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反比例函數(shù)及其應(yīng)用
13
反比例函數(shù)及其應(yīng)用
限時(shí):30分鐘
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.[xx阜新] 反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-2).下列各點(diǎn)在其圖象上的是 ( )
A.(-3,-2) B.(3,2) C.(-2,-3) D.(-2,3)
2.[xx宜昌] 某學(xué)校要種植一塊面積為100 m2的長(zhǎng)方形草坪,要求兩邊長(zhǎng)均不小于5 m,則草坪的一邊長(zhǎng)為y(單位:m)隨另一邊長(zhǎng)x(單位:m)的變化而變化的圖象可能是圖K13-1中的 ( )
圖K13-1
3.[xx天津] 若點(diǎn)A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函數(shù)y=-3x的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是 ( )
A.y1
0 C.mn
5.[xx益陽(yáng)] 若反比例函數(shù)y=2-kx的圖象位于第二、四象限,則k的取值范圍是 .
6.[xx鄂州] 如圖K13-2,已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=mx的圖象相交于A(2,n)和B(-1,-6),則不等式kx+b>mx的解集為 .
圖K13-2
7.[xx鹽城] 如圖K13-3,點(diǎn)D為矩形OABC的邊AB的中點(diǎn),反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC邊于點(diǎn)E.若△BDE的面積為1,則k= .
圖K13-3
8.[xx常德] 如圖K13-4,已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,m),AB⊥x軸,且△AOB的面積為2.
(1)求k和m的值;
(2)若點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y=kx的圖象上,當(dāng)-3≤x≤-1時(shí),求函數(shù)值y的取值范圍.
圖K13-4
9.[xx湘潭] 如圖K13-5,點(diǎn)M在函數(shù)y=3x(x>0)的圖象上,過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的平行線,交函數(shù)y=1x(x>0)的圖象于點(diǎn)B,C.
圖K13-5
(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3),
①求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
②求直線BC的表達(dá)式.
(2)求△BMC的面積.
能力提升
10.[xx日照] 已知反比例函數(shù)y=-8x,下列結(jié)論:①圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,4);②圖象在第二、四象限內(nèi);③y隨x的增大而增大;④當(dāng)x>-1時(shí),則y>8.其中錯(cuò)誤的結(jié)論有 ( )
A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)
11.[xx銅仁] 如圖K13-6,已知一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A(-2,y1),B(1,y2)兩點(diǎn),則不等式ax+b1
12.[xx遵義] 如圖K13-7,直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),∠OAB=30,若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x(x>0)的圖象上,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)表達(dá)式為 ( )
圖K13-7
A.y=-6x B.y=-4x
C.y=-2x D.y=2x
13.[xx寧波] 如圖K13-8,平行于x軸的直線與函數(shù)y=k1x(k1>0,x>0),y=k2x(k2>0,x>0)的圖象分別相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè),C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若△ABC的面積為4,則k1-k2的值為 ( )
圖K13-8
A.8 B.-8 C.4 D.-4
14.[xx內(nèi)江] 已知A,B,C,D是反比例函數(shù)y=8x(x>0)圖象上四個(gè)整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)),分別過(guò)這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段,以垂線段所在的正方形(如圖K13-9)的邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧,組成四個(gè)橄欖形(陰影部分),則這四個(gè)橄欖形的面積總和是 (用含π的代數(shù)式表示).
圖K13-9
拓展練習(xí)
15.[xx株洲] 如圖K13-10,已知函數(shù)y=kx(k>0,x>0)的圖象與一次函數(shù)y=mx+5(m<0)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,連接AO,其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0,△AOD的面積為2.
(1)求k的值及x0=4時(shí)m的值;
(2)記[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:[1.4]=1,[2]=2.設(shè)t=ODDC,若-320.∵b>0,∴Q(b,n)在第四象限,∴n<0.∴n<0n.故D正確.
5.k>2 [解析] ∵反比例函數(shù)y=2-kx的圖象位于第二、四象限,∴2-k<0.解得k>2.
6.-12 [解析] 由圖可知,當(dāng)x<-1時(shí),mx>kx+b;當(dāng)-1mx;當(dāng)0kx+b;當(dāng)x>2時(shí),kx+b>mx.故當(dāng)-12時(shí),kx+b>mx.
7.4 [解析] 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為2x,12y.∵△BDE的面積=12x12y=1,∴xy=4=k.
8.解:(1)反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,m),AB⊥x軸于點(diǎn)B,△AOB的面積為2,
∴12OBAB=2,124m=2.∴AB=m=1.
∴A(4,1).∴k=xy=4.
(2)∵k=4>0,
∴當(dāng)-3≤x≤-1時(shí),y隨x的增大而減小.
∵點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y=4x的圖象上,
∴當(dāng)x=-3時(shí),y取得最大值-43,
當(dāng)x=-1時(shí),y取得最小值-4.
∴y的取值范圍為-4≤y≤-43.
9.解:(1)①∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3),且B,C在函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上,
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)為1,
點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3,橫坐標(biāo)為13.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為13,3.
②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b.
把B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得1=k+b,3=13k+b.
解得k=-3,b=4.
∴直線BC的解析式為y=-3x+4.
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,m).
∵點(diǎn)M在函數(shù)y=3x(x>0)的圖象上,
∴am=3.
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,1a,點(diǎn)B的坐標(biāo)為1m,m,
∴BM=a-1m=am-1m,MC=m-1a=am-1a.
∴S△BMC=12am-1mam-1a=12(am-1)2am=12(3-1)23=23.
10.B [解析] 將(-2,4)代入y=-8x成立,①正確;k=-8<0,所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限,②正確;雙曲線在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大,③錯(cuò)誤;當(dāng)-18,④錯(cuò)誤,所以錯(cuò)誤的結(jié)論有2個(gè),故選B.
11.D [解析] 觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn),當(dāng)-21時(shí),一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方,∴不等式ax+b1.故選D.
12.C [解析] 如圖,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D.∵∠BOA=90,∴∠BOC+∠AOD=90.∵∠AOD+∠OAD=90,∴∠BOC=∠OAD.又∵∠BCO=∠ADO=90,∴△BCO∽△ODA.∵BOAO=tan30=33,∴S△BCOS△AOD=13.∵12ADDO=12xy=3,∴S△BCO=12BCCO=13S△AOD=1.∴|k|=2.∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限,故反比例函數(shù)表達(dá)式為y=-2x.故選C.
13.A [解析] ∵AB∥x軸,∴A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.設(shè)A(a,h),B(b,h),則ah=k1,bh=k2.∵S△ABC=12AByA=12(a-b)h=12(ah-bh)=12(k1-k2)=4,∴k1-k2=8.故選A.
14.5π-10 [解析] ∵A,B,C,D是反比例函數(shù)y=8x(x>0)圖象上四個(gè)整數(shù)點(diǎn),∴A(1,8),B(2,4),C(4,2),D(8,1),∴以A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)分別為1,2,2,1.∵每個(gè)橄欖形的面積=12S半圓-S正方形,∴過(guò)A,D兩點(diǎn)的橄欖形面積和=212π12-12=π-2,過(guò)B,C兩點(diǎn)的橄欖形面積和=212π22-22=4π-8,故這四個(gè)橄欖形的面積總和=π-2+4π-8=5π-10.
15.解:(1)∵S△AOD=2,∴k=4.∴y=4x.
∵x0=4,∴y=44=1.
∴A(4,1).
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=mx+5(m<0),得m=-1.
(2)由一次函數(shù)y=mx+5可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為-5m,0.
∴OC=-5m.
將Ax0,4x0代入y=mx+5(m<0),
得mx0+5=4x0.∴mx02+5x0=4.
∵OD=x0,OC=-5m,
∴CD=OC-OD=-5m-x0.
∵t=ODCD,
∴t=x0-5m-x0=-5mx0+x02=-4m.
∴[m2t]=-m24m=[-4m].
∵-32
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