 6．已知函數(shù)y＝f (x)對于任意的x∈滿足f ′(x)cos x＋f (x)sin x＝1＋ln x，其中f ′(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是(　　) A.f f C.f >f D.f >，所以g>g， 所以>， 即f >f ，故選B. 7．若0ln x2－ln x1　　 B．e－ex1e D．x2eg(x2)， ∴x2e>x1e，故選C. 構(gòu)造“方程形式”，利用方程思想解決問題 分析題目中的未知量，根據(jù)條件分別列出關(guān)于未知數(shù)的方程(組)，使原問題得到解決，這就是構(gòu)造方程法，是應(yīng)用方程思想解決非方程問題的極富創(chuàng)造力的一個方面． 　　　已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x交于不同的兩點A，B，問：是否存在實數(shù)k，使以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點F？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由． [解]　存在．顯然F的坐標為(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)． 當k＝0時，l與C只有一個交點不合題意，因此，k≠0. 將y＝k(x＋1)代入y2＝4x， 得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ① 依題意，x1，x2是①式不相等的兩個根， 則 以AB為直徑的圓過F?AF⊥BF?kAFkBF＝－1 ?＝－1?x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0 ?x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0 ?(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0.③ 把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③式， 得2k2－1＝0.∴k＝，經(jīng)檢驗，k＝適合②式． 綜上所述，k＝為所求． 　[技法領(lǐng)悟] “是否存在符合題意的實數(shù)k”，按思路的自然流向應(yīng)變?yōu)椤瓣P(guān)于k的方程是否有解”．另外，解得k＝后，必須經(jīng)過②式的檢驗，就是說，k＝時 ，直線l與拋物線C要確實有兩個不同的交點． 　　　 [應(yīng)用體驗] 8. 已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有實根，則a與b夾角的取值范圍為________． 解析：|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x＋ab＝0有實根，則|a|2－4ab≥0，設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cos θ＝≤＝. 所以a與b的夾角θ的取值范圍為. 答案： 9．已知x∈，則函數(shù)y＝的最小值為________． 解析：將原函數(shù)變形為y2x2－5x＋2＝0，x∈.設(shè)f (x)＝y(tǒng)2x2－5x＋2，該方程有解的充要條件為 f f (2)≤0或 解得≤y≤，所以ymin＝，此時x＝或x＝2. 答案： 轉(zhuǎn)換“方程形式”，利用方程思想解決問題 把題目中給定的方程根據(jù)題意轉(zhuǎn)換形式，凸現(xiàn)其隱含條件，充分發(fā)揮其方程性質(zhì)，運用有關(guān)方程的解的定理(如根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、實根分布的充要條件)使原問題獲解，這是方程思想應(yīng)用的又一個方面． 　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值． [解]　法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得 所以sin αcos β＝，cos αsin β＝. 從而＝＝. 法二：令x＝.因為＝， 且＝＝＝＝. 所以得到方程＝. 解這個方程得＝x＝. [技法領(lǐng)悟] 本例解法二運用方程的思想，把已知條件通過變形看作關(guān)于sin αcos β與cos αsin β的方程來求解，從而獲得欲求的三角表達式的值． 　　　　 [應(yīng)用體驗] 10．已知函數(shù)f (x)滿足條件f (x)＋2f ＝x，則f (x)＝________. 解析：用代換條件式中的x得f ＋2f (x)＝， 因此f (x)與f 滿足方程組 ②2－①得3f (x)＝，解得f (x)＝. 答案： 11．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為________． 解析：聯(lián)立消去y，得x2－10x＋9＝0， 解得或 所以|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8， 梯形APQB的面積為48. 答案：48 　[總結(jié)升華] 函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用主要涉及以下知識 (1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題．一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解． (2)三角函數(shù)中有關(guān)方程根的計算，平面向量中有關(guān)模、夾角的計算，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解． (3)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)或一元二次方程來解決． (4)解析幾何中有關(guān)求方程、求值等問題常常需要通過解方程(組)來解決，求范圍、最值等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值來解決． (5)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決．　　　 思想(二)　數(shù)形結(jié)合　直觀快捷 充分運用數(shù)的嚴謹和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法． 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面： 以形助數(shù) 以數(shù)助形 即借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系．以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助解析幾何方法 即借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性．以數(shù)助形常用的有：借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助運算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合 由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化． 利用數(shù)形結(jié)合求解f (x)＝k型問題 方法一：直接作圖　 　(1)已知函數(shù)f (x)＝|lg x|.若0h(1)＝3，即a＋2b的取值范圍是(3，＋∞)．故選C. (2)f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，化簡得f (x)＝作出f (x)的圖象及直線y＝k，由圖象知當1＜k＜3時，函數(shù)f (x)與直線y＝k有且僅有兩個交點． [答案]　(1)C　(2)(1,3) [技法領(lǐng)悟] 如本例(1)，實際上存在一條“虛擬”的水平直線，這一點固然重要，卻不是本題的關(guān)鍵．本題的關(guān)鍵在于水平直線與函數(shù)圖象的兩個交點的橫坐標并非毫無關(guān)聯(lián)，而是滿足一定的關(guān)系，即ab＝1，這一關(guān)鍵之處決定了該類型題目的難度和極易出錯的特性．本例(2)中有一條明顯的“動態(tài)”水平直線，通過上下移動觀察其與函數(shù)圖象的交點情況．但有些題中的這條水平線就不容易能看出來． 特別提醒：務(wù)必注意水平直線與函數(shù)圖象的交點的橫坐標之間的聯(lián)系．例如，一條水平直線與二次函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和為定值，且為對稱軸的兩倍；一條水平直線與三角函數(shù)圖象的交點的橫坐標滿足一定的周期性等等． 　 [應(yīng)用體驗] 1．已知f (x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f (x)－a的零點個數(shù)不為0，則a的最小值為________． 解析： 原方程等價于f (x)＝其圖象如圖所示，要使a＝f (x)有零點，則a≥1，因此a的最小值為1. 答案：1 2．對于實數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b＝設(shè)f (x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． 解析：f (x)＝(2x－1)⊕(x－1) ＝ ?f (x)＝ 故關(guān)于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實根x1，x2，x3，等價于函數(shù)f (x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點． 作出函數(shù)f (x)的大致圖象如圖所示，從圖中不難得知00時，－x2＋x＝m， 即x2－x＋m＝0， 由此可得x2x3＝m.當x<0時， 由2x2－x＝，得x＝. 當m在上遞增時， |x1|也在上遞增． 從而m|x1|隨著m的遞增而遞增， 而x1<0，所以x1x2x3∈為所求． 答案： 方法二：先變形后作圖　 　(1)若直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，則a的取值范圍為________． (2)已知函數(shù)g(x)＝a－x2－2x，f (x)＝且函數(shù)y＝f (x)－x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　(1)利用分離參數(shù)思想，直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，等價于方程1－a＝x2－|x|有四個不同的根，令g(x)＝x2－|x|，畫出g(x)的圖象，如圖所示．將水平直線y＝1－a從上往下平移，當1－a＝0，即a＝1時，有3個交點，再往下平移，有4個交點，繼續(xù)往下平移，當1－a＝－，即a＝時，有兩個交點．因此a的取值范圍為. (2)f (x)＝y(tǒng)＝f (x)－x恰有3個不同的零點等價于y＝f (x)與y＝x的圖象有三個不同的交點，試想將曲線f (x)上下平移使之與y＝x有三個交點是何等的復(fù)雜，故把原函數(shù)變形， 由f (x)－x＝ 可得f (x)－x＝a＋ 所以y＝f (x)－x有三個零點等價于 a＝有三個根． 令h(x)＝ 畫出y＝h(x)的圖象如圖所示，將水平直線y＝a從上向下平移，當a＝0時，有兩個交點，再向下平移，有三個交點，當a＝－1時，有三個交點，再向下就只有兩個交點了，因此a∈[－1,0)． [答案]　(1)　(2)[－1,0) 　[技法領(lǐng)悟] 如果對本例(1)不變形，也可求出參數(shù)的取值范圍，變形只是讓作圖更簡單易行．然而多數(shù)情況下，變形是解題的關(guān)鍵，如本例(2)．如果不變形，恐怕不是復(fù)雜一點點的問題了． [應(yīng)用體驗] 3．已知函數(shù)f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍為(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：選B　顯然x＝0不是f (x)的零點，將f (x)＝0變形得a＝－，由題意得直線y＝a與函數(shù)y＝－的圖象有唯一交點且交點在y軸右邊．由于函數(shù)g(x)＝－為奇函數(shù)，考慮當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＝，g(x)在x＝1處取得極大值，且當x趨近于0時，g(x)趨近于－∞；且當x趨近于＋∞時，g(x)趨近于0，畫出y＝g(x)的圖象如圖所示，平移直線y＝a，由圖象知a的取值范圍是(－∞，－2)． 4．若關(guān)于x的方程＝kx2有四個不同的實數(shù)解，則k的取值范圍為________． 解析：x＝0，顯然是方程的一個實數(shù)解； 當x≠0時，方程＝kx2可化為 ＝(x＋4)|x|(x≠－4)， 設(shè)f (x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原題可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有三個非零交點． 則f (x)＝(x＋4)|x|＝的大致圖象如圖所示， 由圖，易得0<<4， 解得k>. 所以k的取值范圍為. 答案： 利用數(shù)形結(jié)合求解kx＋b＝f (x)型問題 方法一：旋轉(zhuǎn)動直線　 若直線的斜率在變化，則這樣的直線往往都恒過某一個定點，對于這類型的題，首先找出這個定點非常關(guān)鍵，然后確定相應(yīng)的臨界情形，最后考慮旋轉(zhuǎn)的方向． 　(1)已知函數(shù)f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f (x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞) (2)已知函數(shù)f (x)＝若|f (x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] [解析]　(1)由題意得函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有兩個不同的交點，分別畫出函數(shù)圖象如圖所示．直線g(x)＝kx過原點這個定點，尋找臨界點，當直線過點(2,1)時，直線與函數(shù)f (x)＝|x－2|＋1只有一個交點，此時k＝＝，然后直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，當與f (x)在x>2時的圖象平行時，就只有一個交點，所以0，則當x趨于正無窮時，ax>ln(1＋x)，與 題意矛盾，所以a≤0.故只需滿足動直線g(x)＝ax在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)落在f (x)＝x2－2x之下即可．其臨界情形是g(x)＝ax與f (x)＝x2－2x相切，即x2－2x＝ax只有一個實數(shù)解，可得a＝－2.如圖所示，動直線g(x)＝ax逆時針旋轉(zhuǎn)滿足題意，因此a∈[－2,0]． [答案]　(1)B　(2)D [技法領(lǐng)悟] 解決此類問題，初始位置(臨界情況)的選取相當重要，一般來說，初始位置要么恰好滿足題意，要么恰好不滿足題意，具體情況還得具體分析． 　　　 [應(yīng)用體驗] 5．已知方程－ax－4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：方程－ax－4＝0有兩個不相等的實數(shù)根等價于函數(shù)y＝與y＝ax＋4有兩個不同的交點，y＝ 是一個半圓，直線y＝ax＋4是繞點(0,4)旋轉(zhuǎn)的動直線，畫出y＝的圖象，如圖所示，要使＝ax＋4有兩個不同的實數(shù)解，當它們相切時是臨界情形，可計算出此時a的值，由?(a2＋1)x2＋(8a－4)x＋16＝0，Δ＝0?a＝－.由圖可知，直線y＝ax＋4繞點(0,4)順時針旋轉(zhuǎn)到直線過點(4,0)時是另一個臨界條件，所以當－1≤a＜－時，直線與曲線有兩個交點，于是a的取值范圍為. 答案： 6．用max{a，b}表示a，b兩個數(shù)中最大數(shù)，設(shè)f (x)＝max{－x2＋8x－4，log2x}，若g(x)＝f (x)－kx有兩個零點，則k的取值范圍是(　　) A．(0,3) B．(0,3] C．(0,4) D．[0,4] 解析：選C　法一：畫出f (x)的圖象如圖所示，g(x)有兩個零點，即y＝f (x)的圖象與y＝kx的圖象有兩個交點，從圖象上看，當直線與二次函數(shù)上方相切時有一個交點，此時－x2＋8x－4＝kx，Δ＝(k－8)2－16＝0?k1＝4，k2＝12(舍去，此時與下方相切)，所以當0|x－a|至少有一個負數(shù)解，則a的取值范圍是________． [解析]　(1)畫出函數(shù)y＝f (x)的圖象，如圖所示，y＝x＋a是斜率恒為1的動直線，首先考慮直線過原點(這就是我們所說的初始位置)，此時直線剛好與y＝f (x)的圖象有兩個交點，將直線往下平移會有三個交點，一直平移直到與y＝f (x)，x∈[0,1]相切，此時剛好又出現(xiàn)兩個交點的情形(注意平移的動作慢一點)，此時聯(lián)立?x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0?a＝－，所以在一個周期內(nèi)得到滿足條件的a的值為a＝0或a＝－，又因為周期為2，所以a＝2k或a＝－＋2k(k∈Z)． (2)令f (x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|，由于g(x)＝|x－a|的圖象是V形．首先將這個V形的尖點放在點(2,0)(這是我們所說的初始位置，該點往往都是使得結(jié)論恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此時a＝2.然后再將V形尖點向左平移，即如圖中的箭頭所示．由圖可知，向左平移的臨界情況是V形尖點右支與f (x)相切，此時聯(lián)立知x2＋x－a－2＝0有一個解，Δ＝1＋4(2＋a)＝0?a＝－.要特別注意，此時g(x)＝|x－a|的圖象與f (x)＝2－x2的圖象相切，但不等式取不到等號，因此a≠－，注意到a＝2時無負數(shù)根，因此a的取值范圍為. [答案]　(1)D　(2) [技法領(lǐng)悟] 對于平移的動直線情形，關(guān)鍵在于如何選取初始位置(臨界情形)，這個難把握之處正是本塊內(nèi)容的核心，初始位置的選取并非信手拈來，而是有根有據(jù)的，通過本例中的兩個題目，仔細體會． [應(yīng)用體驗] 7．已知函數(shù)f (x)＝且關(guān)于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞) B．(－1,3) C．(－∞，1) D．(2,4) 解析：選A　畫出f (x)的圖象，如圖所示，則由方程有且僅有一個實根可得f (x)的圖象與直線y＝－x＋a的圖象只有一個交點．首先讓直線過(0,1)(這是我們所說的初始位置，因為當直線向下平移時你會發(fā)現(xiàn)有兩個交點)，由圖可知，只有向上平移才能滿足f (x)圖象與直線y＝－x＋a只有一個交點，所以a的取值范圍是(1，＋∞)． 8．已知函數(shù)f (x)＝若方程f (x)＝x＋a有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．(－∞，1) D．[0，＋∞) 解析：選C　注意本題只有在(－1，＋∞)內(nèi)才是周期為1的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式首先畫出在(－∞，0]內(nèi)的圖象，然后截取(－1,0]的圖象向右一個單位一個單位的平移，可以得到f (x)的圖象，如圖所示．y＝x＋a是斜率為1的動直線，首先讓直線過(0,1)(這是我們所說的初始位置，因為當直線向下平移時你會發(fā)現(xiàn)有兩個交點，向上平移只有一個交點)，由圖可知，只有向下平移才能滿足f (x)圖象與直線y＝x＋a有兩個交點，所以a的取值范圍是(－∞，1). 利用數(shù)形結(jié)合求解解析幾何問題 　　　(1)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C 上存在點P，使得 ∠APB＝90，則 m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 (2)設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. [解析]　(1)根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6. (2)如圖所示，設(shè)以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連接OQ，則OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O為F1F2的中點，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2?4a2＋16a2＝20a2＝4c2?e＝＝. [答案]　(1)B　(2)D [技法領(lǐng)悟] (1)在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，這樣使數(shù)更形象，更直白，充分利用圖象的特征，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，避免一些復(fù)雜的計算，給解題提供方便． (2)應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點到直線的距離；④根式——可考慮兩點間的距離． 　　　　 [應(yīng)用體驗] 9．已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________． 解析：由題意知圓的圓心C(1,1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直于直線l時，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時|PC|＝＝3，從而|PA|＝＝2，所以(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2. 答案：2 10．已知拋物線的方程為x2＝8y，F(xiàn)是其焦點，點A(－2,4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標為________． 解析：因為(－2)2<84，所以點A(－2,4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部， 如圖，設(shè)拋物線的準線為l， 過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ， 由拋物線的定義可知△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|， 當且僅當P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|. 因為A(－2,4)，所以不妨設(shè)△APF的周長最小時，點P的坐標為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝， 故使△APF的周長最小的點P的坐標為. 答案： 　　[總結(jié)升華] 運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題的3個原則 (1)等價性原則 在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明． (2)雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的． (3)簡單性原則 找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單．　　 思想(三)　分類討論　巧分善合 在解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行了．因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個子區(qū)域，然后分別在多個子區(qū)域內(nèi)進行解題．這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法．其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們總合在一起．這種“合—分—合”的解決問題的過程，就是分類討論的思想方法． 分類討論是許多考生的弱點，也是高考的熱點和難點．分類討論思想在函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何、概率等數(shù)學(xué)問題求解中有廣泛的應(yīng)用． 由概念、法則、公式引起的分類討論 　　　(2018武昌調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．1 C．－3或1 D．1或3 [解析]　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，當q＝1時，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對任意的正整數(shù)n,3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝， 代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對任意的正整數(shù)n該等式恒成立，則有解得或 故a1＝1或－3. [答案]　C [技法領(lǐng)悟] 本題易忽略對q的取值情況進行討論，而直接利用Sn＝，很容易造成漏解或增解，若本題是解答題，這種解答是不完備的．本題根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝進行討論． 　　　 [應(yīng)用體驗] 1．一條直線過點(5,2)，且在x軸，y軸上的截距相等，則這條直線的方程為(　　) A．x＋y－7＝0 B．2x－5y＝0 C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0 D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0 解析：選C　設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a，當a＝0時，直線過原點，此時直線方程為y＝x，即2x－5y＝0；當a≠0時，設(shè)直線方程為＋＝1，則求得a＝7，直線方程為x＋y－7＝0. 2．已知雙曲線的漸近線方程是2xy＝0，則該雙曲線的離心率等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D.或 解析：選D　依題意，雙曲線的漸近線方程是y＝2x. ①若雙曲線的焦點在x軸上，則因雙曲線的漸近線方程為y＝x，故有＝2，所以離心率e＝ ＝； ②若雙曲線的焦點在y軸上，則因雙曲線的漸近線方程為y＝x，故有＝2，即＝， 所以離心率e＝ ＝. 綜上，離心率e＝或. 由運算、性質(zhì)引起的分類討論 　　　已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，則(　　) A．(a－1)(b－1)＜0　　 　 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 [解析]　∵a>0，b＞0，且a≠1，b≠1， ∴當a＞1，即a－1＞0時， 不等式logab＞1可化為alogab＞a1，即b＞a＞1， ∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0. 當0＜a＜1，即a－1＜0時， 不等式logab＞1可化為alogab＜a1，即0＜b＜a＜1， ∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0. 綜上可知，選D. [答案]　D [技法領(lǐng)悟] 應(yīng)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，往往對底數(shù)是否大于1進行討論，這是由它的性質(zhì)決定的．在處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段，再選取相應(yīng)的對應(yīng)法則，離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯誤的重要原因之一． 　　　　 [應(yīng)用體驗] 3．若函數(shù)f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________. 解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此時a＝2，m＝，此時g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意；若00兩種情況． (2)若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標準明確、不重不漏． 　　　 [應(yīng)用體驗] 5．(2018福建第一學(xué)期高三期末考試)已知函數(shù)f (x)＝若f (a)＝3，則f (a－2)＝(　　) A．－ B．3 C．－或3 D．－或3 解析：選A　當a＞0時，若f (a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a＞0)；當a≤0時，若f (a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f (a－2)＝f (0)＝4－2－1＝－. 6．設(shè)函數(shù)f (x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f (x0)<0和g(x0)<0同時成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞) 解析：選A　由f (x)＝x2－ax＋a＋3，知f (0)＝a＋3，f (1)＝4.又存在x0∈R，使得f (x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的圖象恒過(2,0)．故當a>6時，作出函數(shù)f (x)和g(x)的圖象如圖1所示，當a<－2時，作出函數(shù)f (x)和g(x)的圖象如圖2所示． 由函數(shù)的圖象知，當a>6時，若g(x0)<0，則x0<2， ∴要使f (x0)<0，則需解得a>7. 當a<－2時，若g(x0)<0，則x0>2，此時函數(shù)f (x)＝x2－ax＋a＋3的圖象的對稱軸x＝<0， 故函數(shù)f (x)在區(qū)間上為增函數(shù)， 又f (1)＝4，∴f (x0)<0不成立． 綜上，實數(shù)a的取值范圍為(7，＋∞). 根據(jù)圖形位置或形狀分類討論 　　　設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|＞|PF2|，求的值． [解]?、偃簟螾F2F1＝90. 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝. ②若∠F1PF2＝90， 則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2. 綜上知，＝或2. 　[技法領(lǐng)悟] (1)本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關(guān)系，需按直角頂點不同的位置進行討論． (2)根據(jù)圖形位置或形狀分類討論問題的步驟． ①確定特征，一般在確立初步特征時將能確定的所有位置先確定． ②分類，根據(jù)初步特征對可能出現(xiàn)的位置關(guān)系進行分類． ③得結(jié)論，將“所有關(guān)系”下的目標問題進行匯總處理． [應(yīng)用體驗] 7．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為(　　) A. B．4 C. D．4或 解析：選D　當矩形長、寬分別為6和4時，體積V＝224＝4；當長、寬分別為4和6時，體積V＝6＝. 8．已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k＝(　　) A．－ B. C．0 D．0或－ 解析：選D　不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當直線y＝kx＋1與直線x＝0或y＝2x垂直時才滿足． 結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或－. 9．過雙曲線x2－＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：選C　因為雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，所以當直線l與雙曲線左、右兩支各有一個交點時，過雙曲線的右焦點一定有兩條直線滿足條件要求； 當直線l與實軸垂直時，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2， 所以此時直線AB的長度是4，即只與雙曲線右支有兩個交點的所截弦長為4的直線僅有一條． 綜上，可知有3條直線滿足|AB|＝4. [總結(jié)升華] 1．分類討論的原則 (1)不重不漏； (2)標準要統(tǒng)一，層次要分明； (3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 2．分類討論的本質(zhì)與思維流程 (1)分類討論思想的本質(zhì)：“化整為零，積零為整”． (2)分類討論的思維流程： 明確討論的對象和動機→確定分類的標準→逐類進行討論歸納綜合結(jié)論→檢驗分類是否完備(即檢驗分類對象彼此交集是否為空集，并集是否為全集)． 　　 思想(四)　轉(zhuǎn)化與化歸　峰回路轉(zhuǎn) “抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙．事實上，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)． 轉(zhuǎn)化的常用策略有熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等． 正與反的轉(zhuǎn)化 　　　若對任意t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______________． [解析]　由題意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)， 則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，則m＋4≥－1，即m≥－5； 由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立， 則m＋4≤－9，即m≤－. ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)時，m的取值范圍為. [答案]　 　[技法領(lǐng)悟] (1)本題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則． (2)題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮比較簡單，因此，間接法(正與反的轉(zhuǎn)化)多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中． 　　　 [應(yīng)用體驗] 1．由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a)，則實數(shù)a的取值是(　　) A．(－∞，1)　　　　　　　B．(－∞，2) C．1 D．2 解析：選C　由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命題，可得m的取值范圍是(－∞，1)，而(－∞，a)與(－∞，1)為同一區(qū)間，故a＝1. 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}，若a∈R，b∈R，則A∩B≠?的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)對應(yīng)的區(qū)域為邊長為2的正方形，如圖，正方形的面積為4.令函數(shù)f (x)＝ax＋b2x－1，x∈[－1,0]，則f ′(x)＝a＋bln 22x.因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f ′(x)>0，即f (x)在[－1,0]上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f (x)在[－1,0]上的最小值為－a＋－1.要使A∩B＝?，只需f (x)min＝－a＋－1≥0，即2a－b＋2≤0，所以滿足A∩B＝?的(a，b)對應(yīng)的區(qū)域為如圖所示的陰影部分． 易知S陰影＝1＝，所以A∩B＝?的概率為＝，故A∩B≠?的概率為1－＝. 常量與變量的轉(zhuǎn)化 　　　對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范圍是___________________________________________________________________． [解析]　不等式x2＋px>4x＋p－3對p∈[0,4]恒成立可化為(x－1)p＋x2－4x＋3>0對p∈[0,4]恒成立， 設(shè)f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則當x＝1時，f (p)＝0.所以x≠1. f (p)在0≤p≤4上恒為正等價于 即解得x>3或x<－1. [答案]　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 　[技法領(lǐng)悟] (1)本題若按常規(guī)法視x為主元來解，需要分類討論，這樣會很煩瑣，若以p為主元，即將原問題化歸在區(qū)間[0,4]上，求使一次函數(shù)f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3>0成立的x的取值范圍，再借助一次函數(shù)的單調(diào)性就很容易使問題得以解決． (2)在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看作是“主元”，實現(xiàn)主與次的轉(zhuǎn)化，即常量與變量的轉(zhuǎn)化，從而達到