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專題能力訓練18　統計與統計案例 一、能力突破訓練 1.為評估一種農作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產量(單位:kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是 (　　) A.x1,x2,…,xn的平均數 B.x1,x2,…,xn的標準差 C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位數 2.某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數據分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是(　　) A.56 B.60 C.120 D.140 3.某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為x和s2.若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為(　　) A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002 C.x,s2 D.x+100,s2 4.已知x與y之間的一組數據: x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得關于y與x的線性回歸方程為y^=2.1x+0.85,則m的值為(　　) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 5.(2018全國Ⅲ,文14)某公司有大量客戶,且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異,為了解客戶的評價,該公司準備進行抽樣調查,可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣,則最合適的抽樣方法是　　　　　　　　　　. 6.某樣本數據的莖葉圖如圖,若該組數據的中位數為85,則該組數據的平均數為　　　　　. 7.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為200,400,300,100件.為檢驗產品的質量,現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取　　　　　件. 8.某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天　數 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率; (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率. 9.(2018全國Ⅰ,文19)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數據(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據,得到頻數分布表如下: 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 頻　數 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 頻　數 1 5 13 10 16 5 (1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖; (2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表.) 二、思維提升訓練 10.為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439,∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16. (1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小). (2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查. (ⅰ)從這一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產過程進行檢查? (ⅱ)在(x-3s,x+3s)之外的數據稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01) 附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關系數r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2.0.008≈0.09. 11.(2018全國Ⅲ,文18)某工廠為提高生產效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: (1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高?并說明理由; (2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表: 超過m 不超過m 第一種生產方式 第二種生產方式 (3)根據(2)中的列聯表,能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828  專題能力訓練18　統計與統計案例 一、能力突破訓練 1.B　解析 標準差和方差可刻畫樣本數據的穩(wěn)定程度,故選B. 2.D　解析 由頻率分布直方圖可知,這200名學生每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故該區(qū)間內的人數為2000.7=140.故選D. 3.D　解析 x=x1+x2+…+x1010,s2=110[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x10-x)2], 月工資增加100元后: x=(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)10=x1+x2+…+x1010+100=x+100, s2=110[(x1+100-x)2+(x2+100-x)2+…+(x10+100-x)2]=s2.故選D. 4.D　解析 由題意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,將(x,y)代入線性回歸方程為y^=2.1x+0.85,得m=0.5. 5.分層抽樣　解析 因大量客戶且具有不同的年齡段,分層明顯,故根據分層抽樣的定義可知采用分層抽樣最為合適. 6.85.3　解析 依題意得,將樣本數據由小到大排列,中間的兩個數之和等于852=170,因此x=6,樣本數據的平均數等于110(702+806+902+53)=85.3. 7.18　解析 抽取比例為601 000=350,故應從丙種型號的產品中抽取300350=18(件),答案為18. 8.解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25,由表格數據知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時, 若最高氣溫不低于25, 則Y=6450-4450=900; 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25), 則Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高氣溫低于20, 則Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以,Y的所有可能值為900,300,-100. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知,最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490=0.8, 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 9.解 (1) (2)根據以上數據,該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48, 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48. (3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數為x1=150(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48. 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數為x2=150(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35. 估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)365=47.45(m3). 二、思維提升訓練 10.解 (1)由樣本數據得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數為r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑i=116(i-8.5)2=-2.780.2121618.439 ≈-0.18. 由于|r|<0.25,因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小. (2)(ⅰ)由于x=9.97,s≈0.212,由樣本數據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當天的生產過程進行檢查. (ⅱ)剔除離群值,即第13個數據,剩下數據的平均數為115(169.97-9.22)=10.02, 這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.∑i=116xi2=160.2122+169.972≈1 591.134, 剔除第13個數據,剩下數據的樣本方差為115(1 591.134-9.222-1510.022)≈0.008, 這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為0.008≈0.09. 11.解 (1)第二種生產方式的效率更高. 理由如下: ①由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ②由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘,用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ③由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ④由莖葉圖可知:用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高. 以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. (2)由莖葉圖知m=79+812=80. 列聯表如下: 超過m 不超過m 第一種生產方式 15 5 第二種生產方式 5 15 (3)由于K2=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異.