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課時訓練(十九)　銳角三角函數(shù)及其應用 (限時:45分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.[xx柳州] 如圖K19-1,在Rt△ABC中,∠C=90,BC=4,AC=3,則sinB=ACAB= (　　) 圖K19-1 A.35 B.45 C.37 D.34 2.[xx金華] 如圖K19-2,兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,則竹竿AB與AD的長度之比為 (　　) 圖K19-2 A.tanαtanβ B.sinβsinα C.sinαsinβ D.cosβcosα 3.[xx宜昌] 如圖K19-3,要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,可以在小河邊取PA的垂線PB上一點C,測得PC=100米,∠PCA=35,則小河寬PA等于 (　　) 圖K19-3 A.100sin35米 B.100sin55米 C.100tan35米 D.100tan55米 4.[xx蘇州] 如圖K19-4,某海監(jiān)船以20海里/時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務,當海監(jiān)船由西向東航行至A處時,測得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達B處,測得島嶼P在其北偏西30方向,保持航向不變又航行2小時到達C處,此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長)為 (　　) 圖K19-4 A.40海里 B.60海里 C.203海里 D.403海里 5.[xx重慶A卷] 如圖K19-5,旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學樓底面E處測得旗桿頂端的仰角∠AED=58,升旗臺底部到教學樓底部的距離DE=7米,升旗臺坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,則旗桿AB的高度為(參考數(shù)據(jù):sin58≈0.85,cos58≈0.53,tan58≈1.6)(　　) 圖K19-5 A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米 6.[xx濱州] 在△ABC中,∠C=90,若tanA=12,則sinB=　　　　. 7.[xx棗莊] 如圖K19-6,某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31,AB的長為12米,則大廳兩層之間的高度為　　　　米.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):sin31≈0.515,cos31≈0.857,tan31≈0.601) 圖K19-6 8.[xx葫蘆島] 如圖K19-7,某景區(qū)的兩個景點A,B處于同一水平地面上,一架無人機在空中沿水平方向飛行進行航拍作業(yè),MN與AB在同一鉛直平面內(nèi),當無人機飛行至C處時,測得景點A的俯角為45,景點B的俯角為30,此時C到地面的距離CD為100米,則兩景點A,B間的距離為　　　　米(結(jié)果保留根號). 圖K19-7 9.[xx臨沂] 如圖K19-8,有一個三角形的鋼架ABC,∠A=30,∠C=45,AC=2(3+1)m.請計算說明,工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1 m的圓形門? 圖K19-8 10.[xx長沙] 為加快城鄉(xiāng)對接,建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村,某地區(qū)對A,B兩地間的公路進行改建,如圖K19-9,A,B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地需途經(jīng)C地沿折線ACB行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車可直接沿直線AB行駛,已知BC=80千米,∠A=45,∠B=30. (1)開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走多少千米? (2)開通隧道后,汽車從A地到B地大約可以少走多少千米? (結(jié)果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73) 圖K19-9 11.[xx徐州] 如圖K19-10,1號樓在2號樓的南側(cè),兩樓的高度均為90 m,樓間距為AB.冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為32.3,1號樓在2號樓墻面上的影高為CA;春分日正午,太陽光線與水平面所成的角為55.7,1號樓在2號樓墻面上的影高為DA.已知CD=42 m. (1)求樓間距AB; (2)若2號樓共有30層,層高均為3 m,則點C位于第幾層? (參考數(shù)據(jù):sin32.3≈0.53,cos32.3≈0.85,tan32.3≈0.63,sin55.7≈0.83,cos55.7≈0.56,tan55.7≈1.47) 圖K19-10 |拓展提升| 12.[xx婁底] 如圖K19-11,由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正方形的面積是49,則sinα-cosα= (　　) 圖K19-11 A.513 B.-513 C.713 D.-713 13.[xx眉山] 如圖K19-12,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點A,B,C,D都在這些小正方形的頂點上,AB,CD相交于點O,則tan∠AOD=　　　　. 圖K19-12 14.[xx泰安] 如圖K19-13,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在A處,若EA的延長線恰好過點C,則sin∠ABE的值為　　　　. 圖K19-13 15.[xx赤峰] 閱讀下列材料: 如圖K19-14,在△ABC中,∠BAC,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,可以得到:S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA. 圖K19-14 證明:過點A作AD⊥BC,垂足為D. 在Rt△ABD中,sinB=ADc, ∴AD=csinB, ∴S△ABC=12aAD=12acsinB. 同理:S△ABC=12absinC,S△ABC=12bcsinA. ∴S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA. (1)通過上述材料證明:asinA=bsinB=csinC; (2)運用(1)中的結(jié)論解決問題: 如圖K19-15,在△ABC中,∠B=15,∠C=60,AB=203,求AC的長度; 圖K19-15 (3)如圖K19-16,為了開發(fā)公路旁的城市荒地,測量人員選擇A,B,C三個測量點,在B點測得A在北偏東75方向上,沿筆直公路向正東方向行駛18 km到達C點,測得A在北偏西45方向上,根據(jù)以上信息,求A,B,C三點圍成的三角形的面積. (本題參考數(shù)值:sin15≈0.3,sin120≈0.9,2≈1.4,結(jié)果取整數(shù)) 圖K19-16  參考答案 1.A 2.B　[解析] 在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα,故選B. 3.C　[解析] 在Rt△PCA中,∠APC=90,tan∠PCA=APPC,得到PA=PCtan∠PCA=100tan35(米). 4.D　[解析] 在Rt△PAB中,∵∠APB=30,∴PB=2AB.由題意知BC=2AB,∴PB=BC,∴∠C=∠CPB.∵∠ABP=∠C+∠CPB=60,∴∠C=30,∴PC=2PA,∵PA=ABtan60,∴PC=2203=403(海里),故選D. 5.B　[解析] 過點C作CN⊥DE于點N,延長AB交ED的延長線于點M,則BM⊥DE于點M,則MN=BC=1米. ∵斜坡CD的坡比i=1∶0.75,∴令CN=x,則DN=0.75x.在Rt△CDN中,由勾股定理,得x2+(0.75x)2=22,解得x=1.6,從而DN=1.2米.∵DE=7米,∴ME=MN+ND+DE=9.2米,AM=(AB+1.6)米.在Rt△AME中,tan∠AEM=AMEM,即AB+1.69.2=tan58,從而AB+1.69.2≈1.6,解得AB≈13.1(米),故選B. 6.255　[解析] 根據(jù)tanA=12,∠C=90可設(shè)BC=1,則AC=2,AB=5,所以sinB=25=255. 7.6.2　[解析] 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90,∴BC=ABsin∠BAC≈120.515≈6.2(米). 8.(100+1003)　[解析] ∵MN∥AB,∴∠A=∠MCA=45,∠B=∠NCB=30.∵CD=100,∴AD=CDtan45=100,DB=CDtan30=1003.∴AB=AD+DB=(100+1003)米. 9.解:過點B作BD⊥AC,垂足為點D. 在Rt△ABD中,∠ABD=90-∠A=60, 則AD=tan∠ABDBD=3BD. 在Rt△BCD中,∠C=45, ∴CD=BD. ∴AC=AD+CD=3BD+BD=(3+1)BD=2(3+1), 解得:BD=2. ∵2 m<2.1 m, 故工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1 m的圓形門. 10.解:(1)過點C作CD⊥AB于點D. Rt△BCD中,CD=BCsinB=40(千米), Rt△ACD中,AC=CDsinA=402(千米),AC+BC=402+80≈136.4(千米). 答:開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走136.4千米. (2)Rt△BCD中,BD=BCcosB=403(千米), Rt△ACD中,AD=CDtanA=40(千米), AB=AD+BD=40+403≈109.2(千米), AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米). 答:開通隧道后,汽車從A地到B地大約可少走27.2千米. 11.解:(1)過點C,D分別作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分別為E,F. 則有AB=CE=DF,EF=CD=42. 由題意可知:∠PCE=32.3,∠PDF=55.7, 在Rt△PCE中,PE=CEtan32.3≈0.63CE, 在Rt△PDF中,PF=DFtan55.7≈1.47CE, ∵PF-PE=EF, ∴1.47CE-0.63CE=42, ∴AB=CE=50(m). 答:樓間距AB為50 m. (2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m), ∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m), 58.53=19.5, ∴點C位于第20層. 答:點C位于第20層. 12.D　[解析] ∵小正方形面積為49,大正方形面積為169,∴小正方形的邊長是7,大正方形的邊長是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去),在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,sinα-cosα=513-1213=-713. 13.2　[解析] 如圖,連接AE,BE,易證CD∥BE, ∴∠AOD=∠ABE, 顯然△ABE是直角三角形, ∴tan∠AOD=tan∠ABE=AEBE=222=2. 14.1010　[解析] 由折疊知∠BAE=∠A=90,AE=AE,AB=AB=6,故在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=BC2-AB2=102-62=8,設(shè)AE=AE=x,則CE=x+8,DE=10-x,在Rt△CDE中,由勾股定理,得(x+8)2=62+(10-x)2,解得x=2.在Rt△ABE中,BE=22+62=210.所以sin∠ABE=AEBE=2210=1010. 15.解:(1)∵12absinC=12acsinB, ∴bsinB=csinC. 同理:asinA=bsinB. ∴asinA=bsinB=csinC. (2)由(1)可知:ACsinB=ABsinC, 即ACsin15=203sin60, 解得:AC≈12. (3)過點A作AD⊥BC于點D. 由(1)可知:BCsin∠BAC=ACsin∠ABC. 由題意可知∠BAC=∠BAD+∠CAD=75+45=120, ∴18sin120=ACsin15,解得:AC≈6, ∴AD=22AC=226=32≈4.2(km). ∴S△ABC=12ADBC=124.218≈38(km2).