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第一講：勾股定理及其運用 ◆【知識考點梳理】 1、勾股定理，又稱商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。 定理：在直角三角形中，兩直角邊平方之和等于斜邊的平方；在中，若，則； 注意：（1）運用勾股定理的條件是在直角三角形中；（2）認(rèn)準(zhǔn)斜邊； 2、勾股定理的逆定理----運用定理判斷三角形為直角三角形 在中，若，則； 注意體會：公式的變形式。若，則 補(bǔ)充公式：（是直角三角形的直角邊邊長，是斜邊邊長，是斜邊上的高） 3、 勾股定理的應(yīng)用：注意體會建立直角三角形模型，運用勾股定理建立方程求解。 4、 思想方法歸納： （1）方程思想；（2）數(shù)學(xué)建模思想；（3）轉(zhuǎn)化類比思想；（4）分類討論思想； ◆【考點聚焦、方法導(dǎo)航】 【考點題型1】-----直角三角形中由已知的邊長求未知邊的長度 【例1】在中，，直角邊為、，斜邊為。 1、（1）若，，則 ；（2）若，，則 ； 2、若，，則 ， ； 【例2】在中，，。 （1）若，則 ， ；（2）若，則 ； 【例3】在中，，。 （1） 若，則 ；（2）若，則 。 ◆方法點撥：認(rèn)清斜邊，運用直角三角形三邊的關(guān)系建立方程求線段的長； 【考點題型2】---利用勾股定理解決實際問題 【例4】如圖所示：若將長方形紙片沿虛線①對折后，沿虛線②剪開，剪出一個直角三角形，展開后得到一個等腰三角形，則展開后的三角形的周長是（ ） 、 、 、 、 【例5】（最短距離問題） 1、 如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為、、，和是這個臺階兩個相對的端點，點有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物， A B 小河 東 北 牧童 小屋 則螞蟻沿著臺階面爬到點的最短路程是 ； 1題圖 2題圖 訓(xùn)練1題圖 2、如圖：等邊的邊長為，是邊上的中線，是上的動點，是邊上一點，且，則的最小值為 ； ◆目標(biāo)訓(xùn)練1： 1、如圖，一個牧童在小河的南的處牧馬，他位于小屋的西北處，他把馬牽到小河邊去飲水，然后回家。他要完成這件事情所走的最短路程是 。 10 40 20 40 出發(fā)點 70 終止點 2、如圖，小明在廣場上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米。小明到達(dá)的終止點與原出發(fā)點的距離是 米。 ◆方法點撥： 【考點題型3】----直角三角形的判定（勾股定理的逆定理運用） 【例6】三角形的三邊為，由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（ ） A、 B、 C、 D、 【例7】閱讀理解：已知為的三邊，且滿足，試判斷的形狀。 解：∵ ① ∴ ② ∴ ③ ∴為直角三角形。 問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號 ； （2）錯誤的原因是 ；（3）本題正確的結(jié)論是 ； 【考點題型4】---利用勾股定理建立方程求線段的長度 【例8】如圖，某學(xué)校（點）與公路（直線）的距離為300米，又與公路車站（點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店（點），使之與該校及車站的距離相等，求商店與車站之間的距離． 【例9】已知：如圖，梯形中，∥，，，，點在邊上，將沿折疊，點恰好落在邊上的點處。 （1）求的度數(shù)； （2）求的面積； ◆目標(biāo)訓(xùn)練2： A B E F D C 1、已知如圖：長方形中，，，將此長方形折疊，使點與點 重合，折痕為，則的面積為（ ） A、 B、 C、 D、 2、如圖，鐵路上、兩點相距25km，、為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站，使得、兩村到站的距離相等，則站應(yīng)建在離站多少km處？ A D E B C ◆方法小結(jié)： ◆【創(chuàng)新思維與能力拓展】 1.如圖：中，，，是上一點，且，則的長為 ； 2.（13鳳陽）如圖1，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，、分別在、邊上，此時，成立。 （1）當(dāng)正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（）時，如圖2，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。 （2）當(dāng)正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖3，延長交于點。 ① 、求證：； ② 、當(dāng)，時，求線段的長。 圖1 圖2 圖3 作業(yè)設(shè)計 姓名： 作業(yè)等級： 組---夯實基礎(chǔ) 1、1、下列條件中，能判定為直角三角形的是（ ） 、 、 、 、，， 2、如圖4，要將樓梯鋪上地毯，則需要 米的地毯。 3、 直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高為 ； 4、中，，，高，則的周長為 ； 組---能力拓展 1、等腰三角形底邊上的高為，周長為，則該三角形的面積為（ ） 、 、 、 、 2、若的三邊滿足，則為 三角形； 3、如圖，中，，，， 則的面積為 ; 4、在ABC中，，求 5、要在寬為的海堤公路的路邊安裝路燈，路燈的燈臂長為，且與燈柱成角(如圖所示)，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線與燈臂垂直．當(dāng)燈罩的軸線通過公路路面的中線時．照明效果最理想．問：應(yīng)設(shè)計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果?（精確到0.01米，）