(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.4 直線、平面平行的判定與性質(zhì)講義(含解析).docx
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8.4 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 最新考綱 考情考向分析 理解空間線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容,涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容.題型主要以解答題的形式出現(xiàn),解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力,廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”) ?l∥α 性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ?l∥b 2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ?α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時(shí)和第三個平面相交,那么它們的交線平行 ?a∥b 概念方法微思考 1.一條直線與一個平面平行,那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎? 提示 不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類,一類與該直線平行,一類與該直線異面. 2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行嗎? 提示 平行.可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”,這就是面面平行的判定定理. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊? (1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.( ) (2)平行于同一條直線的兩個平面平行.( ) (3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.( ) (4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.( √ ) (5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.( ) (6)若α∥β,直線a∥α,則a∥β.( ) 題組二 教材改編 2.[P58練習(xí)T3]平面α∥平面β的一個充分條件是( ) A.存在一條直線a,a∥α,a∥β B.存在一條直線a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 答案 D 解析 若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除B.若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,則a∥β,b∥α,故排除C.故選D. 3.[P62A組T3]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________. 答案 平行 解析 連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO, 在△BDD1中,E為DD1的中點(diǎn),O為BD的中點(diǎn), 所以EO為△BDD1的中位線,則BD1∥EO, 而BD1?平面ACE,EO?平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 題組三 易錯自糾 4.對于空間中的兩條直線m,n和一個平面α,下列命題是真命題的是( ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m∥α,n?α,則m∥n C.若m∥α,n⊥α,則m∥n D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n 答案 D 解析 對A,直線m,n可能平行、異面或相交,故A錯誤;對B,直線m與n可能平行,也可能異面,故B錯誤;對C,m與n垂直而非平行,故C錯誤;對D,垂直于同一平面的兩直線平行,故D正確. 5.若平面α∥平面β,直線a∥平面α,點(diǎn)B∈β,則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中( ) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一與a平行的直線 答案 A 解析 當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí),不存在與a平行的直線,故選A. 6.設(shè)α,β,γ為三個不同的平面,a,b為直線,給出下列條件: ①a?α,b?β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ; ③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b. 其中能推出α∥β的條件是______.(填上所有正確的序號) 答案?、冖? 解析 在條件①或條件③中,α∥β或α與β相交; 由α∥γ,β∥γ?α∥β,條件②滿足; 在④中,a⊥α,a∥b?b⊥α,又b⊥β,從而α∥β,④滿足. 題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì) 命題點(diǎn)1 直線與平面平行的判定 例1 (2018紹興模擬)如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90,AB=AC=2,點(diǎn)M,N分別為A1C1,AB1的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面BB1C1C; (2)若CM⊥MN,求三棱錐M—NAC的體積. (1)證明 連接A1B,BC1,點(diǎn)M,N分別為A1C1,A1B的中點(diǎn),所以MN為△A1BC1的一條中位線, 所以MN∥BC1, 又MN?平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. (2)解 設(shè)點(diǎn)D,E分別為AB,AA1的中點(diǎn),AA1=a,連接ND,CD,則CM2=a2+1,MN2=1+=,CN2=+5=, 由CM⊥MN,得CM2+MN2=CN2, 解得a=, 又NE⊥平面AA1C1C,NE=1, V三棱錐M—NAC=V三棱錐N—AMC=S△AMCNE =21=. 所以三棱錐M—NAC的體積為. 命題點(diǎn)2 直線與平面平行的性質(zhì) 例2在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是線段AD,PB的中點(diǎn),PA=AB=1. (1)證明:EF∥平面PDC; (2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離. (1)證明 取PC的中點(diǎn)M,連接DM,MF, ∵M(jìn),F(xiàn)分別是PC,PB的中點(diǎn), ∴MF∥CB,MF=CB, ∵E為DA的中點(diǎn),四邊形ABCD為正方形, ∴DE∥CB,DE=CB, ∴MF∥DE,MF=DE, ∴四邊形DEFM為平行四邊形, ∴EF∥DM, ∵EF?平面PDC,DM?平面PDC, ∴EF∥平面PDC. (2)解 ∵EF∥平面PDC, ∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥DA, 在Rt△PAD中,PA=AD=1, ∴DP=, ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CB, ∵CB⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB, ∴CB⊥平面PAB, ∴CB⊥PB,則PC=, ∴PD2+DC2=PC2, ∴△PDC為直角三角形,其中PD⊥CD, ∴S△PDC=1=, 連接EP,EC,易知VE-PDC=VC-PDE, 設(shè)E到平面PDC的距離為h, ∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, AD,PA?平面PAD, ∴CD⊥平面PAD, 則h=11, ∴h=, ∴F到平面PDC的距離為. 思維升華判斷或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)). (2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α). (3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β). (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 跟蹤訓(xùn)練1(2019崇左聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四邊形ABCD滿足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.點(diǎn)E,F(xiàn)分別為側(cè)棱PB,PC上的點(diǎn),且==λ(λ≠0). (1)求證:EF∥平面PAD; (2)當(dāng)λ=時(shí),求點(diǎn)D到平面AFB的距離. (1)證明 ∵==λ(λ≠0),∴EF∥BC. ∵BC∥AD,∴EF∥AD. 又EF?平面PAD,AD?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (2)解 ∵λ=,∴F是PC的中點(diǎn), 在Rt△PAC中,PA=2,AC=, ∴PC==, ∴PF=PC=. ∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,PA⊥AC,PA?平面PAC, ∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC. 又AB⊥AD,BC∥AD,∴BC⊥AB, 又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB, ∴BC⊥平面PAB, ∴BC⊥PB,∴在Rt△PBC中,BF=PC=. 連接BD,DF,設(shè)點(diǎn)D到平面AFB的距離為d, 在等腰三角形BAF中,BF=AF=,AB=1, ∴S△ABF=, 又S△ABD=1,點(diǎn)F到平面ABD的距離為1, ∴由VF-ABD=VD-AFB,得11=d, 解得d=, 即點(diǎn)D到平面AFB的距離為. 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例3如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證: (1)B,C,H,G四點(diǎn)共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明 (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn), ∴GH是△A1B1C1的中位線, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四點(diǎn)共面. (2)∵E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. 又G,E分別為A1B1,AB的中點(diǎn),A1B1∥AB且A1B1=AB, ∴A1G∥EB,A1G=EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形, ∴A1E∥GB. 又∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 引申探究 1.在本例中,若將條件“E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn)”,求證:平面A1BD1∥平面AC1D. 證明 如圖所示,連接A1C,AC1,交于點(diǎn)M, ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形, ∴M是A1C的中點(diǎn),連接MD, ∵D為BC的中點(diǎn), ∴A1B∥DM. ∵A1B?平面A1BD1,DM?平面A1BD1, ∴DM∥平面A1BD1, 又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1∥BD且D1C1=BD, ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形, ∴DC1∥BD1. 又DC1?平面A1BD1,BD1?平面A1BD1, ∴DC1∥平面A1BD1, 又DC1∩DM=D,DC1,DM?平面AC1D, 因此平面A1BD1∥平面AC1D. 2.在本例中,若將條件“E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D,D1分別是AC,A1C1上的點(diǎn),且平面BC1D∥平面AB1D1”,試求的值. 解 連接A1B,AB1,交于點(diǎn)O,連接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1, 且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 所以BC1∥D1O, 則==1. 同理,AD1∥C1D, 又AD∥C1D1, 所以四邊形ADC1D1是平行四邊形, 所以AD=D1C1, 又AC=A1C1, 所以=, 所以=1,即=1. 思維升華證明面面平行的方法 (1)面面平行的定義. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行. (4)兩個平面同時(shí)平行于第三個平面,那么這兩個平面平行. (5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化. 跟蹤訓(xùn)練2如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M為棱AE的中點(diǎn). (1)求證:平面BDM∥平面EFC; (2)若AB=1,BF=2,求三棱錐A-CEF的體積. (1)證明 如圖,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N, 則N為AC的中點(diǎn),連接MN, 又M為棱AE的中點(diǎn), ∴MN∥EC. ∵M(jìn)N?平面EFC,EC?平面EFC, ∴MN∥平面EFC. ∵BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且BF=DE, ∴BF∥DE且BF=DE, ∴四邊形BDEF為平行四邊形, ∴BD∥EF. ∵BD?平面EFC,EF?平面EFC, ∴BD∥平面EFC. 又MN∩BD=N,MN,BD?平面BDM, ∴平面BDM∥平面EFC. (2)解 連接EN,F(xiàn)N. 在正方形ABCD中,AC⊥BD, 又BF⊥平面ABCD,∴BF⊥AC. 又BF∩BD=B,BF,BD?平面BDEF, ∴AC⊥平面BDEF, 又N是AC的中點(diǎn), ∴V三棱錐A-NEF=V三棱錐C-NEF, ∴V三棱錐A-CEF=2V三棱錐A-NEF =2ANS△NEF =22=, ∴三棱錐A-CEF的體積為. 題型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例4如圖所示,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面,若截面為平行四邊形. (1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍. (1)證明 ∵四邊形EFGH為平行四邊形, ∴EF∥HG. ∵HG?平面ABD,EF?平面ABD, ∴EF∥平面ABD. 又∵EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB, ∴EF∥AB,又∵AB?平面EFGH,EF?平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH.同理可證,CD∥平面EFGH. (2)解 設(shè)EF=x(0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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