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2019上海教育版六上第一章《數(shù)的整除》word學(xué)案 一．學(xué)法指導(dǎo)： 1. 知道自然數(shù)、整數(shù)、整除的定義： 整除——整數(shù)a除以整數(shù)b，除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零。 2．掌握整除的兩種表述方法： 被除數(shù)能被除數(shù)整除；除數(shù)能整除被除數(shù)。 二．友情提示： 1．零既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)； 2．零是最小的自然數(shù)； 3．沒有最大的整數(shù)； 4．整除約定在正整數(shù)范圍內(nèi)考慮； 5．整除的條件：除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零。 三．例題講解： 例1：下列哪一個(gè)算式的除數(shù)能整除被除數(shù)？ 48； 427； 113； 0.250.05=5 解：因?yàn)?8=0.5（商不是整數(shù)） 427=6 113=3……2（余數(shù)不為0） 0.250.05=5（被除數(shù)、除數(shù)是小數(shù)，不是整數(shù)） 所以，除數(shù)能整除被除數(shù)的算式是427。 例2：從下列數(shù)中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)填入相應(yīng)的圈內(nèi)： 1，-2，0，25%，27，0.3，-100， ，56， 自然數(shù) 負(fù)整數(shù) 整數(shù) 1，0，27，56 1，-2，0，27，-100，56 -2，-100 四．本課練習(xí)： 1.在15，-27，3.8，0，11，-42，67%中，為自然數(shù)的是___________正整數(shù)的是____________負(fù)整數(shù)的是_______整數(shù)的是_________________。 2．最小的自然數(shù)是_______，最小的正整數(shù)是________，最大的負(fù)整數(shù)是________。 3．寫出三個(gè)比2小的整數(shù)________________；比2小的自然數(shù)有_______________。 4．能整除12的數(shù)有____________________。 5．選擇：能整除18的數(shù)有（ ） A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) 6．在下列各組數(shù)中，哪個(gè)數(shù)能整除另一個(gè)數(shù)？ 24和8 72和9 16和96 17和51 23和69 100和25 7．在下列各組數(shù)中，28和7 9和6 1.44和1.2 5和125 17和3 第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除的是____________________ 第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)除盡的是____________________ 8．在下列數(shù)中，哪個(gè)數(shù)能被另一個(gè)數(shù)整除？請一一舉出： 24，8，9，72，16，96，51，17，80，25 1．2因數(shù)和倍數(shù) 一． 學(xué)法指導(dǎo)： 1． 知道倍數(shù)和因數(shù)的定義： 整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)， b 就叫做a的因數(shù)。 2． 會(huì)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)。 二． 友情提示： 1. 一個(gè)整數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。 2. 一個(gè)整數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。 3. 找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法： （1） 能整除這個(gè)數(shù)的整數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù) （2） 利用積與因數(shù)的關(guān)系一對一對找 三． 例題講解： 例1：分別寫出48和17的因數(shù) 解：48的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 17的因數(shù)有1、17 解答方法：利用積與因數(shù)的關(guān)系一對一對找 48 =148 =224 =316 =412 =68 例2：分別寫出3和5的倍數(shù) 解：3的倍數(shù)有3，6，9，12，15，…,5的倍數(shù)有5，10，15，20，25，… 解答方法：因?yàn)槟鼙?、5整除的整數(shù)都是3、5的倍數(shù) 所以3、5與正整數(shù)1，2，3，4，5，…的積都能被3、5整除 四． 本課練習(xí)： 1．24的因數(shù)有__________，91的因數(shù)有___________。 2．在4、8、16、32、36、64、80七個(gè)數(shù)中，80的因數(shù)有_________________。 3．一個(gè)數(shù)的最大的因數(shù)是12，這個(gè)數(shù)是______，它所有的因數(shù)有__________。 4．90的因數(shù)有____個(gè)，這些因數(shù)的和是______。 5．能被9整除的數(shù)，至少有_______個(gè)因數(shù)。 6．13的倍數(shù)有_________________________。 7．100以內(nèi)17的倍數(shù)有________________，25的倍數(shù)有_________________。 8．在下列幾道除法算式中，寫出哪一個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪一個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的倍數(shù)？ 2016=1.25 8517=5 120.3=40 9． 如果a=235，那么a的所有因數(shù)有____________。 10．一個(gè)數(shù)既是18的倍數(shù)，又是18的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是_________。 11．一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是15，這個(gè)數(shù)的因數(shù)有________________。 12．在60的因數(shù)中，是4的倍數(shù)的數(shù)的和是__________ 13．判斷：一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)就是它的最小的倍數(shù)。（ ） 14．判斷：1是所有自然數(shù)的因數(shù)。（ ） 15．甲數(shù)的最大因數(shù)等于乙數(shù)的最小倍數(shù)，甲數(shù)____乙數(shù)（填“〉”或“〈”或“=” ） 1．3能被2、5整除的數(shù) 一．學(xué)法指導(dǎo)： 1．掌握能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0，2，4，6，8的整數(shù)都能被2整除； 2．掌握能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或者5的整數(shù)都能被5整除 3． 二．友情提示： 1．一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)； 2．奇數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是奇數(shù)； 3．能同時(shí)被2、5整除的數(shù)一定能被10整除。 三．例題講解： 例1：由0，1，2，3，4組成一個(gè)能被2整除的三位數(shù)中，最小的一個(gè)數(shù)是什么數(shù)？由小到大，第十個(gè)數(shù)是什么數(shù)？ 解：最小的一個(gè)數(shù)是102，由小到大，第十個(gè)數(shù)是204。 解答方法：1.根據(jù)能被2整除的數(shù)的特征，其個(gè)位上是0，2，4，6，8；由上述5個(gè)數(shù)所組成的三位數(shù)，最小的百位數(shù)是1，最小的十位數(shù)是0，而個(gè)位數(shù)滿足能被2整除，所以取2。 2．要找第十個(gè)小的三位數(shù)，百位數(shù)1的有9個(gè)，再從百位數(shù)是2中去找，且能被2整除的最小三位數(shù)是204。 例2：能被2整除的四位數(shù)中，最大的數(shù)是幾？ 解：能被2整除的四位數(shù)中，最大的數(shù)是1000。 解答方法：能被2整除的四位數(shù)是1000，1002……，其中最大的數(shù)是9998。 例3：在下列數(shù)中找出既能被2整除又能被5整除的數(shù)，填寫在適當(dāng)?shù)娜?nèi)，這樣的數(shù)有什么特點(diǎn)？ 16，35，60，85，96，125，320，888 能被2整除的數(shù) 能被5整除的數(shù) 16 888 60 320 35 85 96 125 能同時(shí)被2、5整除的數(shù) 解答方法：因?yàn)椋耗芡瑫r(shí)被2、5整除的數(shù)一定能被10整除。 能被2整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0，2，4，6，8； 能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5； 所以：能同時(shí)被2、5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0 四．本課練習(xí)： 1．判斷：兩個(gè)相鄰的偶數(shù)相差2（ ） 2．在110后面連續(xù)5個(gè)偶數(shù)是_____________________________。 3．從17起，連續(xù)5個(gè)奇數(shù)是______________________________。 4．與奇數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是_____數(shù)；與偶數(shù)相鄰的兩個(gè)數(shù)是______數(shù)； 5．4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是134，其中最小的一個(gè)數(shù)是__________； 6．5個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是180，這三個(gè)數(shù)分別是________________； 7．下列那些數(shù)有因數(shù)2、那些數(shù)有因數(shù)5？ 13，26，37，48，66，71，94，152，625，900，1002，4050 有因數(shù)2的數(shù)是_______________________。 有因數(shù)5的數(shù)是_______________________。 8．（1）2143至少加上____才能被2整除； （2）4321至少減少____才能被2整除； （3）1243至少加上___才能被5整除； （4）3142至少減少____才能被5整除； 9．寫出4個(gè)既能被2整除又能被5整除的數(shù)_________________； 10．在下列數(shù)中找出既能被2整除又能被5整除的數(shù)，填寫在適當(dāng)?shù)娜?nèi)，這樣的數(shù)有什么特點(diǎn)？ 18，55，160，825，962，1025，3020，8567 能被2整除的數(shù) 能被5整除的數(shù) 能同時(shí)被2、5整除的數(shù) 11．不能被2整除的自然數(shù)叫____________； 12．任何一個(gè)奇數(shù)加上1以后，一定能被______整除； 13．能被2整除的最大兩位數(shù)是_______； 14．能被2整除的三位數(shù)中，最大的偶數(shù)是________； 15．能同時(shí)被2和5整除的最小三位數(shù)是__________； 16．一個(gè)兩位數(shù)，既是5的倍數(shù)，又有因數(shù)2，這個(gè)數(shù)最小是____，最大是___； 17．一個(gè)兩位數(shù)，它能被3整除，有時(shí)5的倍數(shù)，而且是偶數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是_______； 18．（1）在下列每個(gè)數(shù)的□內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)有因數(shù)2，你還能寫出幾個(gè)？ 7□ □3□ （2）在下列每個(gè)數(shù)的□內(nèi)填上一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)有因數(shù)5，你還能寫出幾個(gè)？ 12□ □06□ 19．在12，28，36，75，96，100中 能被2整除，又有3這個(gè)約數(shù)的數(shù)是_________； 能被5整除，又有2這個(gè)約數(shù)的數(shù)是_________； 20．判斷：25的倍數(shù)中最小的一個(gè)是50。（ ） 21．判斷：5是5的倍數(shù)，5也是5的約數(shù)。( ) 22．能被5整除的最大三位數(shù)是_________； 23．能被5整除的兩位數(shù)中，最小的奇數(shù)是______； 24．5個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是195，其中最大的一個(gè)數(shù)是__________； 25．寫出在120以內(nèi)能被5整除的奇數(shù)（至少寫3個(gè)）___________________； 26．有兩個(gè)奇數(shù)，它們的積是65，差是8，他們的和是_________； 27．鄰近124前面三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是________； 28．用0，4，5，6四個(gè)數(shù)字，按要求寫出一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)： （1）既能被2整除又能被5整除： （2）不能被2整除，只能被5整除： 1．4素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（一） 一. 學(xué)法指導(dǎo)： 1．理解素?cái)?shù)、合數(shù)的意義： 素?cái)?shù)——一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)。 合數(shù)——一個(gè)正整數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因素，這樣的數(shù)叫合數(shù)。 2． 3．會(huì)用求因數(shù)的方法或用整除的特征來判斷一個(gè)正整數(shù)是否為素?cái)?shù)。 4．熟記20以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。 二．友情提示： 1．“1”既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。 2．學(xué)會(huì)區(qū)分奇數(shù)和素?cái)?shù)、偶數(shù)和合數(shù)的意義。 三．例題講解： 例1：判斷18，29，51和91是素?cái)?shù)還是合數(shù)。 解法一：18的因數(shù)有：1，2，3，6，9，18 29的因數(shù)有：1，19 45的因數(shù)有：1，3，5，9，15，45 91的因數(shù)有：1，7，13，91 通過檢查每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)，可以知道：18，45，91是合數(shù)，29是素?cái)?shù)。 解法二：18能被3整除，因此除了1和18以外，18還有因數(shù)3，所以18是合數(shù)。 同樣，45能被5整除，91能被7整除，所以45、91也是合數(shù)。 例2：小于30的既是素?cái)?shù)，又是偶數(shù)的數(shù)是哪幾個(gè)？ 解：小于30的素?cái)?shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 而其中又是偶數(shù)的數(shù)只有2。 通過這道題的解答，我們知道：所有的素?cái)?shù)（除2外）都是奇數(shù)。 四．本課練習(xí)： 1．判斷：所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)。（ ） 2．判斷：所有的偶數(shù)（除2外）都是合數(shù)。（ ） 3．判斷：一個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。（ ） 4．在1，2，9，15，39，70，95，801中， 奇數(shù)有__________________偶數(shù)有_______________ 素?cái)?shù)有__________________合數(shù)有________________ 既是奇數(shù)又是合數(shù)______________________________ 即是偶數(shù)又是素?cái)?shù)______________________________ 即是合數(shù)又是偶數(shù)______________________________ 能同時(shí)被2、5整除的數(shù)_________________________ 5．選擇：在自然數(shù)中，2是（ ） A.最小的素?cái)?shù) B.最小的偶數(shù) C.最小的合數(shù) D.最小的自然數(shù) 6．一個(gè)三位數(shù)，它的百位上是最小的素?cái)?shù)，十位上是最小的合數(shù)，個(gè)位上是最小的自然數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是____________。 7．如果兩個(gè)素?cái)?shù)的和是33，那么兩個(gè)素?cái)?shù)的積為____________。 1．4素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（二） 一. 學(xué)法指導(dǎo)： 1．分解素因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來。 2．理解素因數(shù)的意義：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的素因數(shù)。 3．會(huì)利用“短除法”把一個(gè)合數(shù)分解素因數(shù)。 二．友情提示： 1．注意分解素因數(shù)的書寫格式。 2．對于一個(gè)數(shù)有哪些素因數(shù)，必須說出它的每一個(gè)素因數(shù)。 三．例題講解： 例1：36的因數(shù)有哪幾個(gè)？素因數(shù)有哪幾個(gè)？ 解：36的因數(shù)有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 36的素因數(shù)有：2，2，3，3。 求36的素因數(shù)可以用短除法來求，一共有4個(gè)，而不能只說2和3。 例2： 素?cái)?shù)、素因數(shù)有什么區(qū)別？ 解：素?cái)?shù)：因數(shù)只有1和本身的正整數(shù)叫做素?cái)?shù)，它是獨(dú)立存在的數(shù)。如2是素?cái)?shù)59是素?cái)?shù)。 素因數(shù)：它既是素?cái)?shù)，又是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，它不是獨(dú)立存在的。如18=233，不能說2是素因數(shù)，而必須說2是18的素因數(shù)。 例3：判斷：分解素因數(shù) （1）15=351 （2）2313=78 （3）160=2258 答:上述寫法都是錯(cuò)誤的。 第（1）（3）兩題的錯(cuò)誤是：在因數(shù)相乘的形式中，出現(xiàn)了不是素?cái)?shù)的數(shù)1和8。分解素因數(shù)是把合數(shù)寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，正確的寫法是： （1）15=35 （3）160=222225=255 第（2）題是書寫的格式錯(cuò)誤，2313=78是一般的乘法算式，正確的書寫格式是： （2）78=2313 四．本課練習(xí)： 1．把下列各數(shù)分解素因數(shù)：96， 224， 738， 540 2．42和91，它們相同的素因數(shù)有___________，它們各自獨(dú)有的素因數(shù)分別有_______和_______ 3．素?cái)?shù)有______個(gè)因數(shù)；在1~200的所有自然數(shù)中，_____只有1個(gè)因數(shù)，________________只有3個(gè)因數(shù)。 4．有三個(gè)不同的素?cái)?shù)，它們的積是165，這三個(gè)素?cái)?shù)分別是多少？請寫出解題的主要步驟。 ５．選擇： 7和11都是（ ） A.素?cái)?shù) B.互素?cái)?shù) C.素因數(shù) D.因數(shù) 6．在自然數(shù)4，5，6，7，9中，兩個(gè)數(shù)是互素的有（ ）對 A.5 B.6 C.7 D.8 1．4素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)（三） 一．填空： 1．把下列各數(shù)填入適當(dāng)?shù)娜?nèi) 1，2，4，6，7，9，13，18，21，26，45，54，72，87，111 奇數(shù) 偶數(shù) 素?cái)?shù) 合數(shù) 2． 從1到10中，最小的素?cái)?shù)和最小的合數(shù)的積是__________。 3．最小的合數(shù)加最小的奇數(shù)等于___________。 4．20以內(nèi)素?cái)?shù)中偶數(shù)有_______；奇數(shù)有________；不是偶數(shù)的合數(shù)有_______；不是奇數(shù)的合數(shù)有________。 5．既是素?cái)?shù)又是偶數(shù)的最小數(shù)是_______。 6．既不是素?cái)?shù)又不是合數(shù)的數(shù)是_______。 7．既是素?cái)?shù)又是奇數(shù)的最小數(shù)是________。 8．既是偶數(shù)又是合數(shù)的最小數(shù)是________。 9．既是奇數(shù)又是合數(shù)的最小數(shù)是________。 10．既是相鄰的自然數(shù)，又是素?cái)?shù)的兩個(gè)數(shù)的和是______。 11．最大的一位數(shù)減去最小的素?cái)?shù)，差是_________。 12．2730這個(gè)合數(shù)能被____ 、____ 、____、 ___、____這幾個(gè)素?cái)?shù)整除，這幾個(gè)數(shù)叫做2730的________數(shù)。 二．解答題： 1．用短除法分解素因數(shù)： 102 136 84 256 2．在下列各數(shù)中，哪些是素?cái)?shù)？哪些是合數(shù)？請把合數(shù)分解素因數(shù)。 31， 47， 58， 83， 121， 143， 279 3．先分解素因數(shù)，再分別寫出這三個(gè)數(shù)的倍數(shù)。（只需從大到小寫三個(gè)） 16 36 96 1．5公因數(shù)與最大公因數(shù) 一. 學(xué)法指導(dǎo)： １．理解公因數(shù)與最大公因數(shù)的意義： 公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。 最大公因數(shù)：公因數(shù)中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 ２．理解互素的意義： 如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)１，那么稱這兩個(gè)數(shù)互素。 ３．掌握求兩個(gè)數(shù)的因數(shù)和最大公因數(shù)的方法。 ４．會(huì)判斷兩個(gè)數(shù)是不是互素關(guān)系。 三．例題講解： 例１：求３和７、8和9、１５和９０、16和80、12和42、５１和６８的最大公因數(shù)，從中你能夠發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 解： 為了簡便，也可以用短除法計(jì)算： 15 90 3 5 30 1 6 5 （用公有的素因數(shù)3除） （用公有的素因數(shù)5除） （除到兩個(gè)商互素為止） 15和90的最大公因數(shù)是35=15 51 68 17 3 4 51和68的最大公因數(shù)是17 從上面的解答中我們發(fā)現(xiàn)：3和7、8和9這兩組數(shù)是互素，因而它們的最大公因數(shù)是1；15和90、16和80這兩組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系，因而它們的最大公因數(shù)是其中較小的那個(gè)數(shù)，15和90的最大公因數(shù)是15，16和80的最大公因數(shù)是16；12和42、51和68既不存在倍數(shù)關(guān)系，也不是互素關(guān)系，所以一般采用短除法來求。 結(jié)果是：（12，42）=23=6， （51，68）=17 例2：秋游這天，老師帶領(lǐng)24名女生和18名男生。老師把這些學(xué)生分成人數(shù)相等的若干個(gè)小組，每個(gè)小組中的女生人數(shù)相等，請問：這42名同學(xué)最多能分成幾組？ 分析：分成的組數(shù)能整除24和18，也就是24和18的因數(shù)。 24的因數(shù) 18的因數(shù) 4 8 1 2 9 12 24 3 6 18 1025 24和18公有的因數(shù) 因此老師最多可以把這些學(xué)生分成6組，每組中分別有4名女生和3名男生。 四．本課練習(xí)： 一．填空： 1．12和18的全部公因數(shù)有____________________，最大公因數(shù)是___________。 2． A=37, B=25, A和B的最大公因數(shù)是_____________。 3． 最大的兩位數(shù)與最小的兩位數(shù)的和是_____，差是_____，和與差的最大公因數(shù)是_____。 4．兩個(gè)合數(shù)的最大公因數(shù)是1，且和為13，這兩個(gè)數(shù)是_______和_______。 5．先分別把下面兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，再求它們的最大公因數(shù)。 21=______________； 39=________________。 21和39的最大公因數(shù)是_________。 6．甲數(shù)=3A7，乙數(shù)=23B，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是21，那么A最小可取_________B=__________。 7．差是1的兩個(gè)素?cái)?shù)是____和____，它們的最大公因數(shù)是_____。 8．兩個(gè)自然數(shù)的和是216，如果它們的最大公因數(shù)是24，那么這兩個(gè)數(shù)是_______________________________。 二．選擇： 1．6是36和48的（ ） A. 因數(shù) B. 公因數(shù) C. 最大公因數(shù) 2．甲數(shù)是乙數(shù)的15倍，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是（ ） A. 15 B. 甲數(shù) C. 乙數(shù) D.甲數(shù)乙數(shù) 3．幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，這些數(shù)的全部公因數(shù)是（ ） A. 1、2、3、12 B. 2、3、4、6 C. 2、3、4、6、12 D.1、2、3、4、6、12 三．解答題： 1．用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)： 60和90 45和75 48和60 72和63 2．求下列分?jǐn)?shù)中兩個(gè)分子的最大公因數(shù)： 3．已知兩個(gè)正整數(shù)的積是1284，他們的最大公因數(shù)是6，求這兩個(gè)數(shù)。 4．動(dòng)腦筋：一個(gè)數(shù)減去5和9的最大公因數(shù)，所得的差能被2和5同時(shí)整除，滿足此條件的最小兩位數(shù)是幾？ 5． 有a、b、c、d四個(gè)數(shù)，已知a和d的最大公因數(shù)是60，c和b的最大公因數(shù)是96。這四個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是多少？ 6．一張長方形的紙，長42厘米，寬30厘米，要把這張紙裁成大小相等的正方形而沒有剩余，正方形的邊長最大是幾？ 1．6公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 一. 學(xué)法指導(dǎo)： １．理解公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的意義： 公倍數(shù)：幾個(gè)整數(shù)的公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。 最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 ２．理解用短除法求最小公倍數(shù)的算理。 ３．掌握求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。 ４．會(huì)根據(jù)兩數(shù)為倍數(shù)關(guān)系或互素關(guān)系的情況直接求他們的最小公倍數(shù)。 二．友情提示： 由于求最大公因數(shù)與求最小公倍數(shù)的方法相近，所以一定要牢固掌握各自的意義。 三．例題講解： 例1：求下列分?jǐn)?shù)中兩個(gè)分母的最小公倍數(shù)： 解：7和9是互素關(guān)系，因而它們的最小公倍數(shù)是就是它們的乘積79=63； 45和5是倍數(shù)關(guān)系，因而它們的最小公倍數(shù)是其中較大的那個(gè)數(shù)45； 21和35既不存在倍數(shù)關(guān)系，也不是互素關(guān)系，所以一般采用短除法來求， 結(jié)果是：[21,35]=357=105. 例2：今有婦人河上蕩桮，津吏問曰：“桮何以多？”婦人曰：“家有客?！?津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹， 四人共肉，凡用桮六十五，不知客幾何？” 解：這是《孫子算經(jīng)》中的一個(gè)問題，主要意思是：有一位婦女在河里洗盤子，有人問：為什么洗這么多盤子？婦人回答：家里有客人。那人又問：客人有多少？二人合用一個(gè)盛飯的盤子，三人合用一個(gè)盛湯的盤子，四人合用一個(gè)盛肉的盤子，一共用了65個(gè)盤子。 滿足以上3個(gè)條件至少12人，即[2，3，4]=12，12人用6個(gè)盛飯的盤子，4個(gè)盛湯的盤子，3個(gè)盛肉的盤子，一共13個(gè)盤子； 651312=60（人） 答：有客人60人。 四．本課練習(xí)： (一)填空： 1．4和6的公倍數(shù)有______________，其中最小公倍數(shù)是__________。 2．A=335 ，B=235，A和B的最小公倍數(shù)是___________。 3．如果兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，那么它們的最大公因數(shù)是_____，最小公倍數(shù)是__________。 4．a(chǎn)b=7，a和b是正整數(shù)，a和b的最大公因數(shù)是_____，最小公倍數(shù)是_____。 5． 正整數(shù)x能整除正整數(shù)y，那么x與y的最小公倍數(shù)是______ 。最大公約數(shù)是_______。 6． A、B是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，那么A、B最大公因數(shù)是_______，最小公倍數(shù)是 ________。 7．兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是525，這兩個(gè)數(shù)是_______________________。 8．一個(gè)數(shù)的最小_____數(shù)是它本身，最大_____數(shù)也是它本身。 9． 兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是8，最小公倍數(shù)是48，這樣的兩個(gè)數(shù)是___和___或者是___和___。 10．已知兩個(gè)互素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)是123，這兩個(gè)互素?cái)?shù)是____和____。 （二）選擇題： 1．在自然數(shù)中，M=N+1，則M、N的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 A. M B. N C. MN D. 1 2．兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)比它們的最大公因數(shù)（ ） A. 大 B. 小 C. 相等 D.都有可能 3．甲數(shù)是乙數(shù)的17倍，則兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是（ ） A. 17 B. 甲數(shù) C. 乙數(shù) D.甲數(shù)乙數(shù) （三）解答題： 1．直接寫出下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)： 3和8 11和5 22和88 1和37 12和13 16和25 6和8 56和14 2．用短除法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)： 18和81 45和54 36和63 104和156 3．用短除法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)： 30， 60 和 80 12， 40 和 180 4．a(chǎn)、b、c、d是互不相同的素?cái)?shù)，如果甲數(shù)=aabc，乙數(shù)=abd，那么甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是幾？ 5．一個(gè)班的學(xué)生人數(shù)在20~40之間，分別按6，8，12人分組，學(xué)生正好分完，這個(gè)班共有幾人? 6．師生倆人今年的年齡乘積是525歲，4年前他們的年齡都是素?cái)?shù)，師生倆人今年的年齡各是幾歲？ 第一章 單元綜合練習(xí) 一．填空： 1．在115，2.17，4214中，___能被___整除；___叫 ___的因數(shù)； ___叫 ___ 的倍數(shù)。 2．按要求填入相應(yīng)圈內(nèi)： 204 3 0.5 721 1560 9016 0.240.08 567 除盡 整除 3．任何一個(gè)正整數(shù)都能被_____和______整除。 4．能同時(shí)被2、5整除的最大三位數(shù)是___________。 5．寫出一個(gè)能被5除余3的三位數(shù)_______。 6．用5，7，8，0寫出一個(gè)四位數(shù)，使它是2的倍數(shù)，最大是___________。 7．把下面各數(shù)填入適當(dāng)?shù)娜?nèi)： 2，5，10，15，25，30，50． 50的因數(shù) 5的倍數(shù) 8．有一個(gè)數(shù)，它既是31的倍數(shù)，又是31的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是__________。 9．102最多能被___個(gè)數(shù)整除，它們分別是___________________________。 10．用10以內(nèi)三個(gè)不同的素?cái)?shù)組成一個(gè)同時(shí)能被2、5整除的最大三位數(shù)是______。 11．兩個(gè)素?cái)?shù)的和是_________________________數(shù)。 12．___和___這兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，又是互素?cái)?shù)。 13．___和___這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)，又是互素?cái)?shù)。 14．___和___這兩個(gè)數(shù)一個(gè)是合數(shù)，一個(gè)是素?cái)?shù)，又是互素?cái)?shù)。 15．所有是3的倍數(shù)，而不是2和5的倍數(shù)且小于50的兩位數(shù)有_____________。 16．一個(gè)正方體的體積是1728立方厘米，則它的表面積是__________平方厘米。 二．判斷題： 1．36是倍數(shù)，4是因數(shù)。（ ） 2．10以內(nèi)的偶數(shù)的平均數(shù)是4。（ ） 3．在57，5，97，1.5中，既是奇數(shù)又不是合數(shù)的數(shù)是57。（ ） 4．一個(gè)素?cái)?shù)只有兩個(gè)因數(shù)。（ ） 5．自然數(shù)中凡是3的倍數(shù)有偶數(shù)也有奇數(shù)。（ ） 6．偶數(shù)不一定是合數(shù)，奇數(shù)一定是素?cái)?shù)。（ ） 7．最小的素?cái)?shù)是2，3是素因數(shù)。（ ） 8．沒有最大的素?cái)?shù)，也沒有最小的合數(shù)。（ ） 9．a(chǎn)b=c，（a、b、c均為正整數(shù)）那么b整除a，c整除b。（ ） 10．因?yàn)?=24，所以2和4都是8的素因數(shù)。（ ） 11．把65用素因數(shù)相乘的形式表示是：65=1335。（ ） 12．兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)，這兩個(gè)數(shù)不一定都是素?cái)?shù)。（ ） 三．選擇題： 1．在2，3，4，5四個(gè)自然數(shù)中，兩個(gè)數(shù)是互素?cái)?shù)的有（ ） A. 2對 B. 4對 C. 5對 D.6對 2．在下列各數(shù)中找一個(gè)與6是互素?cái)?shù)的合數(shù)是（ ） A. 9 B. 11 C. 35 D.奇數(shù) 3．125的素因數(shù)有（ ）個(gè) A. 4 B. 3 C. 2 D.1 4．下列各式中，表示分解素因數(shù)的式子是（ ） A. 30=235 B. 54=23331 C. 357=105 D.44=411 5．1、3、7是21的（ ），3、7是21的（ ） A. 公因數(shù) B. 因數(shù) C. 素因數(shù) D.素?cái)?shù) 6．b為0，a為1至9任意一個(gè)數(shù)字，下列各數(shù)中一定能被3整除的數(shù)是（ ） A. ababab B. ababaa C. abbabb D.ababbb 四．解答題： 1．求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)： 28和70 56和48 81和63 2．分別把234和126分解素因數(shù)，并指出它們有哪些相同的素因數(shù)？ 3．如果用[a]表示a的全部因數(shù)的和，如[6]=1+2+3+6=12， 那么[24]-[21]的結(jié)果是多少？ 4．一些四位數(shù)，千位數(shù)字都是3，百位數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除，又能被3整除。甲數(shù)是這些數(shù)中最大的，乙數(shù)是這些數(shù)中最小的，那么，甲數(shù)是幾？乙數(shù)是幾？ 5．想一想：一個(gè)數(shù)，用它去除36余1，去除54余4，去除55恰好整除，請問這個(gè)數(shù)是幾？ 6．動(dòng)腦筋：把95，133，14，65，221，34這六個(gè)數(shù)分成兩組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等，如何分？ 附送： 2019上海教育版六上第一章《數(shù)的整除》word教案 一、知識樹 質(zhì)數(shù)與合數(shù)----- 分解質(zhì)因數(shù) 因數(shù)（約數(shù)） 公因數(shù)----最大公因數(shù) ----互質(zhì)數(shù) 整除 能被2整除的數(shù)的特征---奇數(shù)與偶數(shù) 能被3、5整除的數(shù)的特征 倍數(shù) --------公倍數(shù)-----最小公倍數(shù) 知識的應(yīng)用： 1、求一個(gè)數(shù)的約數(shù)和倍數(shù) 2、自然數(shù)的分類，質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的判斷。 3、用短除法分解質(zhì)因數(shù) 4、求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù) 應(yīng)用題：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用題 二、有關(guān)的定義 1、整除的概念（上學(xué)期的知識）整數(shù)a除以整數(shù)b（b=0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者b能整除a。 能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù) 能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù) 能被3整除的數(shù)的特征：各個(gè)位上數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 2、數(shù)能被數(shù)整除，就叫做的倍數(shù)，就叫做的約數(shù)。 一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。 3、一個(gè)數(shù)除了1和它本身以外，不再有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫質(zhì)數(shù)。 一個(gè)數(shù)除了1和它本身以外，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫合數(shù)。 “1”即不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。 4、把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。 5、幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，其中最大一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫互質(zhì)數(shù) 互質(zhì)數(shù) 由兩個(gè)合數(shù)組成：8和9，一個(gè)合數(shù)，一個(gè)質(zhì)數(shù)： 3和4，兩個(gè)質(zhì)數(shù)：2和3 三、練習(xí)：按內(nèi)容復(fù)習(xí) 一、復(fù)習(xí)約數(shù)和倍數(shù)的意義 1、什么叫做約數(shù)?什么叫做倍數(shù)? 2、以248＝3說說誰是誰的約數(shù)?誰是誰的倍數(shù)? 3、判斷題。 (1)因?yàn)?5能被3整除，所以說15是倍數(shù)，3是約數(shù)。( ) (2)一個(gè)數(shù)的約數(shù)一定小于這個(gè)數(shù)的倍數(shù)( ) (3)除0以外的數(shù)都是自然數(shù)( ) (4)因?yàn)锳能整除B，所以B是A的約數(shù)( ) (5)6的倍數(shù)有：6、12、18、24 ( ) (6)18的約數(shù)有：1、2、3、6、9 ( ) 4、填空。 (1)一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是 的，它的最小的約數(shù)是 ，最大的約數(shù)是 。 (2)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是 的，它的最小的倍數(shù)是 ，它沒有最大的倍數(shù)。 (3)18能被6 ，18是6的 ， 是 的約數(shù)。 (4)100以內(nèi)17的倍數(shù)有 。 二、復(fù)習(xí)能被2、5整除的數(shù)的特征 1、怎樣的數(shù)能被2整除、被5整除? 2、什么叫做偶數(shù)?什么叫做奇數(shù)?最小的偶數(shù)和奇數(shù)各是幾?有無最大?為什么? 3、下面各數(shù)哪些能被2整除?哪些有約數(shù)5？哪些是偶數(shù)?哪些是奇數(shù)? 12、25、45、78、280、1200、66 三、復(fù)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)的意義 1、什么叫質(zhì)數(shù)?什么叫合數(shù)?自然數(shù)按照它的約數(shù)個(gè)數(shù)的多少，分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩種，對嗎?為什么? 2、什么叫質(zhì)因數(shù)?分解質(zhì)因數(shù)? 3、下面各數(shù)哪些是質(zhì)數(shù)?哪些是合數(shù)?把它們分別填在圈里 l、 2、 21、 27、 3l、 49、 81、 9l、 123、 140 質(zhì)數(shù) 合數(shù) 4、判斷題。 (1)一個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)( ) (2)一個(gè)自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù) ( ) (3)15的質(zhì)因數(shù)有1、3、5、15( ) (4)所有的合數(shù)都是偶數(shù)( ) (5)質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)的積—定是合數(shù)。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ ） 5、把下面各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。 24 80 95 四、復(fù)習(xí)公約數(shù)、最大公約數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)、互質(zhì)數(shù)的意義 1、什么叫公約數(shù)?什么叫最大公約數(shù)? 2、為什么不求兩個(gè)數(shù)的最小公約數(shù)? 3、什么叫互質(zhì)數(shù)?質(zhì)數(shù)和互質(zhì)數(shù)有什么區(qū)別?請說出兩對互質(zhì)數(shù)? 4、什么叫公倍數(shù)?什么叫最小公倍數(shù)? 5、為什么不求幾個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)? 6、判斷題。 (1)成為互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)公約數(shù)只有1。 ………………( ) (2)ab＝c，c是整數(shù)，b是a與b最大公約數(shù)，a是a與b最小公倍數(shù)。 …………… ( ) (3)a與b是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是ab。 …………( ) (4)自然數(shù)A和自然數(shù)B，一定都是它們的最大公約數(shù)的倍數(shù)。 …………… ( ) 7、很快地說出下面各組數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。 7和9 20和40 45和15 8、求出18和24的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。說說它們的求法有什么相同和不同的地方。 綜合性復(fù)習(xí) 一、判斷題。(對的在括號里打“√”，錯(cuò)的打“X”) 1、自然數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的?！? ) 2、甲數(shù)能整除乙數(shù)，甲數(shù)就是乙數(shù)的約數(shù)?！? ) 3、任何一個(gè)自然數(shù)都有兩個(gè)約數(shù)。…………………( ) 4、含有公約數(shù)l的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)?！? ) 5、如果小數(shù)是大數(shù)的約數(shù)，那么大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 …………( ) 6、兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，一定是互質(zhì)數(shù)，兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)也一定是互質(zhì)數(shù)。 …… （ ） 7、一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被4整除，這個(gè)數(shù)一定能被4整除。（ ） 8、12所有約數(shù)是2、3、4、6、12。 ．．．．．．．．．．．．．．．( ) 9、因?yàn)?0=345，所以3、4、5都是60的質(zhì)因數(shù)。 ………………．．．…… ( )， 10、除0以外，其他的數(shù)都是自然數(shù)。 ………………( ) 二、選擇題。(把正確答案的序號填人括號) 1、下面算式中，第( )個(gè)算式符合整除的定義。 (1)125=24 (2)270.9=30 (3)213=7 (4)0.60.2=3 2、有一個(gè)數(shù)，它既是9的約數(shù)，又是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是( )。 ①3 ②9 ⑧18 ④27 ⑤90 3、A、B都是自然數(shù)，AB：5，A和B的最小公倍數(shù)是( )，最大公約數(shù)是( )。 ①A ②B ⑧5 ④AB 4、小于10的數(shù)有( )。 ①9個(gè) ②10個(gè) ③11個(gè) ④無數(shù)個(gè) 5、已知數(shù)a能整除4l，那么數(shù)a( )。 ①是82 ②整數(shù) ③必定是41 ④是l或41 三、填空題。 1、在1、2、5、9、11、18、24和0這些數(shù)中奇數(shù)有 ；偶數(shù)有 ；合數(shù)有 。質(zhì)數(shù)有 。 2、兩個(gè)都是質(zhì)數(shù)的連續(xù)自然數(shù)是 和 。 3、同時(shí)能被2、3整除的最小三位自然數(shù)是 ，最大兩位自然數(shù)是 。 4、30的所有約數(shù)是 ，其中是質(zhì)數(shù)的有 。 5、不用計(jì)算，可判斷15和45的最大公約數(shù)是 ，最小公倍數(shù)是 ，這是因?yàn)? 。 6、9、10和18都能整除一些自然數(shù)，這些數(shù)中最小的數(shù)是 。 7、兩個(gè)互質(zhì)數(shù)，又都是合數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是36這兩個(gè)數(shù)分別是 和 。 8、有一個(gè)四位數(shù)，它的千位上數(shù)是最小的自然數(shù)，百位上的數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)，十位上的數(shù)是最小合數(shù)，如果這個(gè)數(shù)能同時(shí)被2與3整除。這個(gè)四位數(shù)是 和 。 四、把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。 240 300 1001 五、在下面每組數(shù)后面的( )里填上最大公約數(shù)[ ]里填上最小公倍數(shù)。 8和12 ( )[ ] 9和11 ( )[ ] 16和48 ( )[ ] 15和25 ( )[ ] 7和17 ( )[ ] 35和50 ( )[ ] 15、18、24 ( )[ ] 六、應(yīng)用題 1、 一個(gè)教室，長84分米，寬66分米，用一樣大的正方形瓷磚鋪地，正方形的瓷磚邊長最大是多少分米？ 2、 一個(gè)教室，長84分米，寬66分米，用一樣大的正方形瓷磚鋪地，至少要用這樣正方形的瓷磚多少塊？ 3、 小明6天去一次圖書館，小芳8天去一次圖書館，小強(qiáng)12天去一次圖書館，他們有一天在圖書館相遇，至少多少天他們再次在圖書館相遇？