《高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題6 第28練“空間角”攻略課件 理.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題6 第28練“空間角”攻略課件 理.ppt（87頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題6立體幾何與空間向量 第28練 空間角 攻略 題型分析 高考展望 空間角包括異面直線所成的角 線面角以及二面角 在高考中頻繁出現(xiàn) 也是高考立體幾何題目中的難點(diǎn)所在 掌握好本節(jié)內(nèi)容 首先要理解這些角的概念 其次要弄清這些角的范圍 最后再求解這些角 在未來(lái)的高考中 空間角將是高考考查的重點(diǎn) 借助向量求空間角 將是解決這類題目的主要方法 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一異面直線所成的角 題型二直線與平面所成的角 題型三二面角 ?？碱}型精析 題型一異面直線所成的角 例1在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD A1B1C1D1中 求異面直線BA1與AC所成的角 解方法一 因?yàn)锳B BC BB1 AB BB1 BC 所以異面直線BA1與AC所成的角為60 方法二連接A1C1 BC1 則由條件可知A1C1 AC 從而B(niǎo)A1與AC所成的角即為BA1與A1C1所成的角 由于該幾何體為邊長(zhǎng)為a的正方體 于是 A1BC1為正三角形 BA1C1 60 從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60 方法三由于該幾何體為正方體 所以DA DC DD1兩兩垂直且長(zhǎng)度均為a 于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)分別為x y z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 于是有A a 0 0 C 0 a 0 A1 a 0 a B a a 0 所以所求異面直線BA1與AC所成角為60 2 如果題目條件易建立空間坐標(biāo)系 可以借助空間向量來(lái)求異面直線所成角 設(shè)異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2所成的角 滿足cos cos m1 m2 變式訓(xùn)練1 2014 課標(biāo)全國(guó) 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分別是A1B1 A1C1的中點(diǎn) BC CA CC1 則BM與AN所成角的余弦值為 解析由于 BCA 90 三棱柱為直三棱柱 且BC CA CC1 可將三棱柱補(bǔ)成正方體 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2 則可得A 0 0 0 B 2 2 0 M 1 1 2 N 0 1 2 答案C 題型二直線與平面所成的角 例2 2015 課標(biāo)全國(guó) 如圖 長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點(diǎn)E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過(guò)點(diǎn)E F的平面 與此長(zhǎng)方體的面相交 交線圍成一個(gè)正方形 1 在圖中畫出這個(gè)正方形 不必說(shuō)明畫法和理由 解交線圍成的正方形EHGF如圖 2 求直線AF與平面 所成角的正弦值 解作EM AB 垂足為M 則AM A1E 4 EM AA1 8 因?yàn)镋HGF為正方形 所以EH EF BC 10 設(shè)n x y z 是平面EHGF的法向量 所以可取n 0 4 3 點(diǎn)評(píng) 1 求直線l與平面 所成的角 先確定l在 上的射影 在l上取點(diǎn)作 的垂線 或觀察原圖中是否存在這樣的線 或是否存在過(guò)l上一點(diǎn)與 垂直的面 2 找到線面角 作出說(shuō)明 并通過(guò)解三角形求之 3 利用向量求線面角 設(shè)直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 所成角 滿足sin cos m n 變式訓(xùn)練2如圖 已知四棱錐P ABCD的底面為等腰梯形 AB CD AC BD 垂足為H PH是四棱錐的高 E為AD的中點(diǎn) 1 證明 PE BC 證明以H為原點(diǎn) HA HB HP所在直線分別為x y z軸 線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則A 1 0 0 B 0 1 0 設(shè)C m 0 0 P 0 0 n m0 2 若 APB ADB 60 求直線PA與平面PEH所成角的正弦值 設(shè)n x y z 為平面PEH的法向量 題型三二面角 例3 2015 山東 如圖 在三棱臺(tái)DEFABC中 AB 2DE G H分別為AC BC的中點(diǎn) 1 求證 BD 平面FGH 證明如圖 連接DG CD 設(shè)CD GF O 連接OH 在三棱臺(tái)DEF ABC中 AB 2DE G為AC的中點(diǎn) 可得DF GC DF GC 所以四邊形DFCG為平行四邊形 則O為CD的中點(diǎn) 又H為BC的中點(diǎn) 所以O(shè)H BD 又OH 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 2 若CF 平面ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面FGH與平面ACFD所成的角 銳角 的大小 解方法一 設(shè)AB 2 則CF DE 1 在三棱臺(tái)DEF ABC中 G為AC的中點(diǎn) 又FC 平面ABC 所以DG 平面ABC 在 ABC中 由AB BC BAC 45 G是AC中點(diǎn) 所以AB BC GB GC 因此GB GC GD兩兩垂直 以G為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)n x y z 是平面FGH的一個(gè)法向量 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 方法二作HM AC于點(diǎn)M 作MN GF于點(diǎn)N 連接NH 設(shè)AB 2 由FC 平面ABC 得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH 所以 MNH即為所求的角 由HM 平面ACFD MN 平面ACFD 所以 MNH 60 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 點(diǎn)評(píng) 1 二面角的范圍是 0 解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求 作二面角的平面角常有三種方法 棱上一點(diǎn)雙垂線法 在棱上任取一點(diǎn) 過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線 這兩條射線所成的角 就是二面角的平面角 面上一點(diǎn)三垂線法 自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線 再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn) 即斜足 斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角 即為二面角的平面角 空間一點(diǎn)垂面法 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面 截二面角得兩條射線 這兩條射線所成的角就是二面角的平面角 2 用向量法求二面角的大小 如圖 1 AB CD是二面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線 則二面角的大小 2 如圖 2 3 n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 變式訓(xùn)練3 2015 安徽 如圖所示 在多面體A1B1D1 ABCD 四邊形AA1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 E為B1D1的中點(diǎn) 過(guò)A1 D E的平面交CD1于F 1 證明 EF B1C 證明由正方形的性質(zhì)可知A1B1 AB DC 且A1B1 AB DC 所以四邊形A1B1CD為平行四邊形 從而B(niǎo)1C A1D 又A1D 面A1DE B1C 面A1DE 于是B1C 面A1DE 又B1C 面B1CD1 面A1DE 面B1CD1 EF 所以EF B1C 2 求二面角E A1D B1的余弦值 解因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 所以AA1 AB AA1 AD AB AD且AA1 AB AD 以A為原點(diǎn) 分別以為x軸 y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 可得點(diǎn)的坐標(biāo)A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 D1 0 1 1 而E點(diǎn)為B1D1的中點(diǎn) 設(shè)面A1DE的法向量n1 r1 s1 t1 1 1 1 為其一組解 所以可取n1 1 1 1 設(shè)面A1B1CD的法向量n2 r2 s2 t2 高考題型精練 1 2015 浙江 如圖 已知 ABC D是AB的中點(diǎn) 沿直線CD將 ACD翻折成 A CD 所成二面角A CDB的平面角為 則 A A DB B A DB C A CB D A CB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析極限思想 若 則 A CB 排除D 若 0 如圖 則 A DB A CB都可以大于0 排除A C 故選B 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn) 則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)棱長(zhǎng)為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 n1 1 2 2 平面ABCD的一個(gè)法向量為n2 0 0 1 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 2014 大綱全國(guó) 已知二面角 l 為60 AB AB l A為垂足 CD C l ACD 135 則異面直線AB與CD所成角的余弦值為 解析方法一如圖 1 平移CD至AF 則 BAF為所求 作二面角 l 的平面角 BAE 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又 EAF 45 方法二如圖 2 設(shè)AB 2a 過(guò)點(diǎn)B作BB1 垂足為B1 作AD1 CD 則 BAD1即為所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 過(guò)點(diǎn)B1作B1D1 AD1于D1 連接AB1 BD1 則易知 BAB1為二面角的平面角 即 BAB1 60 在Rt BB1D1中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在 BAD1中 由余弦定理 得 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 4 2014 四川 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上 直線OP與平面A1BD所成的角為 則sin 的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析根據(jù)題意可知平面A1BD 平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O 所以過(guò)點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE 則PE 平面A1BD 所以 A1OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A1BD所成的角 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2 則根據(jù)圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 根據(jù)選項(xiàng)可知B正確 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 5 如圖所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 點(diǎn)E F分別是棱AB BB1的中點(diǎn) 則直線EF和BC1所成的角是 解析以BC為x軸 BA為y軸 BB1為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AB BC AA1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 則C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 EF和BC1所成的角為60 答案60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 6 正四棱錐S ABCD中 O為頂點(diǎn)在底面上的射影 P為側(cè)棱SD的中點(diǎn) 且SO OD 則直線BC與平面PAC所成的角是 解析如圖所示 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)OD SO OA OB OC a 設(shè)平面PAC的法向量為n 可求得n 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 直線BC與平面PAC所成的角為90 60 30 答案30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 7 2014 四川 三棱錐A BCD及其側(cè) 左 視圖 俯視圖如圖所示 設(shè)M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) P為線段BC上的點(diǎn) 且MN NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 證明 P是線段BC的中點(diǎn) 證明如圖 1 取BD的中點(diǎn)O 連接AO CO 圖 1 由側(cè)視圖及俯視圖知 ABD BCD均為正三角形 因此AO BD OC BD 因?yàn)锳O OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又因?yàn)锳C 平面AOC 所以BD AC 取BO的中點(diǎn)H 連接NH PH 又M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) 所以NH AO MN BD 因?yàn)锳O BD 所以NH BD 因?yàn)镸N NP 所以BD NP 因?yàn)镹H NP 平面NHP 且NH NP N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以BD 平面NHP 又因?yàn)镠P 平面NHP 所以BD HP 又OC BD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以HP OC 因?yàn)镠為BO中點(diǎn) 故P為BC中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角A NP M的余弦值 解方法一如圖 2 作NQ AC于Q 連接MQ 圖 2 由 1 知 NP AC 所以NQ NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因?yàn)镸N NP 所以 MNQ為二面角A NP M的一個(gè)平面角 由 1 知 ABD BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形 由俯視圖可知 AO 平面BCD 因?yàn)镺C 平面BCD 所以AO OC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 作BR AC于R 在 ABC中 AB BC 因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi) NQ AC BR AC 所以NQ BR 又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn) 所以Q為AR的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 圖 3 方法二由俯視圖及 1 可知 AO BCD 因?yàn)镺C OB 平面BCD 所以AO OC AO OB 又OC OB 所以直線OA OB OC兩兩垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因?yàn)镸 N分別為線段AD AB的中點(diǎn) 又由 1 知 P為線段BC的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n1 x1 y1 z1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量n2 x2 y2 z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 取z2 1 所以n2 0 1 1 設(shè)二面角A NP M的大小為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 8 2015 課標(biāo)全國(guó) 如圖 四邊形ABCD為菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn) BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 證明 平面AEC 平面AFC 證明連接BD 設(shè)BD AC G 連接EG FG EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在菱形ABCD中 不妨設(shè)GB 1 由BE 平面ABCD AB BC 可知AE EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 從而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因?yàn)镋G 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn) 當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí) 求線段BQ的長(zhǎng) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 因?yàn)锳D 平面PAB 高考題型精練 設(shè)平面PCD的法向量為m x y z 所以m 1 1 1 是平面PCD的一個(gè)法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 10 2015 北京 如圖 在四棱錐AEFCB中 AEF為等邊三角形 平面AEF 平面EFCB EF BC BC 4 EF 2a EBC FCB 60 O為EF的中點(diǎn) 1 求證 AO BE 證明因?yàn)?AEF是等邊三角形 O為EF的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以AO EF 又因?yàn)槠矫鍭EF 平面EFCB 平面AEF 平面EFCB EF AO 平面AEF 所以AO 平面EFCB 又BE 平面EFCB 所以AO BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角FAEB的余弦值 解取BC中點(diǎn)G 連接OG 由題設(shè)知EFCB是等腰梯形 所以O(shè)G EF 由 1 知AO 平面EFCB 又OG 平面EFCB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以O(shè)A OG 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面AEB的法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 平面AEF的一個(gè)法向量為p 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 若BE 平面AOC 求a的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10