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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 12 一、填空題（每題5分，共70分） 1、若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m＝ 2、若將復(fù)數(shù)表示為是虛數(shù)單位）的形式，則＝ ． 3、已知命題：“，”，請(qǐng)寫出命題的否定: 4、從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a＝ 。若要從身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在 [140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 。 5、設(shè)向量，，其中，若，則 . 6、圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離之差是_____________. 7、已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)，______ 8、已知F1、F2是橢圓=1(5＜a＜10)的兩個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 △F1BF2的面積的最大值是 9、、是兩個(gè)不同的平面，、是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： ①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥ 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： _____. 10、將正偶數(shù)集合…從小到大按第組有個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組如下： 第一組　　 第二組　　　　 第三組 ………… ………… 則位于第_______組。 11、設(shè)為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。 12、方程所表示的曲線與直線有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。 13、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為。已知，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 。 14、設(shè)函數(shù)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，向量與向量的夾角為，則滿足的最大整數(shù)的值為 。 二、解答題（90分） 15（本題滿分14分） 在△中，已知=9，sin=cossin，面積S＝6． （Ⅰ）求△的三邊的長(zhǎng)； （Ⅱ）設(shè)是△（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，到三邊，，的距離分別為x，y和z，求x＋y＋z的取值范圍． 16．（本題滿分14分）如圖，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC=60，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60。 （Ⅰ）證明：BD⊥AA1；（Ⅱ）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由。 17、（本題滿分15分）第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分8分。 如圖1，，是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過(guò)棧橋上某點(diǎn)分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺(tái)。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線段的方程是，曲線段的方程是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，記。（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度） （1）求的取值范圍； （2）試寫出三角形觀光平臺(tái)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值。 18、（本題滿分15分）已知圓交軸于兩點(diǎn)，曲線是以為長(zhǎng)軸，直線為準(zhǔn)線的橢圓． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若是直線上的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，求證：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。 19、（本題滿分16分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足。 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列； （3） 當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列。設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)。 20．（16分）已知函數(shù)。 （1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若且對(duì)任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)函數(shù)，求證： 附加題 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． A．選修4－1　幾何證明選講 如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相 交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC， DE交AB于 點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC． B．選修4－2　矩陣與變換 已知矩陣． （1）求逆矩陣； （2）若矩陣X滿足，試求矩陣X． C．選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：與曲線C2：（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB． D．選修4－5　不等式選講 已知x，y，z均為正數(shù)．求證：． 【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 22．已知（其中） （1）求及； (2) 試比較與的大小，并說(shuō)明理由． 23．設(shè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)P（2，4），過(guò)P作拋物線的動(dòng)弦PA，PB，并設(shè)它們的斜率分別為kPA，kPB． （1）求拋物線的方程； （2）若kPA+kPB=0，求證直線AB的斜率為定值，并求出其值； （3）若kPAkPB=1，求證直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)． 參考答案 一、填空題 1．;2．8；3。；4。0.030 3；5。；6。；7。;8. ; 9. 或;10. 9組; 11． 12． 13． 4 14．3 二、解答題 15.解：設(shè)． （Ⅰ），，，， ，由，用余弦定理得 …………7分 （Ⅱ） 設(shè)，由線性規(guī)劃得． ∴．…………13分 16． 在A1作A1O⊥AC于點(diǎn)O，由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O⊥平面ABCD， 又底面為菱形，所以AC⊥BD ……………………6分 （Ⅱ）存在這樣的點(diǎn)P,連接B1C，因?yàn)锳1B1ABDC ∴四邊形A1B1CD為平行四邊形?！郃1D//B1C 在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP ………8分 因B1BCC1， ………12分 ∴BB1CP ∴四邊形BB1CP為平行四邊形 則BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 ………14分 17．解：（1）由題意，得在線段CD：上，即， 又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK， 所以 -------------------2分 -------------------4分 所以的取值范圍是。 -------------------6分 （2）由題意，得 所以-------------------8分 則，-------------------10分 因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減-------------------12分 所以當(dāng)時(shí)，三角形觀光平臺(tái)的面積取最小值為225平方米-------------------14分 18．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則： ，從而：，故,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 （2）設(shè)，則圓方程為 與圓 聯(lián)立消去得的方程為， 過(guò)定點(diǎn) 19．解： （1）由題意，則，解得或 因?yàn)闉檎麛?shù)，所以， -------------------3分 又，所以-------------------6分 （2）當(dāng)時(shí)，得， 同理：時(shí)，得；時(shí)，得， 則由，得。-------------------8分 而當(dāng)時(shí)，，得。-------------------10分 由，知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列。-------------------12分 （3）由題意知， 則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；-------------------13分 當(dāng)時(shí)，，所以成立；-------------------14分 當(dāng)時(shí)，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則 -------------------16分 又，所以， 即，所以 因?yàn)闉槠鏀?shù)，而為偶數(shù)，所以上式無(wú)解。 即當(dāng)時(shí)， -------------------17分 綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有。-------------------18分 20． （2）為偶函數(shù)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立 當(dāng)時(shí)，，令，解得 （1）當(dāng)，即時(shí)，在減，在增 ，解得， （2）當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增， ，符合， 綜上，。 （10分） （3） 。。。。。。 。 （16分） 附加題 21.A.證明：因AE=AC，AB為直徑， 故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE， 所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分 B．（1）設(shè)=，則==． ∴解得∴=．--------6分 （2）．---------------10分 C．解：曲線的直角坐標(biāo)方程，曲線的直角坐標(biāo)方程是拋物線 4分 設(shè)，，將這兩個(gè)方程聯(lián)立，消去， 得，． --------------6分 -------8分 ∴，． -----------------------10分 D．選修4－5　不等式選講 證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以．-------------4分 同理可得， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立． -------------------7分 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得． ---------- 10分 22．（1）令，則，令， 則，∴； ----------------------3分 （2）要比較與的大小，即比較：與的大小， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； -----------------------------------5分 猜想：當(dāng)時(shí)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 由上述過(guò)程可知，時(shí)結(jié)論成立， 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即， 兩邊同乘以3 得： 而∴ 即時(shí)結(jié)論也成立， ∴當(dāng)時(shí)，成立. 綜上得，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， --10分 （23）依題意，可設(shè)所求拋物線的方程為y2=2px（p＞0）， 因拋物線過(guò)點(diǎn)（2，4），故42=4p，p=4，拋物線方程為y2=8x． （2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， 同理，． ∵kPA+kPB=0， ∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8 ∴． 即直線AB的斜率恒為定值，且值為-1． （3）∵kPAkPB=1，∴=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0． 直線AB的方程為，即(y1+y2)y-y1y2=8x． 將-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得 (y1+y2)(y+4)=8(x+6)，該直線恒過(guò)定點(diǎn)（-6，-4），命題得證．