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專題一　規(guī)律探究問題 1．按照一定規(guī)律排列的n個數(shù)：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三個數(shù)的和為768，則n為(　B　) A．9 B．10 C．11 D．12 2．(xx煙臺)如圖所示，下列圖形都是由相同的玫瑰花按照一定的規(guī)律擺成的，按此規(guī)律擺下去，第n個圖形中有120朵玫瑰花，則n的值為(　C　) A．28 B．29 C．30 D．31 3．(xx臨沂)一列自然數(shù)0,1,2,3，…，100.依次將該列數(shù)中的每一個數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)．則下列結(jié)論正確的是(　D　) A．原數(shù)與對應新數(shù)的差不可能等于零 B．原數(shù)與對應新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大 C．當原數(shù)與對應新數(shù)的差等于21時，原數(shù)等于30 D．當原數(shù)取50時，原數(shù)與對應新數(shù)的差最大 4．(改編題)小明在學習了利用圖象法來求一元二次方程的近似根的知識后進行了嘗試：在直角坐標系中作出二次函數(shù)y＝x2＋2x－10的圖象，由圖象可知，方程x2＋2x－10＝0有兩個根，一個在－5和－4之間，另一個在2和3之間．利用計算器進行探索：由下表知，方程的一個近似根是(　C　) x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4 5．用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第n個圖形中小正方形的個數(shù)是(　C　) A．2n＋1 B．n2－1 C．n2＋2n D．5n－2 6．(原創(chuàng)題)在平面直角坐標系中，孔明做走棋游戲．其走法是棋子從原點出發(fā)，第1步向右走1個單位，第2步向右走2個單位，第3步向上走1個單位，第4步向右走1個單位……依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時，則向上走1個單位；當n被3除，余數(shù)是1時，則向右走1個單位，當n被3除，余數(shù)為2時，則向右走2個單位．當他走完第100步時，棋子所處位置的坐標是(　C　) A．(66,34) B．(67,33) C．(100,33) D．(99,34) 7．(xx婁底)設(shè)a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，其中a1表示第一個數(shù)，a2表示第二個數(shù)，依此類推，an表示第n個數(shù)(n是正整數(shù))已知a1＝1,4an＝(an＋1－1)2－(an－1)2.則a2 018＝__4_035__. 8．(xx寧夏)如圖是各大小型號的紙張長寬關(guān)系裁剪對比圖，可以看出紙張大小的變化規(guī)律：A0紙長度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳1紙；A1紙長度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳2紙；A2紙長度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳3紙；A3紙長度方向?qū)φ垡话牒笞優(yōu)锳4紙……A4規(guī)格的紙是我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛Ｒ姷模敲从梢粡圓4的紙可以裁__16__張A8的紙． 9．(原創(chuàng)題)按一定規(guī)律排成的一列數(shù)1，－3,9，－27,81，－243，…，第n個數(shù)可以表示成__(－3)n－1__. 10．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y＝x＋2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2，A3，…在直線l上，點B1，B2，B3，…在x軸的正半軸上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形AnBn－1Bn頂點Bn的橫坐標為__2n＋1－2__. 11．(xx河北)如圖，階梯圖的每個臺階上都標著一個數(shù)，從下到上的第1個至第4個臺階上依次標著－5，－2,1,9，且任意相鄰四個臺階上數(shù)的和都相等． 嘗試　(1)求前4個臺階上數(shù)的和是多少？ (2)求第5個臺階上的數(shù)x是多少？ 應用　求從下到上前31個臺階上的數(shù)的和． 發(fā)現(xiàn)　試用含k(k為正整數(shù))的式子表示出數(shù)“1”所在的臺階數(shù)． 解：(1)前4個臺階上數(shù)的和為－5－2＋1＋9＝3； (2)由題得－2＋1＋9＋x＝3.解得x＝－5.應用　∵每4個數(shù)的和為3，∴前31個數(shù)的和為73＋(－5－2＋1)＝15，發(fā)現(xiàn)　∵“1”出現(xiàn)在每組4個數(shù)的第3個，也就是第3，第7，第11等．且3＝41－1,7＝42－1,11＝43－1…∴“1”出現(xiàn)的臺階數(shù)為4k－1. 12．在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其行走路線如圖所示． (1)填寫下列各點的坐標：A4________，A8________； (2)寫出點A4n的坐標(n為正整數(shù))__________； (3)螞蟻從點A2 018到點A2 019的移動方向________． 解：(1)由圖可知，A4，A8，A12都在x軸上，∵小螞蟻每次移動1個單位，∴OA4＝2，OA8＝4，∴A4(2,0)，A8(4,0)； (2)根據(jù)(1)OA4n＝4n2＝2n，∴點A4n的坐標(2n,0)；(3)∵2 0184＝503…2，∴xx除以4余數(shù)為2，∴從點A2 018到點A2 019的移動方向與從點A2到A3的方向一致為：向下． 13．有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)： 第1個數(shù)是；第2個數(shù)是；第3個數(shù)是；對任何正整數(shù)n，第n個數(shù)與第(n＋1)個數(shù)的和等于. (1)經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn)：＝－；＝－；＝－；設(shè)這列數(shù)的第5個數(shù)為a，那么a＞－，a＝－，a＜－，哪個正確？請你直接寫出正確的結(jié)論； (2)請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個數(shù)(即用正整數(shù)n表示第n個數(shù))，并且證明你的猜想滿足“第n個數(shù)與第(n＋1)個數(shù)的和等于”； (3)設(shè)M表示，，，…，這2 017個數(shù)的和，即M＝＋＋＋…＋. 求證：＜M＜. (1)解：a＝－是正確的； (2)解：這列數(shù)的第n個數(shù)為.證明：∵這列數(shù)的第n個數(shù)為.∴這列數(shù)的第(n＋1)個數(shù)為.∵＝－.＝－.∴＋＝－＋－＝－＝.∴第n個數(shù)與第(n＋1)個數(shù)的和等于； (3)證明：∵n2＜n2＋n＝n(n＋1)，即n(n＋1)＞n2 (n為正整數(shù))，∴＜，∴＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋，－＋－＋－＋…＋－＜＋＋＋…＋，－＜＋＋＋…＋，即＜M；同理n2＞n2－n＝n(n－1)，即n2＞n(n－1)(n為大于1正整數(shù))．∴＜，∴＋＋…＋＜＋＋＋…＋，＋＋＋…＋＜＋＋＋＋…＋，M＜＋－＋－＋－＋…＋－，M＜＋－.即M＜，∴＜M＜. 14．有這樣一個問題：探究函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．小懷根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)進行了探究．下面是小懷的探究過程，請補充完成： (1)函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是__________________________________； (2)列出y與x的幾組對應值．請直接寫出m的值，m＝________； (3)請在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象； (4)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)y＝的一條性質(zhì). x … －5 －4 －3 －2 － － 0 1 2 m 4 5 … y … 2 3 －1 0 … 解：(1)∵x＋1≠0，∴x≠－1. (2)當y＝＝時，x＝3. (3)描點、連線畫出圖象如圖所示． (4)觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y＝，在x＜－1和x＞－1上均單調(diào)遞增．