《河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 與圓有關(guān)的計算訓(xùn)練.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題四 與圓有關(guān)的計算訓(xùn)練.doc（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題四　與圓有關(guān)的計算 類型一 與切線有關(guān)的簡單證明與計算 (xx昆明)如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O于點(diǎn)C，AD交⊙O于點(diǎn)F，AC平分∠BAD，連接BF. (1)求證：AD⊥ED； (2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半徑． 【分析】 (1)連接OC，先證明OC∥AD，然后利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE，從而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解圖，利用圓周角定理得到∠AFB＝90，再證明四邊形CDFH為矩形得到FH＝CD，∠CHF＝90，利用垂徑定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑． 【自主解答】 (1)證明：連接OC，如解圖， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于點(diǎn)C， ∴OC⊥DE，∴AD⊥ED； 例1題解圖 (2)解：OC交BF于點(diǎn)H，如解圖， ∵AB為直徑， ∴∠AFB＝90， 易得四邊形CDFH為矩形， ∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH＝4， ∴BF＝8， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝2， ∴⊙O的半徑為. 1．(xx河南說明與檢測)如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C為半圓上任一點(diǎn)． (1)若∠BAC＝30，過點(diǎn)C作半圓O的切線交直線AB于點(diǎn)P.求證：△PBC≌△AOC； (2)若AB＝6，過點(diǎn)C作AB的平行線交半圓O于點(diǎn)D，當(dāng)以點(diǎn)A、O、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，求的長． 2．(xx河南說明與檢測)如圖，在⊙O中，∠AOB＝120，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長OC到點(diǎn)D，使CD＝OC，AB交OC于點(diǎn)E. (1)求證：DA是⊙O的切線； (2)若OA＝6，求弦AB的長． 3．(xx河南說明與檢測)如圖，△ABC中，∠ACB＝90，D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)F，∠CAE＝∠ADF. (1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的長． 4．(xx金華)如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求證：AD是⊙O的切線； (2)若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半徑． 5．(xx玉林)如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，∠DAC＝∠B. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半徑是4，求EC的長． 6．(xx天津)已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38. (Ⅰ)如圖①，若D為的中點(diǎn)，求∠ABC和∠ABD的大小； (Ⅱ)如圖②，過點(diǎn)D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點(diǎn)P，若DP∥AC，求∠OCD的大?。? 圖① 圖② 7．(xx信陽一模)如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE＝CB. (1)求證：BC是⊙O的切線； (2)連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)． 8．(xx河南說明與檢測)如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D，E是OB的中點(diǎn)，CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH. (1)求證：AC＝CD； (2)若OB＝2，求BH的長． 類型二 與四邊形判定結(jié)合的證明與計算 (xx河南)如圖，AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點(diǎn)O，連接DA交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交DO于點(diǎn)E，連接BC交DO于點(diǎn)F. (1)求證：CE＝EF； (2)連接AF并延長，交⊙O于點(diǎn)G.填空： ①當(dāng)∠D的度數(shù)為________時，四邊形ECFG為菱形； ②當(dāng)∠D的度數(shù)為________時，四邊形ECOG為正方形． 例2題圖 【分析】 (1)連接OC，如解圖，利用切線的性質(zhì)得∠1＋∠4＝90，再利用等腰三角形的性質(zhì)和互余證明∠1＝∠2，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論； (2)①要證明四邊形ECFG為菱形，可知△CEF為等邊三角形，∵∠ACB＝90，∠CFE＝60，∴∠D可求； ②∵四邊形ECOG為正方形，∴∠COG＝90，∠COF＝45，則∠COA＝45，根據(jù)△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，則∠D可求． 【自主解答】 (1)證明：連接OC，如解圖， ∵CE為切線，∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90，即∠1＋∠4＝90， ∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90， ∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90， 又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE； (2)解：①當(dāng)∠D＝30時，四邊形ECFG為菱形， 【解法提示】∵四邊形ECFG為菱形， ∴CE＝CF＝FG＝EG， 由(1)知CE＝EF， ∴△ECF是等邊三角形， ∴∠CFD＝60， ∵∠ACB＝90， ∵∠DCF＝90， ∴∠D＝90－60＝30. ②當(dāng)∠D＝22.5時，四邊形ECOG為正方形． 【解法提示】 例2題解圖 ∵四邊形ECOG為正方形， ∴CO＝CE，∴∠OCE＝90， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45， ∵DO⊥AB， ∴∠DOA＝90， ∴COA＝∠DOA－∠COE＝45， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝67.5， ∴∠D＝90－62.5＝22.5. 1．(xx河南)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E. (1)求證：MD＝ME； (2)填空： ①若AB＝6，當(dāng)AD＝2DM時，DE＝______； ②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為__________時，四邊形ODME是菱形． 2．(xx河南)如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A、B重合的一個動點(diǎn)，延長BP到點(diǎn)C，使PC＝PB，D是AC的中點(diǎn)，連接PD、PO. (1)求證：△CDP≌△POB； (2)填空： ①若AB＝4，則四邊形AOPD的最大面積為______； ②連接OD，當(dāng)∠PBA的度數(shù)為__________時，四邊形BPDO是菱形． 3．(xx河南)如圖，CD是⊙O的直徑，且CD＝2 cm，點(diǎn)P為CD的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B. (1)連接AC，若∠APO＝30，試證明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①當(dāng)DP＝______ cm時，四邊形AOBD是菱形； ②當(dāng)DP＝________ cm時，四邊形AOBP是正方形． 4．(xx駐馬店一模)如圖，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)P在線段AC的延長線上，且PC＝CO，點(diǎn)B在⊙O上，且∠CAB＝30. (1)求證：PB是⊙O的切線； (2)若D為圓O上任一動點(diǎn)，⊙O的半徑為5 cm時， ①當(dāng)弧CD長為______時，四邊形ADPB為菱形； ②當(dāng)弧CD長為______時，四邊形ADCB為矩形． 5．(xx濮陽一模)如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥AC，AD＝OC. (1)求證：四邊形OCAD是平行四邊形； (2)探究： ①當(dāng)∠B＝________時，四邊形OCAD是菱形； ②當(dāng)∠B滿足什么條件時，AD與⊙O相切？請說明理由． 6．(xx河南模擬)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，⊙O是經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)P是上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、C點(diǎn)重合)，連接PA、PB、PC. (1)求證：CA＝CB； (2)①當(dāng)點(diǎn)P滿足______________時，△CPA≌△ABC，請說明理由； ②當(dāng)∠ABC的度數(shù)為__________時，四邊形ABCD是菱形． 7．(xx河南說明與檢測)如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB＝AC.延長BC到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接AD交圓O于點(diǎn)E. (1)求證：△ABE≌△CDE. (2)填空： ①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為________時，四邊形AOCE是菱形； ②若AE＝，AB＝2，則DE的長為_________． 8．(xx河南說明與檢測)如圖，半圓O的直徑為AB，點(diǎn)M為半圓上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，ND⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)M的切線交DN的延長線于點(diǎn)C. (1)若MC∥AB， ①求證：AD＝CN； ②填空：四邊形OMCD是何種特殊的四邊形？________． (2)填空：當(dāng)∠ANM＝____________時，四邊形ANMO為菱形． 9．(xx河南說明與檢測)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E，連接OE. (1)求證：OE∥AD； (2)填空： ①∠BAC＝________時，四邊形ODEB是正方形； ②當(dāng)∠BAC＝________時，AD＝3DE. 10．(xx濮陽一模)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB下方的半圓上不與點(diǎn)A，B重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)C為AP中點(diǎn)，延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作⊙O的切線交PB的延長線于點(diǎn)E，連CE交AB于點(diǎn)F，連接DF. (1)求證：△DAC≌△ECP； (2)填空： ①四邊形ACED是何種特殊的四邊形？ ②在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是______________． 11．如圖，已知⊙A的半徑為4，EC是⊙A的直徑，點(diǎn)B是⊙A的切線CB上的一個動點(diǎn)，連接AB交⊙A于點(diǎn)D，弦EF平行于AB，連接DF，AF. (1)試判斷直線BF與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由； (2)填空： ①當(dāng)∠CAB＝__________時，四邊形ADFE為菱形； ②當(dāng)EF＝___________時，四邊形ACBF為正方形． 12．(xx河南說明與檢測)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F. (1)求證：DF為⊙O的切線； (2)若過點(diǎn)A且與BC平行的直線交BE延長線于點(diǎn)G，連接CG.設(shè)⊙O的半徑為5. ①當(dāng)CF＝__________時，四邊形ABCG為菱形； ②當(dāng)BC＝4時，四邊形ABCG的面積是__________． 參考答案 類型一 針對訓(xùn)練 1．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. ∵∠BAC＝30，∴∠ABC＝60. ∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形． ∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60. ∴∠AOC＝∠PBC＝120. ∵CP是⊙O的切線，∴OC⊥CP. ∴∠OCP＝90.∴∠ACO＝∠PCB. 在△AOC和△PBC中， ，∴△PBC≌△AOC. (2)解：如解圖①，∵四邊形AOCD為菱形， ∴OA＝AD＝CD＝OC. 連接OD，則OA＝OD＝OC， ∴△AOD和△COD都是等邊三角形． ∴∠AOD＝∠COD＝60. ∴∠BOC＝60. ∴的長為＝π. 如解圖②，同理，∠BOC＝120，的長為＝2π. 綜上可知，的長為π或2π. 圖① 圖② 第1題解圖 2．(1)證明：如解圖，連接AC.∵C是的中點(diǎn)， ∴＝. 第2題解圖 ∵∠AOB＝120， ∴∠AOC＝∠BOC＝60. ∵OA＝OC， ∴△AOC是等邊三角形． ∴∠OAC＝∠OCA＝60，AC＝OC. ∵CD＝OC， ∴CD＝AC. ∴∠DAC＝∠D＝∠OCA＝30. ∴∠DAO＝∠OAC＋∠DAC＝90. ∵OA是⊙O的半徑， ∴DA是⊙O的切線． (2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝60， ∴AE＝BE，OE⊥AB. 在Rt△AOE中，AE＝OAsin 60＝6＝3. ∴AB＝2AE＝6. 3．(1)證明：AB與⊙O相切，理由如下： ∵∠ACB＝90， ∴∠CAE＋∠AEC＝90， ∵∠CAE＝∠ADF， ∠AEC＝∠FDC， ∴∠ADF＋∠FDC＝90，即∠ADC＝90. ∴CD⊥AB. 又∵CD為⊙O的直徑，∴AB與⊙O相切． 第3題解圖 (2)解：連接FC，DE，如解圖， ∵CD為⊙O的直徑，∴∠DEC＝90， ∵∠ACB＝90， ∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠DCF， ∴∠CAE＝∠DCF，即∠CAP＝∠FCP， ∵∠CPA＝∠FPC， ∴△CAP～△FCP， ∴＝， ∴＝＝， ∴PA＝2PC＝4PF， ∴PF＝AF＝， ∴CP＝2PF＝. 4．(1)證明：連接OD， ∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B， ∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3， 在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90， ∴∠4＝180－(∠2＋∠3)＝90， 第4題解圖 ∴OD⊥AD， ∵OD為⊙O的半徑， ∴AD為⊙O的切線； (2)解：設(shè)⊙O的半徑為r， 在Rt△ABC中，AC＝BCtan B＝4， 根據(jù)勾股定理得：AB＝＝4， ∴OA＝4－r， 在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝， ∴CD＝ACtan∠1＝2， 根據(jù)勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20， 在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20， 解得：r＝. 5．(1)證明：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90， ∴∠B＋∠BAD＝90， ∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90， ∴∠BAC＝90， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切線． (2)解：∵∠BCE＝∠B， ∴EC＝EB，設(shè)EC＝EB＝x， 在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8， ∴AC＝4， 在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2， ∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5， ∴CE＝5. 6．解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交，∠BAC＝38， ∴∠ACB＝90，∠ABC＝52， ∵D為的中點(diǎn)，∠AOB＝180， ∴∠AOD＝90， ∴∠ABD＝45. (Ⅱ)連接OD，如解圖， ∵DP切⊙O于點(diǎn)D， ∴OD⊥DP，即∠ODP＝90， 由DP∥AC，又∵∠BAC＝38， ∴∠P＝∠BAC＝38， ∵∠AOD是△ODP的一個外角， ∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128， ∴∠ACD＝64， ∵OC＝OA，∠BAC＝38， ∴∠OCA＝∠BAC＝38， ∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64－38＝26. 第6題解圖 7．(1)證明：連接OB，如解圖， ∵CE＝CB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵CD⊥OA， ∴∠DAE＋∠AED＝90， 又∵∠CEB＝∠AED， ∴∠DAE＋∠CBE＝90， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBA＋∠CBE＝90，即∠OBC＝90， ∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半徑， ∴BC是⊙O的切線； (2)解：連接OF，交AB于點(diǎn)H，如解圖， ∵DF⊥OA，AD＝OD， ∴FA＝FO， 又∵OF＝OA， ∴△OAF為等邊三角形， ∴∠AOF＝60， ∴∠ABF＝∠AOF＝30. 第7題解圖 8．(1)證明：連接OC，如解圖， 第8題解圖 ∵C是的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑， ∴CO⊥AB. ∵BD是⊙O的切線， ∴BD⊥AB. ∴OC∥BD， ∵OA＝OB， ∴AC＝CD. (2)解：∵E是OB的中點(diǎn)， ∴OE＝BE. 在△COE和△FBE中，∠CEO＝∠FEB，OE＝BE， ∠COE＝∠FBE， ∴△COE≌FBE， ∴CO＝BF，∵OB＝2， ∴BF＝2，∴AF＝＝2， ∵AB是直徑，∴BH⊥AF， ∴△ABF∽△BHF， ∴＝， 即ABBF＝AFBH， ∴BH＝＝＝. 類型二 針對訓(xùn)練 1．(1)證明：∵∠ABC＝90，AM＝MC， ∴BM＝AM＝MC，∴∠A＝∠ABM， ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180， 又∵∠ADE＋∠MDE＝180，∴∠MDE＝∠MBA， 同理證明：∠MED＝∠A， ∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME. (2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE， ∴DE∥AB，∴＝， ∵AD＝2DM，∴DM∶MA＝1∶3， ∴DE＝AB＝6＝2. 故答案為2. 第1題解圖 ②當(dāng)∠A＝60時，四邊形ODME是菱形．理由如下： 如解圖，∵四邊形ODME是菱形，∴OD＝OE＝DM＝MG， ∵DM＝ME， ∴△DME是等邊三角形，∴∠EDM＝60，∵DE∥AB， ∴∠A＝∠MDE＝60. 2．(1)證明：∵PC＝PB，D是AC的中點(diǎn)， ∴DP∥AB， ∴DP＝AB，∠CPD＝∠PBO， ∵BO＝AB， ∴DP＝BO， 在△CDP與△POB中， ， ∴△CDP≌△POB(SAS)； (2)4【解法提示】①當(dāng)四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，∵AB＝4，∴OA＝2，∴最大面積為22＝4； 第2題解圖 ②60【解法提示】連接OD，如解圖，∵DP∥AB，DP＝BO， ∴四邊形BPDO是平行四邊形， ∵四邊形BPDO是菱形，∴PB＝BO， ∵PO＝BO，∴PB＝BO＝PO， ∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數(shù)為60. 第3題解圖 3．(1)證明：連接OA，如解圖， ∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA， 在Rt△AOP中，∠AOP＝90－∠APO＝90－30＝60， ∴∠ACP＝30， ∵∠APO＝30，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP， ∴△ACP是等腰三角形． (2)解：①DP＝1，理由如下： ∵四邊形AOBD是菱形， ∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60， ∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1， ②DP＝－1，理由如下： ∵四邊形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45， ∵OA＝PA＝1，OP＝， ∴DP＝OP－1，∴DP＝－1. 4．(1)證明：如解圖①，連接OB、BC. ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝30， ∴∠COB＝∠OAB＋∠OBA＝60， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等邊三角形， ∴BC＝OC，∵PC＝OC， ∴BC＝CO＝CP， ∴∠PBO＝90， ∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半徑， ∴PB是⊙O的切線． 圖① 圖② 圖③ 第4題解圖 (2)解：①的長為 cm時，四邊形ADPB是菱形．理由如下： 如解圖②，∵四邊形ADPB是菱形，∠CAB＝30， ∴∠DAC＝30， ∴∠COD＝2∠CAD＝60， ∴的長為＝ cm. ②當(dāng)弧CD的長為 cm時， 四邊形ADCB為矩形，理由如下： 如解圖③，當(dāng)四邊形ADCB是矩形時，易知∠COD＝120，∴的長為＝ cm. 5．(1)證明：∵OA＝OC，AD＝OC， ∴OA＝AD， ∠AOD＝∠ADO， ∵OD∥AC， ∴∠OAC＝∠AOD， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO， ∴∠AOC＝∠OAD， ∴OC∥AD， ∴四邊形OCAD是平行四邊形； (2)解：①30【解法提示】∵四邊形OCAD是菱形， ∴OC＝AC， 又∵OC＝OA， ∴OC＝OA＝AC， ∴∠AOC＝60， ∴∠B＝∠AOC＝30； ②當(dāng)∠B＝45時，AD與⊙O相切，理由如下： ∵AD與⊙O相切， ∴∠OAD＝90， ∵AD∥OC， ∴∠AOC＝90， ∴∠B＝∠AOC＝45. 6．(1)證明：連接CO并延長交AB于點(diǎn)E，如解圖①， ∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C， ∴CE⊥CD， ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AB∥CD， ∴CE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴BC＝AC； (2)解：①當(dāng)AC＝AP時，△CPA≌△ABC. 理由如下：∵AC＝BC，AC＝AP， ∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP， ∵∠ABC＝∠APC， ∴∠BAC＝∠ACP， 在△CPA與△ABC中，， ∴△CPA≌△ABC； 圖① 圖② 第6題解圖 ②當(dāng)∠ABC的度數(shù)為60時，四邊形ABCD是菱形．理由如下： 如解圖②，連接OC，OB， ∵∠ABC＝60， ∴∠BCD＝120， ∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C， ∴∠OCD＝90， ∴∠BCO＝30， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝30， ∴∠ABO＝30， ∴BO垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∴四邊形ABCD是菱形． 7．(1)證明：∵AB＝AC, CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD. ∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ABC＋∠AEC＝180，∠BAE＋∠BCE＝180. ∵∠CED＋∠AEC＝180，∠ECD＋∠BCE＝180， ∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠BAE. ∴∠CED＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB. 在△ABE和△CDE中， ∴△ABE≌△CDE. (2)解：①60；②. 8．解：(1)① 連接ON，如解圖． 點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴AN＝MN， ∵OA＝OM，ON＝ON，∴△AON≌△MON. ∴∠OAN＝∠OMN， ∵CM為⊙O的切線，∴CM⊥OM. 第8題解圖 ∴∠CMN＋∠OMN＝90， ∵ND⊥AB， ∴∠NAD＋∠AND＝90， ∴∠AND＝∠CMN， ∵M(jìn)C∥AB，CD⊥AB， ∴MC⊥ND，即∠NCM＝90. 又∵AN＝NM，∠ADN＝90， ∴△AND≌△NMC，∴AD＝CN. ②矩形． (2)120. 9．(1)證明：連接OD， ∵DE是⊙O的切線， ∴OD⊥DE， 第9題解圖 在Rt△ODE和Rt△OBE中， ∴Rt△ODE≌Rt△OBE. ∴∠DOE＝∠BOE＝∠DOB， ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠DOB， ∴∠BOE＝∠A， ∴OE∥AD. (2)解：①45　②30 10．(1)證明：∵DE為⊙O的切線， ∴OD⊥DE， ∴∠CDE＝90， ∵點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)， ∴DC⊥AP， ∴∠DCA＝∠DCP＝90， ∵AB是⊙O直徑， ∴∠APB＝90， ∴四邊形DEPC為矩形， ∴DC＝EP， 在△DAC和△ECP中， ， ∴△DAC≌△ECP； (2)解：①∵△DAC≌△ECP， ∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECP， ∴AD∥CE， ∴四邊形ACED是平行四邊形； ②DF＝AP.理由如下： ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∵AD∥CE， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴∠DAO＝∠DCF， ∴A，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓， ∴＝， ∴AC＝DF， ∵AC＝AP， ∴DF＝AP. 11．(1)證明：BF與⊙A相切，理由如下： ∵BC是⊙A的切線，∠ACB＝90， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB， 又∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠FAB＝∠CAB， 在△ABC和△ABF中 ， ∴△ABC≌△ABF(SAS)； ∴∠AFB＝∠ACB＝90，∵AF是⊙A的半徑， ∴BF與⊙O相切． (2)①解：60理由如下： 連接CF，如解圖所示， 第11題解圖 若四邊形ADFE為菱形，則AE＝EF＝FD＝DA， 又∵CE＝2AE，CE是圓A的直徑， ∴CE＝2EF，∠CFE＝90， ∴∠ECF＝30， ∴∠CEF＝60， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠CAB， ∴∠CAB＝60； ②4.理由如下： 若四邊形ACBF為正方形，則AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE， ∴EF＝＝4. 第12題解圖 12．(1)證明：連接OD， ∵AB＝AC，OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB， ∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD， ∴DF為⊙O的切線． (2)解：①2.5.?、?00.