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數(shù)學(xué)第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 理

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1、第第6節(jié)數(shù)學(xué)歸納法節(jié)數(shù)學(xué)歸納法最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理;2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)_時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理第一個(gè)值n0(n0N*)nk12.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2.推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè),否則不是數(shù)學(xué)歸納法.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”

2、)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”,驗(yàn)證n1時(shí),左邊式子應(yīng)為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.()(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由nk到nk1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).()解析對(duì)于(2),有些命題也可以直接證明;對(duì)于(3),數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè);對(duì)于(4),由nk到nk1,有可能增加不止一項(xiàng).答案(1)(2)(3)(4)解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形,故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.答案C答案D5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除”,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(

3、kN*)命題為真時(shí),進(jìn)而需證n_時(shí),命題亦真.解析由于步長(zhǎng)為2,所以2k1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k1.答案2k16.(2017寧波調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xnyn能被xy整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí),命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成_.解析因?yàn)閚為正偶數(shù),故第一個(gè)值n2,第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立,即n2k,故應(yīng)假設(shè)成x2ky2k能被xy整除.答案2x2ky2k能被xy整除考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí),左邊右邊,所以等式成立.規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.(2)由nk時(shí)等式成立,推

4、出nk1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫(xiě)出證明過(guò)程,不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.【訓(xùn)練1】 求證:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).證明(1)當(dāng)n1時(shí),等式左邊2,右邊2,故等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1),那么當(dāng)nk1時(shí),左邊(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1),所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)所有nN*等式成立

5、.考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】 (2017浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的nN*,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值;規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立,推證nk1時(shí)也成立,證明時(shí)用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.考點(diǎn)三歸納猜想證明規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題,其基本模式是“歸納猜想證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x),g(x)xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN*,求gn(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)nN*,猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小,并加以證明.

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