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立體幾何 第七章 第45講立體幾何中的向量方法 二 求空間角和距離 欄目導航 1 兩條異面直線所成角的求法設a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 A 30 60 5 P是二面角 AB 棱上一點 分別在平面 上引射線PM PN 如果 BPM BPN 45 MPN 60 那么二面角 AB 的大小為 90 用向量法求異面直線所成角的一般步驟 1 選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系 2 確定異面直線上兩個點的坐標 從而確定異面直線的方向向量 3 利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值 4 兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對值 一求異面直線所成的角 二求直線與平面所成的角 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量 轉化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所成的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 例2 如圖 長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過點E F的平面 與此長方體的底面相交 交線圍成一個正方形 1 在圖中畫出這個正方形 不必說明畫法和理由 2 求直線AF與平面 所成角的正弦值 三求二面角 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在面的法向量 然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 B 1 證明 直線CE 平面PAB 2 點M在棱PC上 且直線BM與底面ABCD所成角為45 求二面角M AB D的余弦值 四求空間距離 求點面距一般有以下三種方法 作點到面的垂線 點到垂足的距離即為點到平面的距離 等體積法 向量法 其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便 1 如右圖所示正方體ABCD A B C D 已知點H在A B C D 的對角線B D 上 HDA 60 求DH與CC 所成角的大小 解析如圖所示 以D為原點 DA為單位長度 建立空間直角坐標系Dxyz 2 2017 山東模擬 如圖 在直棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD BC BAD 90 AC BD BC 1 AD AA1 3 1 證明 AC B1D 2 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值 4 如圖所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點 且PB1 平面BDA1 1 求證 CD C1D 2 求二面角A A1D B的平面角的余弦值 3 求點C到平面B1DP的距離 易錯點混淆向量的夾角與直線平面兩元素的夾角的概念 當圖形不能確定時 要根據(jù)向量的坐標在圖形中觀察向量的方向 從而確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 一個平面的法向量指向二面角的內部 另一個平面的法向量指向二面角的外部如圖 還是互補 兩個法向量同時指向二面角的內部或外部如圖 這是利用向量法求二面角的難點 也是易錯點 例1 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 點E為棱PC的中點 1 證明 BE DC 2 求直線BE與平面PBD所成角的正弦值 3 若F為棱PC上一點 滿足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 跟蹤訓練1 如圖 四邊形ABCD和ADPQ均為正方形 它們所在的平面互相垂直 動點M在線段PQ上 E F分別為AB BC的中點 設異面直線EM與AF所成的角為 則cos 的最大值為