《高考數(shù)學(xué) 6.6 直接證明與間接證明課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 6.6 直接證明與間接證明課件.ppt（47頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第六節(jié)直接證明與間接證明 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 直接證明 推理論證 成立 證明的結(jié)論 充分條件 2 間接證明 反證法 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出 因此說明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明了原命題成立的證明方法 不成立 矛盾 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 綜合法證明問題是由因?qū)Ч?分析法證明問題是執(zhí)果索因 2 分析法與綜合法相輔相成 對(duì)較復(fù)雜的問題 常常先從結(jié)論進(jìn)行分析 尋求結(jié)論與條件 基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系 找到解決問題的思路 再運(yùn)用綜合法證明 或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 求差法 分析法 綜合法 反證法 放縮法 2 數(shù)學(xué)思想 正難則反的思想 3 記憶口訣 證不等式的方法 實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大 求差與0比大小 作商和1爭(zhēng)高下 直接困難分析好 思路清晰綜合法 非負(fù)常用基本式 正面難則反證法 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?逐步尋找已知的必要條件 2 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件 3 用反證法證明時(shí) 推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾 4 在解決問題時(shí) 常常用分析法尋找解題的思路與方法 再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程 解析 1 正確 因?yàn)榫C合法的思維過程是由因?qū)Ч?就是尋找已知的必要條件 因此 1 正確 2 錯(cuò)誤 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件 不是充要條件 3 錯(cuò)誤 用反證法證明時(shí) 推出的矛盾可以與已知 公理 定理 事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾 4 正確 在解決問題時(shí) 常常用分析法尋找解題的思路與方法 再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 2P91練習(xí)T1改編 用反證法證明命題 三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60 時(shí) 應(yīng)假設(shè) A 三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B 三個(gè)內(nèi)角都大于60 C 三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D 三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 解析 選B 因?yàn)?至少有一個(gè)不大于 的反面是 都大于 因此選B 2 選修2 2P91習(xí)題2 2A組T2改編 已知A B都是銳角 且A B 1 tanA 1 tanB 2 則A B 解析 由已知得tanA tanB 1 tanAtanB 所以tan A B 因?yàn)锳 B 且A B都是銳角 所以A B 答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 山東高考 用反證法證明命題 已知a b為實(shí)數(shù) 則方程x2 ax b 0至少有一個(gè)實(shí)根 時(shí) 要做的假設(shè)是 A 方程x2 ax b 0沒有實(shí)根B 方程x2 ax b 0至多有一個(gè)實(shí)根C 方程x2 ax b 0至多有兩個(gè)實(shí)根D 方程x2 ax b 0恰好有兩個(gè)實(shí)根 解析 選A 方程x2 ax b 0至少有一個(gè)實(shí)根 的反面是 方程x2 ax b 0沒有實(shí)根 故選A 2 2015 長(zhǎng)春模擬 設(shè)a b c都是正數(shù) 則三個(gè)數(shù) A 都大于2B 都小于2C 至少有一個(gè)不大于2D 至少有一個(gè)不小于2 解析 選D 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取等號(hào) 所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2 考點(diǎn)1分析法 典例1 ABC的三個(gè)內(nèi)角A B C成等差數(shù)列 A B C的對(duì)邊分別為a b c 求證 解題提示 本題從條件不易尋求證題思路 考慮使用分析法 規(guī)范解答 要證即證只需證c b c a a b a b b c 需證c2 a2 ac b2 又 ABC三內(nèi)角A B C成等差數(shù)列 故B 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 規(guī)律方法 1 分析法的思路 執(zhí)果索因 逐步尋找結(jié)論成立的充分條件 即從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 或本身已經(jīng)成立的定理 性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等 通常采用 欲證 只需證 已知 的格式 在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性 2 分析法證明問題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯 直接 或證明過程中所需用的知識(shí)不太明確 具體時(shí) 往往采用分析法 特別是含有根號(hào) 絕對(duì)值的等式或不等式 常考慮用分析法 變式訓(xùn)練 已知c 0 用分析法證明 證明 要證原不等式成立 只需證明即證 2c 4c 即證 c 而c 0 故只需證明c2 1 c2 而此式一定成立 故原不等式得證 加固訓(xùn)練 已知非零向量a b 求證 證明 因?yàn)閍 b 所以a b 0 要證只需證 a b a b 平方得 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 b 2 2a b 只需證 a 2 b 2 2 a b 0成立 即 a b 2 0 顯然成立 故原不等式得證 考點(diǎn)2綜合法知 考情綜合法證明問題是歷年高考的熱點(diǎn)問題 也是必考問題之一 通常在解答題中出現(xiàn) 考查立體幾何 數(shù)列 函數(shù) 不等式及一些新型定義問題 因而掌握好綜合法是突破此類問題的關(guān)鍵 明 角度命題角度1 與立體幾何有關(guān)的證明題 典例2 2014 湖北高考 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F P Q M N分別是棱AB AD DD1 BB1 A1B1 A1D1的中點(diǎn) 求證 1 直線BC1 平面EFPQ 2 直線AC1 平面PQMN 解題提示 1 通過證明FP AD1 得到BC1 FP 根據(jù)線面平行的判定定理即可得證 2 證明BD 平面ACC1 得出BD AC1 進(jìn)而得MN AC1 同理可證PN AC1 根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出直線AC1 平面PQMN 規(guī)范解答 1 連接AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方體 知AD1 BC1 因?yàn)镕 P分別是AD DD1的中點(diǎn) 所以FP AD1 從而BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直線BC1 平面EFPQ 2 連接AC BD 則AC BD 由CC1 平面ABCD BD 平面ABCD 可得CC1 BD 又AC CC1 C 所以BD 平面ACC1 而AC1 平面ACC1 所以BD AC1 因?yàn)镸 N分別是A1B1 A1D1的中點(diǎn) 所以MN BD 從而MN AC1 同理可證PN AC1 又PN MN N 所以直線AC1 平面PQMN 命題角度2 與數(shù)列有關(guān)的證明題 典例3 2013 北京高考 給定數(shù)列a1 a2 an 對(duì)i 1 2 n 1 該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai 后n i項(xiàng)ai 1 ai 2 an的最小值記為Bi di Ai Bi 1 設(shè)數(shù)列 an 為3 4 7 1 寫出d1 d2 d3的值 2 設(shè)a1 a2 an n 4 是公比大于1的等比數(shù)列 且a1 0 證明 d1 d2 dn 1是等比數(shù)列 解題提示 先根據(jù)已知條件寫出d1 d2 d3的值 再利用等比數(shù)列的定義證明d1 d2 dn 1是等比數(shù)列 規(guī)范解答 1 d1 A1 B1 3 1 2 d2 A2 B2 4 1 3 d3 A3 B3 7 1 6 2 由a1 a2 an n 4 是公比大于1的等比數(shù)列 且a1 0 可得 an 的通項(xiàng)為an a1 qn 1且為單調(diào)遞增數(shù)列 于是當(dāng)k 2 3 n 1時(shí) 因此d1 d2 dn 1構(gòu)成首項(xiàng)d1 a1 a2 公比為q的等比數(shù)列 悟 技法綜合法證明問題的常見類型及方法 1 數(shù)列證明題 充分利用等差 等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化證明 2 幾何證明題 首先利用點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定或性質(zhì) 也可利用向量法證明 其次要進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化 通 一類1 2015 濰坊模擬 設(shè)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 且當(dāng)x 0時(shí) f x 單調(diào)遞減 若x1 x2 0 則f x1 f x2 的值 A 恒為負(fù)值B 恒等于零C 恒為正值D 無法確定正負(fù) 解析 選A 由f x 是定義在R上的奇函數(shù) 且當(dāng)x 0時(shí) f x 單調(diào)遞減 可知f x 是R上的單調(diào)遞減函數(shù) 由x1 x2 0 可知x1 x2 f x1 f x2 f x2 則f x1 f x2 0 故選A 2 2015 福州模擬 在數(shù)列 an 中 已知 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 解析 1 因?yàn)樗詳?shù)列 an 是首項(xiàng)為 公比為的等比數(shù)列 所以an n N 2 因?yàn)閎n 所以bn 所以b1 1 公差d 3 所以數(shù)列 bn 是首項(xiàng)b1 1 公差d 3的等差數(shù)列 3 2015 中山模擬 定義在x 0 1 上的函數(shù)f x 若x1 0 x2 0且x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱函數(shù)f x 為理想函數(shù) g x 2x 1 x 0 1 是否為理想函數(shù) 如果是 請(qǐng)予以證明 如果不是 請(qǐng)說明理由 解題提示 根據(jù)理想函數(shù)的定義加以判定證明 解析 g x 2x 1 x 0 1 是理想函數(shù) 當(dāng)x1 0 x2 0 且x1 x2 1時(shí) f x1 x2 f x1 f x2 所以f x1 x2 f x1 f x2 因?yàn)閤1 0 x2 0 所以 1 0 1 0 所以f x1 x2 f x1 f x2 0 則f x1 x2 f x1 f x2 故函數(shù)g x 2x 1 x 0 1 是理想函數(shù) 考點(diǎn)3反證法 典例4 2013 陜西高考 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 1 推導(dǎo) an 的前n項(xiàng)和公式 2 設(shè)q 1 證明數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 解題提示 推導(dǎo)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和公式要注意分情況討論 證明數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 一般要用反證法 規(guī)范解答 1 分兩種情況討論 當(dāng)q 1時(shí) 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為a1的常數(shù)數(shù)列 所以Sn a1 a1 a1 na1 當(dāng)q 1時(shí) Sn a1 a2 an 1 an qSn qa1 qa2 qan 1 qan 上面兩式錯(cuò)位相減 1 q Sn a1 a2 qa1 a3 qa2 an qan 1 qan a1 qan Sn 2 使用反證法 設(shè) an 是公比q 1的等比數(shù)列 假設(shè)數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列 則 a2 1 2 a1 1 a3 1 即 a1q 1 2 a1 1 a1q2 1 整理得a1 q 1 2 0得a1 0或q 1均與題設(shè)矛盾 故數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列 規(guī)律方法 反證法的適用范圍及證題的關(guān)鍵 1 適用范圍 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出現(xiàn)時(shí) 宜用反證法來證 2 關(guān)鍵 在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是與已知條件矛盾 與假設(shè)矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實(shí)矛盾等 推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的 變式訓(xùn)練 已知a b c是互不相等的實(shí)數(shù) 求證 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 證明 假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 即任何一條拋物線與x軸沒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 上述三個(gè)同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以a b c 這與題設(shè)a b c互不相等矛盾 因此假設(shè)不成立 從而原命題得證 規(guī)范解答9綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 典例 12分 2015 黃山模擬 1 設(shè)x 1 y 1 證明 2 設(shè)1 a b c 證明logab logbc logca logba logcb logac 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會(huì)規(guī)范 1 由于x 1 y 1 所以x y xy xy x y 1 y x xy 2 2分將上式中的右式減左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 5分既然x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 從而所要證明的不等式成立 6分 2 設(shè)logab x logbc y 由對(duì)數(shù)的換底公式得 8分于是 所要證明的不等式即為x y 10分其中x logab 1 y logbc 1 故由 1 可知所要證明的不等式成立 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭(zhēng)取滿分1 證明問題的常用思路 在解題時(shí) 常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用 先以分析法尋求解題思路 再用綜合法表述解答或證明過程 2 關(guān)鍵步驟要全面 證明數(shù)學(xué)問題時(shí) 一些關(guān)鍵的步驟必不可少 如果寫不全 會(huì)扣掉相應(yīng)的步驟分 如本例 1 中作差化簡(jiǎn)后的變形要徹底 2 中要注明x 1 y 1