3 3.2 2.1 1對數(shù)及其運(yùn)算對數(shù)及其運(yùn)算一二三四一、對數(shù)的概念【問題思考】 1.你會求下列方程嗎?(1)2x=8;(2)2x=1;(3)3x=2.提示:(1)(2)易求,滿足2x=8的x=3;滿足2x=1的x=0;但滿足3x=2的x沒法立即寫出的,但根據(jù)前面所學(xué)零點及指數(shù)函數(shù)知識,可以確定方程3x=2存在唯一實根,但鑒于所學(xué)知識,現(xiàn)無法表示出來,因此需要引入本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的“對數(shù)”.一二三四2.填空.(1)一般地,對于指數(shù)式ab=N,我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN,即b=logaN(a0,且a1).其中,數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”;(2)以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù),即log10N,記作lg N;(3)以無理數(shù)e(e=2.718 28)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),即logeN,記作ln N;一二三四3.為什么規(guī)定在對數(shù)logaN中,a0,且a1呢? (2)當(dāng)a=0,N0時,不存在實數(shù)x使ax=N成立,無法定義logaN.當(dāng)a=0,N=0時,任意非零正實數(shù)x,有ax=N成立,logaN不確定.(3)當(dāng)a=1,N1時,不存在實數(shù)x,使ax=N,logaN無意義.當(dāng)a=1,N=1時,ax=N恒成立,logaN不能確定.一二三四一二三四二、對數(shù)的性質(zhì)【問題思考】 1.為什么零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)?提示:因為x=logaN(a0,且a1)ax=N(a0,且a1),而當(dāng)a0,且a1時,ax恒大于0,即N0.故0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).2.填寫下表:3.做一做:使對數(shù)式log5(3-x)有意義的x的取值范圍是()A.x3B.x0D.x0)()答案:D 一二三四四、對數(shù)的換底公式【問題思考】 一二三四答案:D 思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)因為(-2)2=4,所以log-24=2. ()(2)log34與log43表示的含義相同. ()(3)0的對數(shù)是0. ()(4)lg N是自然對數(shù). ()(5)logaxlogay=loga(x+y). ()(6)loga(-3)2 018=2 018loga(-3). ()(7)logablogbclogca=1(a,b,c0且均不等于1). ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)探究一探究二探究三探究四思維辨析對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式與指數(shù)式的互化【例1】 完成下表指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)換.解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3;(2)log39=232=9;(3)log210=x2x=10;(4)e3=xlogex=3,即ln x=3.答案:(1)lg 1 000=3(2)32=9(3)2x=10(4)ln x=3探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟由對數(shù)的定義知,對數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關(guān)系的兩種不同表達(dá)形式,其關(guān)系如下表:探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.對數(shù)恒等式 的應(yīng)用(1)能直接應(yīng)用對數(shù)恒等式的求值.(2)對于不能直接應(yīng)用對數(shù)恒等式的情況按以下步驟求解. 2.利用對數(shù)的基本性質(zhì)求值時經(jīng)常用到兩個關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化(1)logax=1x=a(a0,且a1).(2)logax=0 x=1(a0,且a1).我們常用其來實現(xiàn)一些較復(fù)雜的指數(shù)式的轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2求下列各式的值: 探究一探究二探究三探究四思維辨析對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例3】化簡下列各式:分析:利用對數(shù)的運(yùn)算法則,將所給式子轉(zhuǎn)化為積、商、冪的對數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟?qū)?shù)運(yùn)算法則的使用技巧及注意事項1.“收”:同底的對數(shù)式中的對數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪等,然后化簡求值,如log24+log25=log220.2.“拆”:將式中真數(shù)的積、商、冪等運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則把它們化為對數(shù)的和、差、積、商,然后化簡求值,如 .3.各字母的取值范圍即字母的取值必須保證底數(shù)大于0且不等于1,真數(shù)大于0.4.注意“同底”這個化簡的方向,因為同底的對數(shù)才可能利用對數(shù)的運(yùn)算法則.5.要保證所得結(jié)果中的對數(shù)與化簡過程中的對數(shù)都有意義.6.不僅要會正向運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則,還要學(xué)會其“逆用”和“變形用”.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對數(shù)換底公式的應(yīng)用對數(shù)換底公式的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.應(yīng)用換底公式表示已知對數(shù)的兩個策略探究一探究二探究三探究四思維辨析2.利用換底公式進(jìn)行化簡求值的技巧及常見處理方式(1)技巧:“化異為同”,即將不同底的對數(shù)盡量化為同底的對數(shù)來計算.(2)常見的三種處理方式:借助運(yùn)算性質(zhì):先利用對數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算,最后再換成同底求解.借助換底公式:一次性地統(tǒng)一換為常用對數(shù)(或自然對數(shù)),再化簡、通分、求值.利用對數(shù)恒等式或常見結(jié)論:有時可熟記一些常見結(jié)論,這樣能夠提高解題效率.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析防范措施由對數(shù)的定義可知,對數(shù)logaN中a0,且a1,N0.因此我們在處理有關(guān)含有對數(shù)的方程或不等式等相關(guān)問題時,一定要充分考慮這些限定條件,否則會出現(xiàn)增解或使原表達(dá)式無意義等錯誤.探究一探究二探究三探究四思維辨析123451.已知3m=7,則有()A.3=log7mB.7=log3mC.m=log73D.m=log37解析:由于ax=Nx=logaN,則3m=7m=log37.答案:D61234562.有下列說法:任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式;以a(a0,且a1)為底1的對數(shù)等于0;以3為底9的對數(shù)等于2;其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析:正確,錯誤,如(-2)2=4,(-1)2=1等不能化成對數(shù)式;因為log39=log332=2,所以錯誤;因為log3(-5)無意義,所以錯誤.答案:A1234561234564.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是.解析:原方程可化為log3(x2-10)=log3(3x),所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.經(jīng)檢驗知x=5.答案:x=51234561234566.計算下列各式的值:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5;(2)(1-log63)2+log62log618log64.解:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2lg 10+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1.(2)(1-log63)2+log62log618log64=(log62)2+(log62)2+log622log632log62=log62+log63=1.