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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第九章歐氏空間習(xí)題 一、填空題 1．設(shè)是一個歐氏空間，，若對任意，都有，則。 2．在維歐氏空間中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是，那么，。 3．若是一個正交矩陣，則方程組的解為 。 4.已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長度為　　　　　　　。 5.設(shè)中的內(nèi)積為，則在此內(nèi)積之下的度量矩陣為 　　　。 6．設(shè)，，，若與正交，則 。 7．若歐氏空間在某組基下的度量矩陣為，某向量在此組基下的坐標(biāo)為,則它的長度為 ，在此基下向量與向量的夾角為

2、 。 8．在歐氏空間中，若線性相關(guān)，且，則 。 9．是度量陣，則必須滿足條件______________。 10．線性空間在不同基下的過渡陣、線性變換在某組基下的矩陣、歐氏空間的度量陣這三類矩陣中，可以為退化陣的是 。 11. 在歐氏空間中，向量，，那么=___________， =___________。 12. 兩個有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是__________________。 13. 已知是一個正交矩陣，那么=__________，＝__________。 14. 已知為階正交陣，且，則= 。

3、 15. 實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 的。 16.設(shè)，則與的夾角 。 17.在維歐氏空間中，級矩陣是某個基的度量矩陣的充要條件是 。 二、判斷題 1．在實(shí)線性空間中，對向量，，定義，那么構(gòu)成歐氏空間 （ ） 2．在實(shí)線性空間中，對于向量，，定義，則構(gòu)成歐氏空間。 （ ） 3．是歐氏空間的一組基，對于中任意向量，均有，（，分別是在此基下的坐標(biāo)）），則此基必為標(biāo)準(zhǔn)正

4、交基。 （ ） 4．歐氏空間中的線性變換可以將橢圓映射成圓。 （ ） 5．V與W均歐氏空間且同構(gòu)，則它們作為線性空間也必同構(gòu)。 ( ) 6．設(shè)是一個歐氏空間，，，則與正交。（） 7．設(shè)是一個歐氏空間，,并且，則線性無關(guān)。（ ） 8．若都是歐氏空間的對稱變換，則也是對稱變換。 （ ） 9．歐氏空間中，為對稱變換。 （ ） 10．是歐氏空間的線性變換，中向量的夾角為，而的夾角為，則不是的正交變換。 （

5、 ） 11.是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。( ) 12. 歐氏空間中任意一個正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基 （ ） 13. 若是正交變換，則保持向量的內(nèi)積不變 （ ） 14. 正交矩陣的行列式等于1 （ ） 15. 歐氏空間上的線性變換是對稱變換的充要條件為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為實(shí)對稱矩陣。 （ ） 16. 設(shè)與都是階正交矩陣，則也是正交矩陣。（ ）

6、 17. 在歐氏空間中，若向量與自身正交，則。( ) 18. 設(shè)是維歐氏空間的正交變換，則在任意基下的矩陣是正交矩陣。( ) 19. 設(shè)是維歐氏空間的兩個正交子空間且，則。( ) 20. 實(shí)對稱矩陣的任意兩個特征向量都正交。( ) 三．選擇題 1．關(guān)于歐幾里得空間，下列說法正確的是 （ ） (A)任一線性空間都能適當(dāng)定義內(nèi)積成為歐幾里得空間； (B)歐幾里得空間未必是線性空間； (C)歐幾里得空間必為實(shí)數(shù)域上的線性空間； (D)歐幾里得空間可以為有理數(shù)域上的線性空間。 2． 設(shè)是相互正交的維實(shí)向量，

7、則下列各式中錯誤的是 （ ） （A） （B） (C) （D） 3． 對于階實(shí)對稱矩陣，以下結(jié)論正確的是 （ ） （A）一定有個不同的特征根；（B）存在正交矩陣，使成對角形； （C）它的特征根一定是整數(shù)；（D）屬于不同特征根的特征向量必線性無關(guān)，但不一定正交 4．設(shè)是維歐氏空間的對稱變換，則 （ ） （A）只有一組個兩兩正交的特征向量； （B）的特征向量彼此正交； （C）有個兩兩正交的特征向量； （D）有個兩兩正交的特征向量有個不同的特征根

8、。 5．，，定義：，則滿足下列何中情況可使作成歐氏空間 （ ） （A）； （B）是全不為零的實(shí)數(shù)； （C）都是大于零的實(shí)數(shù)； （D）全是不小于零的實(shí)數(shù) 6．，，為三階實(shí)方陣，定義，下列可使定義作為的內(nèi)積的矩陣是 （ ） （A）； （B）； （C）； （D）. 7．若歐氏空間的線性變換關(guān)于的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣為，則下列正確的是 （ ）

9、 （A）是對稱變換； （B）是對稱變換且是正交變換； （C）不是對稱變換； （D）是正交變換。 8．若是維歐氏空間的一個對稱變換，則下列成立的選項(xiàng)是 （ ） （A）關(guān)于的僅一個標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對稱矩陣； （B）關(guān)于的任意基的矩陣都是對稱矩陣； （C）關(guān)于的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣都是對稱矩陣； （D）關(guān)于的非標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣一定不是對稱矩陣。 9．若是維歐氏空間的對稱變換，則有 （ ） （A）一定有個兩兩不等的特征根； （B）一定有個特征根（

10、重根按重?cái)?shù)算）； （C）的特征根的個數(shù)； （D）無特征根。 10．，如下定義實(shí)數(shù)中做成內(nèi)積的是（） （A）； （B）； （C）； （D）. 11. 若線性變換與是（ ），則的象與核都是的不變子空間。 互逆的 可交換的 不等的 D. 不可換的 12. 設(shè)是維歐氏空間，那么中的元素具有如下性質(zhì)（ ） 若； 若； 若； D.若。 13. 歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是（ ） ；；； ；； ；；； D. ；；。 14. 設(shè)是歐氏空間的線性變換，那么是正交變換的必要非

11、充分條件是（ ） 保持非零向量的夾角； 保持內(nèi)積； 保持向量的長度； D. 把標(biāo)準(zhǔn)正交基映射為標(biāo)準(zhǔn)正交基。 15. 為階正交方陣，則 為可逆矩陣 B. 秩 C. D. 16. 下列說法正確的是( ) A. 實(shí)對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交; B. 實(shí)對稱矩陣的屬于相同特征值的特征向量必不正交; C. 實(shí)對稱矩陣的所有特征向量都正交; D. 以上都不對。 17. 維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基( ). A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。

12、18. 若是實(shí)正交陣，則下列說法不正確的是（ ）。 (A) 　(B) (C) 　　　 　(D)。 四、計(jì)算題 1．已知。求正交矩陣，使成對角形。 2．已知二次型，問 （1）為何值時二次型是正定的？ （2）取，用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。 3．已知二次型，通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+2y22+5y32，求及所用的正交變換的矩陣。(04xd2b) 4．設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，其特征值l1= -1, l2=l3=1，已知屬于l1的特征向量a1=(0,1,1)，求 A。計(jì)算04xd2b) 5．在[0,2π]上所有連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成的歐氏空

13、間中，判斷：對任意正整數(shù)n，集合 是否正交向量組。 6．歐氏空間中，定義內(nèi)積，求其在基（1，0），（0，1）下的度量陣。并求一組基，使得在此基下的矩陣為對角陣，且在此基下所有向量的長度不變。說明為什么對角陣不是單位矩陣。 7．將二次曲面通過正交變換和平移變成標(biāo)準(zhǔn)形式。 8．設(shè)歐氏空間的線性變換為問：是否為的對稱變換？若是，求出的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在這個基下的矩陣為對角形矩陣。 9. 把向量組，擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 10. 設(shè)為的基，且線性變換在此基下的矩陣為 （1）求的特征值與特征向量； （2）是否可以對角化？如果可以，求正

14、交矩陣使得為對角形． 五、證明題 1．設(shè)，為同級的正交矩陣，且，證明：． 2．設(shè)是歐氏空間的線性變換，且 證明：是的對稱變換。 3．證明：維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是，存在雙射，并且有． 4．設(shè)與為歐氏空間的兩組向量。證明:如果 ，, 則子空間與同構(gòu)。 5．證明:在一個歐氏空間里,對于任意向量,以下等式成立: (1)；(2) 在解析幾何里,等式(1)的幾何意義是什么? 6.設(shè)為歐氏空間的兩個對稱變換。證明: 也是V的對稱變換。 7．證明：實(shí)系數(shù)線性方程組，有解的充分且必要條件是向量與齊次線性方程組，的解空間正交。 8．設(shè)為實(shí)對稱矩陣，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大后，是正定矩陣。 9．設(shè)與是維歐氏空間的兩組向量，證明：存在正交變換，使得，()成立的充分必要條件是，。 專心---專注---專業(yè)