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小題標(biāo)準(zhǔn)練(八)
(40分鐘 80分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知i為虛數(shù)單位,則|3+2i|= ( )
A.5 B.7 C.13 D.3
【解析】選C.由題意得|3+2i|=32+22=13.
2.已知A={x|-2
1},則A∩(?RB)為 ( )
A.(-2,1) B.(-∞,1)
C.(0,1) D.(-2,0]
【解析】選D.由題意得集合B={x|x>0},所以?RB={x|x≤0},則A∩(?RB)={x|-2b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”索的因應(yīng)是 ( )
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
【解析】選C.b2-ac<3a?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.
5.函數(shù)y=e-|x-1|的圖象大致形狀是 ( )
【解析】選B.記f(x)=e-|x-1|,顯然f(1)=1,
f(0)=1e<1.
6.一個(gè)大風(fēng)車的半徑為8 m,12 min旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)P0離地面2 m,風(fēng)車翼片的一個(gè)端點(diǎn)P從P0開始按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)P離地面距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式是 ( )
A.h(t)=-8sinπ6t+10 B.h(t)=-8cosπ6t+10
C.h(t)=-8sinπ6t+8 D.h(t)=-8cosπ6t+8
【解析】選B.過P作OP0的垂線,垂足為D,連接DP.h=10-OD,而OD=8cos 2π12t
=8cos π6t,所以h=10-8cos π6t.
7.函數(shù)f(x)=tan2x-π3的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( )
A.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z)
B.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z)
C.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)
D.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
【解析】選B.當(dāng)kπ-π2<2x-π3
2f′(x),若20.所以x>2時(shí),f′(x)>0,x<2時(shí),f′(x)<0,即 f(x)在(-∞,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增,因?yàn)?2,00)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B.設(shè)C72p,0,AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為32,則p的值為 ( )
A.2 B.3 C.2 D.6
【解析】選D.拋物線的普通方程為y2=2px,Fp2,0,
|CF|=72p-p2=3p,又|CF|=2|AF|,則|AF|=32p,
由拋物線的定義得|AB|=32p,所以xA=p,則|yA|=2p,由CF∥AB得EFEA=CFAB,即EFEA=CFAF=2,所以SΔCEF=2SΔCEA=62,SΔACF=SΔAEC+SΔCFE=92,
所以123p2p=92,p=6.
12.記min{x,y}=y,x≥y,x,x0,|f(t)+f(-t)|>f(t)-f(-t)
B.存在t>0,|f(t)-f(-t)|>f(t)-f(-t)
C.存在t>0,|f(1+t)+f(1-t)|>f(1+t)+f(1-t)
D.存在t>0,|f(1+t)-f(1-t)|>f(1+t)-f(1-t)
【解析】選C.由x2-x3=x2(1-x)≤0得x≥1,所以f(x)=min{x2,x3}=x2,x≥1,x3,x<1.當(dāng)t>1時(shí),|f(t)+f(-t)|=|t2+(-t)3|=t3-t2,|f(t)-f(-t)|=|t2-(-t)3|=t3+t2,f(t)-
f(-t)=t2-(-t)3=t3+t2,所以|f(t)+f(-t)|0時(shí),設(shè)g(t)=f(1+t)+f(1-t)=(1+t)2+(1-t)3=-t3+4t2-t+2,則g′(t)=-3t2+8t-1,令-3t2+8t-1=0得t=4133,所以函數(shù)g(t)在4+133,+∞上單調(diào)遞減,所以存在t0∈4+133,+∞使得g(t0)<0成立,所以存在t0∈4+133,+∞,使得|f(1+t0)+f(1-t0)|≥0>f(1+t0)+f(1-t0),
C正確;當(dāng)t>0時(shí),設(shè)h(t)=f(1+t)-f(1-t)=(1+t)2-(1-t)3=t3-2t2+5t,則
h′(t)=3t2-4t+5=3t-232+113>0,所以函數(shù)h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(t)>h(0)=0,所以|f(1+t)-f(1-t)|=f(1+t)-f(1-t),D錯(cuò)誤.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且cosBcosC=-b2a+c,則角B的值為____________.
【解析】方法一:由正弦定理,即asinA=bsinB=csinC=2R,得a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C,代入cosBcosC=-b2a+c,得cosBcosC=-sinB2sinA+sinC,
即2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0,
所以2sin Acos B+sin(B+C)=0.
在△ABC中,sin(B+C)=sin A,所以2sin Acos B+sin A=0,又sin A≠0,所以
cos B=-12.又角B為△ABC的內(nèi)角,所以B=2π3.
方法二:由余弦定理,即cos B=a2+c2-b22ac,
cos C=a2+b2-c22ab,代入cosBcosC=-b2a+c,
得a2+c2-b22ac2aba2+b2-c2=-b2a+c,整理,得a2+c2-b2=-ac,
所以cos B=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12,又角B為△ABC的內(nèi)角,所以B=2π3.
答案:2π3
14.如圖,已知球O的面上有四點(diǎn)A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=2,則球O的體積等于____________.
【解析】如圖,以DA,AB,BC為棱長構(gòu)造正方體,
設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對角線長即為球O的直徑,
所以CD=(2)2+(2)2+(2)2=2R,所以R=62,
故球O的體積V=4πR33=6π.
答案:6π
15.圖1是某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績莖葉圖,第1次到14次的考試成績依次記為A1,A2,…,A14.圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖,那么算法流程圖輸出的結(jié)果是____________.
【解析】由程序框圖知:算法的功能是計(jì)算學(xué)生在14次數(shù)學(xué)考試成績中,成績大于等于90的次數(shù),由莖葉圖得,在14次測試中,成績大于等于90的有:93, 99,98,98,94,91,95,103,101,114共10次,所以輸出n的值為10.
答案:10
16.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=_______________.
【解析】對函數(shù)y=ln x+2求導(dǎo)數(shù)得y′=1x,對函數(shù)y=ln(x+1)求導(dǎo)數(shù)得y′=1x+1,設(shè)直線y=kx+b與函數(shù)y=ln x+2相切于點(diǎn)P1x1,y1,與函數(shù)y=ln(x+1)相切于點(diǎn)P2x2,y2,則y1=ln x1+2,y2=lnx2+1,所以切線方程分別為y-ln x1+2=1x1x-x1,y-lnx2+1=1x2+1x-x2,這兩條切線都是y=kx+b,所以k=1x1=1x2+1,b=1+ln x1=lnx2+1-x2x2+1,解得x1=12,b=1+ln12=1-
ln 2.
答案:1-ln 2
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