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第4講萬有引力與航天 知識脈絡梳理 規(guī)律方法導引 知識脈絡梳理 規(guī)律方法導引 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 天體運動問題常以選擇題的形式考查萬有引力定律及天體做勻速圓周運動的公式 例1把水星和金星繞太陽的運動視為勻速圓周運動 從水星與金星和太陽在一條直線上開始計時 若測得在相同時間內水星 金星轉過的角度分別為 1 2 均為銳角 則由此條件可求得水星和金星 A 質量之比B 繞太陽運動的軌道半徑之比C 繞太陽運動的動能之比D 受到太陽的引力之比 B 解析根據(jù)題述測得在相同時間內水星 金星轉過的角度分別為 1 2 可得二者繞太陽運動的周期之比 再根據(jù)開普勒第三定律可得二者繞太陽運動的軌道半徑之比 即二者到太陽的距離之比 選項B正確 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 思維導引 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 例2如圖所示 在同一軌道平面上的幾顆人造地球衛(wèi)星A B C繞地球做勻速圓周運動 某一時刻它們恰好在與地心連線的同一直線上 則下列說法正確的是 A 根據(jù)可知運行速度滿足關系vA vB vCB 運轉角速度滿足關系 A B CC 向心加速度滿足關系aA aB aCD 運行一周后 A最先回到圖示位置 C 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 思維導引 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 拓展訓練1利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星 可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通信 目前 地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6 6倍 假設地球的自轉周期變小 若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的 則地球自轉周期的最小值約為 A 1hB 4hC 8hD 16h B 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 解析 地球同步衛(wèi)星繞地球運動時 萬有引力提供向心力 即 的半徑r1 6 6R 周期是24h 當自轉周期最小時 同步衛(wèi)星的軌道半徑為2R 如圖所示 聯(lián)立解得地球自轉周期的最小值約為4h 根 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 中心天體質量和密度的估算以選擇題形式考查中心天體的質量和密度 常涉及數(shù)值 公式 的整體替代 例3若已知引力常量為G 月球繞地球做圓周運動的半徑為r1 周期為T1 嫦娥三號探月衛(wèi)星繞月球做圓周運動的環(huán)月軌道半徑為r2 周期為T2 不計其他天體的影響 則根據(jù)題目條件可以 A 求出地球的密度B 求出嫦娥三號探月衛(wèi)星的質量C 求出地球與月球之間的萬有引力 C 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 思維導引 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 2 由于環(huán)繞天體的質量m被約分 因此不能求出它的質量和密度 3 環(huán)繞天體的軌道半徑r等于中心天體的半徑R加上環(huán)繞天體離中心天體表面的高度h 即r R h 4 當環(huán)繞天體在中心天體表面附近繞行時 軌道半徑r R 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 拓展訓練2 2018 全國卷 2018年2月 我國500m口徑射電望遠鏡 天眼 發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星 J0318 0253 其自轉周期T 5 19ms 假設星體為質量均勻分布的球體 已知引力常量為6 67 10 11N m2 kg2 以周期T穩(wěn)定自轉的星體的密度最小值約為 A 5 109kg m3B 5 1012kg m3C 5 1015kg m3D 5 1018kg m3 C 解析 設星體 赤道 表面上有一質量為m的物體 當其剛好不脫離星體時 星體的體積最大 密度最小 其所受萬有引力提供物體隨星 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 航天器的運行及變軌問題常以選擇題形式考查航天器的加速 減速運動 有時結合能量問題一起出題 例4 多選 地球赤道上的重力加速度為g 物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a 衛(wèi)星甲 乙 丙在如圖所示三個橢圓軌道上繞地球運行 衛(wèi)星甲和乙的運行軌道在P點相切 下列說法正確的是 A 如果地球自轉的角速度突然變?yōu)樵瓉淼谋?那么赤道上的物體將會 飄 起來B 衛(wèi)星甲 乙經(jīng)過P點時的加速度大小相等C 衛(wèi)星甲的周期最大D 三個衛(wèi)星在遠地點的速度可能大于第一宇宙速度 BC 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 思維導引 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 1 當F供 F需時 天體在圓軌道上正常運行 2 當F供 F需時 天體做近心運動 3 當F供 F需時 天體做離心運動 2 對航天器的變軌問題 要抓住其在確定軌道上運行時機械能守恒 在不同軌道上運行時其機械能不同 軌道半徑越大機械能越大 3 航天器經(jīng)過同一點的加速度大小如何變化 可根據(jù)所受萬有引力的大小來確定 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 拓展訓練3由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上 同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉移軌道經(jīng)過調整再進入地球同步軌道 當衛(wèi)星在轉移軌道上飛經(jīng)赤道上空時 發(fā)動機點火 給衛(wèi)星一附加速度 使衛(wèi)星沿同步軌道運行 已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3 1 103m s 某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為1 55 103m s 此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同 轉移軌道和同步軌道的夾角為30 如圖所示 發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為 A 西偏北方向 1 9 103m sB 東偏南方向 1 9 103m sC 西偏北方向 2 7 103m sD 東偏南方向 2 7 103m s B 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 解析 設衛(wèi)星經(jīng)轉移軌道到達同步軌道時速度為v轉 在此處與發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的合速度等于同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度 如圖所示 由幾何關系知 解得v加 1 9 103m s 方向為東偏南 1 2 3 4 5 1 假設地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動 已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離 那么 A 地球公轉周期大于火星的公轉周期B 地球公轉的線速度小于火星公轉的線速度C 地球公轉的加速度小于火星公轉的加速度D 地球公轉的角速度大于火星公轉的角速度 D 解析 由太陽對行星的引力是行星圍繞太陽做勻速圓周運動的向心 星到太陽的距離大 故火星公轉的線速度小 角速度小 加速度小 周期大 也可簡記口訣 高軌低速大周期 D選項正確 1 2 3 4 5 2 假設地球可視為質量均勻分布的球體 已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0 在赤道的大小為g 地球自轉的周期為T 引力常量為G 地球的密度為 B 1 2 3 4 5 3 多選 2018 全國卷 2017年 人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波 根據(jù)科學家們復原的過程 在兩顆中子星合并前約100s時 它們相距約400km 繞二者連線上的某點每秒轉動12圈 將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體 由這些數(shù)據(jù) 引力常量并利用牛頓力學知識 可以估算出這一時刻兩顆中子星 A 質量之積B 質量之和C 速率之和D 各自的自轉角速度 BC 1 2 3 4 5 解析 設兩中子星質量為m1 m2 環(huán)繞半徑為r1 r2 兩星間距為r 所以有 設兩星速率分別為v1 v2 所以有v1 v2 r1 r2 r 故C項正確 1 2 3 4 5 4 多選 2017 全國卷 如圖所示 海王星繞太陽沿橢圓軌道運動 P為近日點 Q為遠日點 M N為軌道短軸的兩個端點 運行的周期為T0 若只考慮海王星和太陽之間的相互作用 則海王星在從P經(jīng)過M Q到N的運動過程中 A 從P到M所用的時間等于B 從Q到N階段 機械能逐漸變大C 從P到Q階段 速率逐漸變小D 從M到N階段 萬有引力對它先做負功后做正功 CD 1 2 3 4 5 解析 根據(jù)開普勒第二定律可知 海王星離太陽越近線速度越大 從P到Q的速率逐漸變小 所以從P到M經(jīng)歷的時間小于 故選項A錯誤 選項C正確 海王星繞太陽運動過程中只有引力做功 機械能守恒 故選項B錯誤 太陽對海王星的萬有引力沿兩星體的連線指向太陽 從M到N 海王星到太陽的距離先變大后變小 萬有引力對它先做負功后做正功 選項D正確 1 2 3 4 5 5 多選 2018 廣東東莞模擬 如圖所示 一顆在橢圓軌道 上運行的地球衛(wèi)星 通過軌道 上的近地點P時 短暫點火加速后進入同步轉移軌道 當衛(wèi)星到達同步轉移軌道 的遠地點Q時 再次變軌 進入同步軌道 下列說法正確的是 A 衛(wèi)星在軌道 的P點進入軌道 機械能增加B 衛(wèi)星在軌道 經(jīng)過Q點時和在軌道 經(jīng)過Q點時速度相同C 衛(wèi)星在軌道 經(jīng)過Q點時和在軌道 經(jīng)過Q點時加速度相同D 由于不同衛(wèi)星的質量不同 因此它們的同步軌道高度不同 AC 1 2 3 4 5 解析 衛(wèi)星在軌道 上通過點P時 點火加速 使其所需向心力大于萬有引力 做離心運動 才能進入軌道 所以衛(wèi)星在軌道 的P點進入軌道 機械能增加 選項A正確 假設衛(wèi)星從軌道 返回軌道 衛(wèi)星在軌道 經(jīng)過Q點時 點火減速 使其所需向心力小于萬有引力 做向心運動 才能進入軌道 所以衛(wèi)星在軌道 經(jīng)過Q點時和在軌道 經(jīng)過Q點時速度不同 選項B錯誤 衛(wèi)星在軌道 經(jīng)過Q點時和在軌道 經(jīng)過Q點時 所受萬有引力相同 根據(jù)牛頓第二定律 產(chǎn)生 天上公式和地面公式的靈活應用 典例示范 我國自主研制的月球車的落月點有一個富有詩意的名字 廣寒宮 若已知月球質量為m月 半徑為R 引力常量為G 下列說法正確的是 分析推理 1 月球 2 月球半徑 3 環(huán)繞半徑等于月球半徑時 思維流程 以題說法本題以 我國探月工程 為背景 考查學生對天體運動規(guī)律 人造衛(wèi)星問題的理解與應用 1 理解 一個定律 萬有引力定律 2 構建 兩大模型 天體公轉 模型 天體自轉 模型 繞通過自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉動的天體稱為 自轉 天體 3 注意 三個區(qū)別 中心天體和環(huán)繞天體的區(qū)別 自轉周期和公轉周期的區(qū)別 星球半徑和軌道半徑的區(qū)別 針對訓練 多選 我國發(fā)射的嫦娥三號登月探測器靠近月球后 先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行 然后經(jīng)過一系列過程 在離月面4m高處做一次懸停 可認為是相對于月球靜止 最后關閉發(fā)動機 探測器自由下落 已知探測器的質量約為1 3 103kg 地球質量約為月球的81倍 地球半徑約為月球的3 7倍 地球表面的重力加速度大小約為9 8m s2 則此探測器 A 在著陸前的瞬間 速度大小約為8 9m sB 懸停時受到的反沖作用力約為2 103NC 從離開近月圓軌道到著陸這段時間內 機械能守恒D 在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的線速度 BD