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2019-2020年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)90天突破 專題11 概率與統(tǒng)計(jì) 【考點(diǎn)定位】xx考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布 xx考綱解讀統(tǒng)計(jì) 　　（1）隨機(jī)抽樣① 理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性.② 會用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 　　（2）用樣本估計(jì)總體?、?了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).　　② 理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.　　③ 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.　?、?會用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.?、?會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題. （3）變量的相關(guān)性　① 會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.　② 了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 概率 （1）事件與概率① 了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.　　② 了解兩個互斥事件的概率加法公式. （2）古典概型①理解古典概型及其概率計(jì)算公式.　?、跁?jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. （3）隨機(jī)數(shù)與幾何概型　　①了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.　　②了解幾何概型的意義. 概率與統(tǒng)計(jì) ?。?）概率① 理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.　② 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.　　③ 了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題.?、?理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題.⑤ 利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義. （2）統(tǒng)計(jì)案例　了解下列一些常見的統(tǒng)計(jì)方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題.　（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)　了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求22列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.　（2）回歸分析　了解回歸的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. 近幾年考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)問題是每年高考必考內(nèi)容.理科考查等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差等基本公式的應(yīng)用，‘試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題.只要我們理解和掌握五個概率公式及其應(yīng)用,夯實(shí)基礎(chǔ),借助排列組合知識和化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)試題. 概率統(tǒng)計(jì)試題在試卷中的題型逐年發(fā)生變化，xx年高考數(shù)學(xué)的19份理科試卷中，出現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)解答題的有17套，占89.4%，其中有9份試卷中有一道客觀題(選擇題或填空題)和一道解答題，有2份試卷中只出現(xiàn)客觀題。最多的概率與統(tǒng)計(jì)問題的分值占整個卷面分值的12%，且本部分題多為中低檔題。從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計(jì)所占地位的重要性。 【考點(diǎn)pk】名師考點(diǎn)透析 考點(diǎn)一、隨機(jī)事件的概率 例1：某條公共汽車線路沿線共有11個車站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站），在起點(diǎn)站開出的一輛公共汽車上有6位乘客，假設(shè)每位乘客在起點(diǎn)站之外的各個車站下車是等可能的．求：（I）這6位乘客在其不相同的車站下車的概率；（II）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率； 解：（I）這6位乘客在互不相同的車站下車的概率為． （II）這6位乘客中恰有3人在終點(diǎn)站下車的概率為． 【名師點(diǎn)睛】等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個,即此試驗(yàn)由n個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=計(jì)算時,確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計(jì)算方法靈活多變,沒有固定的模式,可充分利用排列組合知識中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,必須做到不重復(fù)不遺漏.求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步驟：（1）先確定一次試驗(yàn)是什么,此時一次試驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即求出A.（2）再確定所研究的事件A是什么,事件A包括結(jié)果有多少,即求出m.（3）應(yīng)用等可能性事件概率公式P=計(jì)算. 例2：設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”，當(dāng)a0,b0關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件是ab。試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，?gòu)成事件A的區(qū)域。所以關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的概率=。 【名師點(diǎn)睛】判斷是否是幾何概型，關(guān)鍵要判斷試驗(yàn)的結(jié)果是不是無限個，每個試驗(yàn)的結(jié)果是不是等可能的。 考點(diǎn)二互斥事件有一個發(fā)生的概率 例3：例3：某市有A、B兩所示范高中響應(yīng)政府號召，對該市甲、乙兩個教育落后地區(qū)開展支教活動．經(jīng)上級研究決定：向甲地派出3名A校教師和2名B校教師，向乙地派出3名A校教師和3名B校教師．由于客觀原因，需從擬派往甲、乙兩地的教師中各自任選一名互換支教地區(qū)．（Ⅰ）求互換后兩校派往兩地區(qū)教師人數(shù)不變的概率；（Ⅱ）求互換后A校教師派往甲地區(qū)人數(shù)不少于3名的概率． 解：（Ⅰ）記“互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變”為事件E，有以下兩種情況： ①互換的是A校的教師，記此事件為，則； ②互換的是B校的教師，記此事件為，則．則互換后派往兩地區(qū)的兩校的教師人數(shù)不變的概率為． （Ⅱ）令“甲地區(qū)A校教師人數(shù)不少于3名”為事件F，包括兩個事件：“甲地區(qū)A校教師人數(shù)有3名”設(shè)為事件；“甲地區(qū)A校教師人數(shù)有4名”設(shè)為事件，且事件、互斥．則； ．甲地區(qū)A校教師人數(shù)不少于3名的概率為 【名師點(diǎn)睛】事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當(dāng)A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1. 當(dāng)計(jì)算事件A的概率P（A）比較困難時，有時計(jì)算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（）.對于n個互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式為P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.概率加法公式僅適用于互斥事件，即當(dāng)A、B互斥時，P（A+B）=P（A）+P（B），否則公式不能使用.如果某事件A發(fā)生包含的情況較多，而它的對立事件（即A不發(fā)生）所包含的情形較少，利用公式P（A）=1－P（）計(jì)算A的概率則比較方便.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時對培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率. 考點(diǎn)三、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率 例4：例4：一射擊測試每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分。沒有擊中記分0分，每次擊中目標(biāo)的概率乙每擊中目標(biāo)一次記20分，沒有擊中記0分，每次擊中目標(biāo)的概率為 （I）求此人得20分的概率； （II）求甲乙兩人得分相同的概率。 解：（Ⅰ）甲得20分的概率為 （Ⅱ）甲、乙兩人得分相同為甲乙兩人均為0分或均為20分 【名師點(diǎn)睛】事件A與B的積記作AB，AB表示這樣一個事件，即A與B同時發(fā)生.當(dāng)A和B是相互獨(dú)立事件時，事件AB滿足乘法公式P（AB）=P（A）P（B），還要弄清，的區(qū)別. 表示事件與同時發(fā)生，因此它們的對立事件A與B同時不發(fā)生，也等價于A與B至少有一個發(fā)生的對立事件即，因此有≠，但=.應(yīng)用公式時，要注意前提條件，只有對于相互獨(dú)立事件A與B來說，才能運(yùn)用公式P（AB）=P（A）P（B）..在學(xué)習(xí)過程中，要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨(dú)立事件的積，或其對立事件.首先要搞清事件間的關(guān)系（是否彼此互斥、是否互相獨(dú)立、是否對立），當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B互相獨(dú)立時，才有P（AB）=P（A）P（B）.A、B中至少有一個發(fā)生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否則不成立.（2）若A、B相互獨(dú)立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（AB）+P（A）+P（B）；法二：P（A+B）=1－P（）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高正確率.要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率Pn（k）=Cpk（1－p）n－k正好是二項(xiàng)式［（1－p）+p］n的展開式的第k+1項(xiàng). 考點(diǎn)四、離散型隨機(jī)變量的分布列 例5：在一個選拔項(xiàng)目中，每個選手都需要進(jìn)行4輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題的個數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和期望. 解：設(shè)事件（）表示“該選手能正確回答第輪問題”，由已知，，，， （Ⅰ）（Ⅱ）.………6分 （Ⅲ）的分布列為 ……………12分 .…………………13分 【名師點(diǎn)睛】1.隨機(jī)變量的概念如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，它常用希臘字母ξ、η等表示.（1）離散型隨機(jī)變量.如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.（2）若ξ是隨機(jī)變量，η=aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量. 2.離散型隨機(jī)變量的分布列 （1）概率分布（分布列）.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1，x2，…，xi，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，則稱表 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列. （2）二項(xiàng)分布.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P（ξ=k）=Cpkqn－k. 其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B（n，p），其中n、p為參數(shù)，并記Cpkqn－k=b（k；n，p）.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率和.求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率.求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提. 考點(diǎn)五、離散型隨機(jī)變量的期望與方差 例6：xx年3月11日日本發(fā)生9.0級地震后，某國派遣了由9名醫(yī)護(hù)人員和27名搜救人員組成的救援隊(duì)到日本救援，誰知日本福島核電站連續(xù)爆炸，使該救援隊(duì)的醫(yī)護(hù)人員和的搜救人員遭輕微核輻射.（Ⅰ）在該救援隊(duì)中隨機(jī)抽查3名救援隊(duì)員，求恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員且至多1名遭輕微核輻射的搜救人員的概率；（Ⅱ）在該救援隊(duì)中隨機(jī)抽查3名醫(yī)護(hù)人員，設(shè)其中遭輕微核輻射的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：（I）設(shè)“所抽查的3人中，恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員，至多1名遭輕微核輻射的搜救人員”為事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員，0名遭輕微核輻射的搜救人員”為事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員，1名遭輕微核輻射的搜救人員，1名正常的救援隊(duì)員”為事件．則…4分 ． ∴在該救援隊(duì)中隨機(jī)抽查3名救援隊(duì)員，恰有1名遭輕微核輻射的醫(yī)護(hù)人員且至多1名遭輕微核輻射的搜救人員的概率是 （Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3．, ， ，（每個1分）． 的分布列為： 0 1 2 3 　　　 ∴ ． 【名師點(diǎn)睛】1.期望：若離散型隨機(jī)變量ξ，當(dāng)ξ=xi的概率為P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），則稱Eξ=∑xi pi為ξ的數(shù)學(xué)期望，反映了ξ的平均值. 2.方差：稱Dξ=∑（xi－Eξ）2pi為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了ξ的離散程度. 3.性質(zhì)：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b為常數(shù)）. （2）若ξ～B（n，p），則Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. 對求離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用問題，首先應(yīng)仔細(xì)地分析題意，當(dāng)概率分布不是一些熟知的類型時，應(yīng)全面地剖析各個隨機(jī)變量所包含的各種事件，并準(zhǔn)確判斷各事件的相互關(guān)系，從而求出各隨機(jī)變量相應(yīng)的概率. 考點(diǎn)六、抽樣方法、總體分布的估計(jì) 例7：為了解高中一年級學(xué)生身高情況，某校按10%的比例對全校700名高中一年級學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查，測得身高頻數(shù)分布表如下表1、表2． 表1:男生身高頻數(shù)分布表 表2：:女生身高頻數(shù)分布表 （1）求該校男生的人數(shù)并完成下面頻率分布直方圖； （2）估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率； （3）從樣本中身高在180190cm之間的男生中 任選2人，求至少有1人身高在185190cm之間 的概率。 解：（1）樣本中男生人數(shù)為40 ，由分層抽樣比例 為10%可得全校男生人數(shù)為400． 頻率分布直方圖如右圖示： （2）由表1、表2知，樣本中身高在的 學(xué)生人數(shù)為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ， 所以樣本中學(xué)生身高在的頻率- 故由估計(jì)該校學(xué)生身高在 的概率． （3）樣本中身高在180185cm之間的男生有4人， 設(shè)其編號為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間 的男生有2人，設(shè)其編號為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖為： 故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15，求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率． 【名師點(diǎn)睛】1.簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個體數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣. 2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本. 3.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 4.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.解決總體分布估計(jì)問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì). 【金題熱身】 11年高考試題及解析 1、（陜西理10）．甲乙兩人一起去“xx西安世園會”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個進(jìn)行游覽，每個景點(diǎn)參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】：各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個進(jìn)行游覽有種，且等可能，最后一小時他們同在一個景點(diǎn)有種，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是，故選D 2、（江蘇5）.從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______ 答案： 解析：簡單考察古典概型的概率計(jì)算，容易題。 3、（廣東理6）.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（ ） A. B. C. D. 【解析】D.由題得甲隊(duì)獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩伲约钻?duì)獲得冠軍的概率所以選D. 4、（浙江理9）.有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率 （A） （B） （C） （D ） 【答案】 B 【解析】：5本不同的書并排擺放到書架的同一層上有，每種擺放方法等可能，同一科目的書都不相鄰的擺放有，概率，故選B 5、（浙江理15）.某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 【答案】 【解析】：，的取值為0，1，2，3 ， ， 故 6、（課標(biāo)卷理4）. 有三個興趣小組，甲乙兩個同學(xué)各自參加其中一個小組、每個同學(xué)參加各小組可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為（ ） A B C D 4.解析：A,因?yàn)榧滓覂晌煌瑢W(xué)參加同一個小組有3種方法，兩位同學(xué)個參加一個小組共有種方法；所以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個小組的概率為 點(diǎn)評：本題考查排列組合、概率的概念及其運(yùn)算和分析問題、解決問題的能力。 7、（湖南理15）. 如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1） ;（2） . 解析：（1）是幾何概型：；（2）是條件概率：. 評析：本小題主要考查幾何概型與條件概率的計(jì)算. 8、（湖北理5）．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析：由正態(tài)分布規(guī)律可知，則， 故，所以選C. 9、（湖北理7）．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連成一個系統(tǒng). 當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時， 系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率 依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 解析：系統(tǒng)正常工作概率為，所以選B. 10、（湖北理12）. 在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為 （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示） 解析：因?yàn)?0瓶飲料中未過期飲料有30-3=27瓶，故其概率為. 11、（福建理4）.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：矩形ABCD的面積，△ABE的面積，點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于故選C 12、（福建理13）.何種裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______。 【解析】：隨機(jī)取出2球有，取出的2個球顏色不同有，所取出的2個球顏色不同的概率 13、（遼寧理5）.從1.2.3.4.5中任取2各不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B︱A)= （ ） (A) (B) (C) (D) 解析：由題意，P(A)=, P(AB)=,故P(B︱A)=. 14、(遼寧理14) .調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：=0.254x+0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_______萬元. 答案： 0.254 解析：由線性回歸直線斜率的幾何意義可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元. 15、（北京理6）.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為（A，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品時用時15分鐘，那么c和A的值分別是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16 【答案】D 【解析】由條件可知，時所用時間為常數(shù)，所以組裝第4件產(chǎn)品用時必然滿足第一個 分段函數(shù)，即，，選D。 16、（天津理9）．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動員48人，女運(yùn)動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動員的人數(shù)為___________ 【答案】12 【解析】本題考查分層抽樣,由題意知,抽取比例為,所以抽取 男運(yùn)動員的人數(shù)為. 17、（江西理6）.變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5); 變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則 A. B． C． D． 【解析】由數(shù)據(jù)可以看出變量Y與X之間是正相關(guān), 變量V與U之間是負(fù)相關(guān),所以,選C. 18、（江西理12）.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【解析】小波周末不在家看書包含兩種情況:一是去看電影;二是去打籃球;所以小波周末不在家看書的概率為. 19、（重慶理13）.將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為 解析： 。硬幣投擲6次，有三類情況，①正面次數(shù)比反面次數(shù)多；②反面次數(shù)比正面次數(shù)多；③正面次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，③概率為，①②的概率顯然相同，故①的概率為 20、（陜西理9）．設(shè)，，， 是變量x和y的n個樣本點(diǎn)，直線是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論中正確的是 （A）x和y相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 （B）x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 （C）當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個數(shù)一定相同 （D）直線過點(diǎn) 【答案】D 【解析】：由得又，所以則直線過點(diǎn)，故選D 21.某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差 答案： 解析：考察方差的計(jì)算，可以先把這組數(shù)都減去6再求方差，，容易題。 22、（四川理1）.有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[31.5，43.5)的概率約是( ) (A) (B) (C) （D） 解析：大于或等于31.5的數(shù)據(jù)所占的頻數(shù)為12+7+3=22，該數(shù)據(jù)所占的頻率約為. 23、（廣東理13）.某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為 cm. 【解析】 24、（山東理7）. 某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用（萬元） 4 2 3 5 銷售額（萬元） 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為 (A)63.6萬元 (B)65.5萬元 (C)67.7萬元 (D)72.0萬元 【解析】由表可計(jì)算,,因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上,且為9.4，所以, 解得,故回歸方程為, 令x=6得65.5,選B. 25、（湖南理4）.通過隨即詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由算得，. 附表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是 A.在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)” B. 在犯錯的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)” C. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)” D. 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)” 答案：C 解析：因?yàn)镵2≈7.8>6.635, 由99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”，故選C 評析：本小題主要考查統(tǒng)計(jì)中獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法的應(yīng)用. 26、（上海理9）.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量的概率分布律如下表 請小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清， 且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。 據(jù)此，小牛給出了正確答案 。 解析：令則， 27、（上海理12）隨機(jī)抽取9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是 （默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。 解析：取9個同學(xué)不在同一月出生的概率，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是 28、（全國理18).(本小題滿分12分) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3,設(shè)各車主購買保險相互獨(dú)立(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；(Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求的期望。 【解析】：設(shè)該車主購買乙種保險的概率為，由題：，解得 （Ⅰ）設(shè)所求概率為，則故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8. (Ⅱ) 甲乙兩種保險都不購買的概率為1-0.8=0.2.設(shè)甲乙兩種保險都不購買的車主數(shù)為，則B（100，0.2）， 答：該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8, 的期望值是20。 29、（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費(fèi)，超過兩小時的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時的部分按1小時計(jì)算）.有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時.（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望； 解析：（Ⅰ）所付費(fèi)用相同即為元.設(shè)付0元為，付2元為，付4元為則所付費(fèi)用相同的概率為 （Ⅱ）設(shè)甲，乙兩個所付的費(fèi)用之和為，可為 分布列 0 2 4 6 8 30、（山東理18）.（本小題滿分12分）紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（Ⅰ）紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為=0.55. （Ⅱ）取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則=0.1; ++=0.35; =0.4;=0.15. 所以的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 數(shù)學(xué)期望=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6. 31、（天津理16）.（本小題滿分13分）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)用概率知識解決簡單的實(shí)際問題的能力. （Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件,則. （ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B,則B=,又 ,且互斥,所以. （Ⅱ）由題意可知的所有可能取值為0,1,,2,P(=0)=, P(=1)=,P(=2) =,所以的分布列是 0 1 2 P 的數(shù)學(xué)期望=+=. 32、（江西理16）.某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以確定工資級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則云工資定為3500元，若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的倍數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.（1）求X的分布列（2）求此員工月工資的期望 解：（1）X的所有可能取值為：0，1，2，3，4,即 X 0 1 2 3 4 P （2）令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100，2800，3500 所以新錄用員工月工資的期望為2280元. 33、（重慶理17）.（本小題滿分13分。（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問8分.） 某市公租房房屋位于A.B.C三個地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房屋，且申請其中任一個片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中:（Ⅰ）若有2人申請A片區(qū)房屋的概率;（Ⅱ）申請的房屋在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望。 34、（陜西理20）.（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑 和 ，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表： 時間（分鐘） 的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， 表示事件“乙選擇路徑時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”， 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得，。甲應(yīng)選擇 ，乙應(yīng)選擇 （Ⅱ）A、B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知 又由題意知，A，B獨(dú)立， X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 35、（廣東理17）.（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： 編號 1 2 3 4 5 X 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）. 【解析】（1）由題得 所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）由題得乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為件。 （3）由題得 所以隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 P 所以隨機(jī)變量的均值= 36、（課標(biāo)卷理19）. （本小題滿分12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) 4 12 42 32 8 （Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以實(shí)驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率） 分析：利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和概率的意義求概率；由已知的利潤函數(shù)為隨機(jī)變量的值和相應(yīng)的概率求數(shù)學(xué)期望。 解：（Ⅰ）由試驗(yàn)結(jié)果知：使用A配方生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品的概率為； 使用B配方生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品的概率為 (Ⅱ) 使用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)落入在區(qū)間的頻率分別是0.04,0.54,0.42，因此，利潤X的概率分布為： X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 所以，X的數(shù)學(xué)期望是 點(diǎn)評：本題考查概率和統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，主要把握統(tǒng)計(jì)的結(jié)果對應(yīng)的是隨機(jī)變量及其概率，運(yùn)用概念求解，避免理解上的偏差。 37、（湖南理18）. （本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量（件） 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變）.設(shè)某天開始營業(yè)時由該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨.將頻率視為概率. 求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；記為第二天開始營業(yè)時該商品視為件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解：=+ 由題意知，的可能取值為2，3. + +故的分布列為 所以的數(shù)學(xué)期望為. 評析：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計(jì)知識和方法.求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法，以及互斥事件概率的求法. 38、（福建理19）.（本小題滿分13分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且的數(shù)字期望=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望. （Ⅲ）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 【解析】：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識、考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。 解：（I）因?yàn)椋?，即又由的概率分布列得，即由解? （II）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以 =30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8。 （Ⅲ）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為=1，因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為=1.2據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更其可購買性。 39、（遼寧理19）.（本小題滿分12分） 某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.（I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）試驗(yàn)時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù). 解析：（I）X可能的取值為0,1,2,3,4,且 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是：. （II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別是： ， . 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別是： ， ， 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 40、（北京理17）.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。 （1）如果，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； （2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為，，…，的平均數(shù)） 【解析】：（1）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10， 所以平均數(shù)為 方差為 （Ⅱ）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有44=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）= 同理可得 所以隨機(jī)變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P ==19 41、（安徽理20）.（本小題滿分13分）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進(jìn)去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。 【命題意圖】：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類討論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。 【解析】：（Ⅰ）無論怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率為= （Ⅱ）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為時，所需派出人員數(shù)目的分布列為 1 2 3 P 所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是 （Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人時，所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是 按常理，優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。下面證明：對于的任意組合，都有 …（＊） 事實(shí)上△== = = 所以（＊）式成立。 （方法二）（i）可將（Ⅱ）中改寫為，若交換前兩人的順序，則變?yōu)?，由此可見，?dāng)時，交換前兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 （ii）也可將（Ⅱ）中改寫為，若交換后兩人的順序則變?yōu)椋纱丝梢?，保持第一個人不變，當(dāng)時，交換后兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。組合（i）（ii）可知，當(dāng)時達(dá)到最小，即優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值，這一結(jié)論也合乎常理。 【核心突破】 xx名校模擬題及其答案 一、選擇題 1（北京四中xx屆高三上學(xué)期開學(xué)測試?yán)砜圃囶}）一組拋物線，其中為2,4,6,8中任取的一個數(shù)，為1,3,5,7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（ ） 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 答案 B. 2（成都市玉林中學(xué)xx）在重慶召開的“市長峰會”期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為 A. B. C. D. 答案 C. 3(福建省福州八中xx屆高三文) 在如圖所示的正方形中隨機(jī)擲一粒豆子，豆子落在正方形內(nèi)切圓的上半圓（圖中陰影部分）中的概率是 A． B． C． D． 答案 C. 4 （河北省唐山一中xx屆高三文） 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡 片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為 （ ） A． B． C． D． 答案 B. 5(廣東省河源市龍川一中xx屆高三理）在區(qū)間[0，]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則事件“”發(fā)生的概率為（ ） A． B． C． D． 答案 C. 6（湖南省長沙市第一中學(xué)xx屆高三第五次月考理）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1、2、3、4、5可構(gòu)成的數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的概率為( ) A. B. C. D. 解：當(dāng)十位與千位是4或5時，共有波浪數(shù)為AA＝12個.當(dāng)千位是5，十位是3時，萬位只能是4，此時共有2個波浪數(shù).當(dāng)千位是3，十位是5時，末位只能是4.此時共有2個波浪數(shù).故所求概率P＝＝. 7（浙江省嘉興一中xx屆高三12月月考題文）國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按一定次序通過主席臺，若先后順序是隨機(jī)排定的，則B先于A，C通過的概率為　 　　　　　　　　　　　　　　?。ā　。? 答案 B. 8（浙江省溫州市嘯秋中學(xué)xx學(xué)年第一學(xué)期高三會考模擬試卷）拋擲兩個骰子,則兩個骰子點(diǎn)數(shù)之和大于4的概率為 A． B． C． D． 答案 D. 9（浙江省溫州市嘯秋中學(xué)xx學(xué)年第一學(xué)期高三會考模擬試卷）某人射擊一次擊中的概率為，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為 A． B． C． D． 答案 A. 二、填空題 1（河南省鄭州市四十七中xx屆高三第三次月考文）200輛汽車經(jīng)過某一雷達(dá)地區(qū)，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速超過60 km/h的汽車數(shù)量為_____ __ _。 答案 76. 2（xx嘉禾一中）某單位青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為10：8：7，從中抽取200 名職員作為樣本，若每人被抽取的概率為0．2，則該單位青年職員的人數(shù)為____________． 答案 400， 3（成都市玉林中學(xué)xx）某校有高中生1200人，初中生900人，老師120人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為的樣本；已知從初中生中抽取人數(shù)為60人，那么= 。 答案．148。 解： 4（江蘇省泰州中學(xué)xx年高三文）如圖是某學(xué)校學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前個小組的頻率之比為，第小組的頻數(shù)為，則抽取的學(xué)生人數(shù)是 . 答案 40. 5(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)xx屆高三數(shù)學(xué)文理）從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為_______. 分?jǐn)?shù) 5 4 3 2 1 人數(shù) 20 10 30 30 10 答案 。 6、（廣東省深圳市xx年3月高三第一次調(diào)研理科）設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為 。 【解析】，由得 7．（廣東省深圳市xx年3月高三第一次調(diào)研文科）某機(jī)構(gòu)就當(dāng)?shù)鼐用竦脑率杖胝{(diào)查了1萬人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖）．為了深入調(diào)查，要從這1萬人中按月收入用分層抽樣方法抽出100人，則月收入在（元）段應(yīng)抽出 人． 【解析】每個個體被抽入樣的概率均為， 在內(nèi)的頻率為0.0005（3000－2500）