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不定積分的計(jì)算 一 第一換元積分法 二 第二換元積分法 三 分部積分法 1 問題 解決方法 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算 設(shè)置中間變量 過程 令 說明結(jié)果正確 一 第一換元積分法 2 該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明 這種積分方法也叫做 湊微分法 3 定理1 可導(dǎo) 則有換元公式 設(shè)f u 具有原函數(shù)F u u x 連續(xù) 如何應(yīng)用上述公式來求不定積分 則使用此公式的關(guān)鍵在于將 化為 的形式 假設(shè)要求 所以 第一類換元積分法也稱為湊微分法 4 例1求 解u 2x 1 du d 2x 1 2dx 則 想到公式 注意換回原變量 5 例2求 解 則 6 這種換元法又稱為湊微分法或配元法 即引進(jìn)一個(gè)新變量以代替原來的變量 對于變量代換熟練以后 可以不寫出中間變量u 例1求 解法二 7 例3求 一般地 有 8 例4求 類似 9 例5求 一般地 有 10 例6求 解 說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù) 如正弦函數(shù)和余弦函數(shù) 相乘時(shí) 拆開奇次項(xiàng)去湊微分 11 例7求 12 例8求 一般地 有 13 例9求 一般地 有 14 第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的 不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換 卻沒有一般的法則可循 這種方法的特點(diǎn)是湊微分 要掌握這種方法 需要熟記一些函數(shù)的微分公式 例如 等等 并善于根據(jù)這些微分公式 從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子 15 例10求 16 例11求 17 例12求 18 例13求 19 例14求 20 例15求 21 解 類似可得 例16 求 22 小結(jié) 積分常用技巧 1 分項(xiàng)積分 2 降低冪次 3 統(tǒng)一函數(shù) 利用三角公式 湊微分法 陪元方法 4 巧妙換元或配元 利用積化和差 分式分項(xiàng)等 利用倍角公式 如 23 作業(yè) P1551 1 18 24 二 第二換元積分法 若 則 若對結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算 則可知其正確性 25 例1求 則 于是 26 例2求 解 令 27 說明 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí) 可采用令 其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù) 例3求 解 令 28 三 分部積分法 由導(dǎo)數(shù)公式 積分得 分部積分公式 或 分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題的 29 例1 求 解 令 則 原式 分析 被積函數(shù)xlnx是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積 采用分部積分 30 例2求積分 解 一 令 顯然 選擇不當(dāng) 積分更難進(jìn)行 解 二 令 分析 被積函數(shù)xcosx是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積 采用分部積分 31 1 v要容易求出 容易積出 32 解題技巧 分部積分法求不定積分的關(guān)鍵是要確定u 由計(jì)算的經(jīng)驗(yàn) 可以得出以下順序 反 反三角函數(shù) 對 對數(shù)函數(shù) 冪 冪函數(shù) 指 指數(shù)函數(shù) 三 三角函數(shù) 當(dāng)兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時(shí) 按以上順序 排序在前的函數(shù)作為u 即把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 按 反對冪指三 的順序 前者為后者為 33 例3 求 解 令 則 原式 34 例4求 解設(shè)u arctanx v x 則 35 例5求 解設(shè)u lnx dv dx 則 36 例6求 設(shè)u x2 則du 2xdx v cosx 于是 解 37 例7求 上式最后一項(xiàng)正好是所求積分 移到等式左邊然后除以2 可知exsinx的一個(gè)原函數(shù)為 38 說明 分部積分題目的主要類型 1 直接分部化簡積分 2 分部產(chǎn)生循環(huán)式 由此解出積分式 注意 兩次分部選擇的u v函數(shù)類型要一致 解出積分后加C 39 不定積分計(jì)算練習(xí)題 40 41 例1求 解 令 則 故 原式 注意換回原變量 想到公式 42 例2求 解u 2x 1 du 2dx 則 想到公式 43 例3求 例4求 例5求 44 例6求 45 例7求 46 第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的 不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換 卻沒有一般的法則可循 這種方法的特點(diǎn)是湊微分 要掌握這種方法 需要熟記一些函數(shù)的微分公式 例如 等等 并善于根據(jù)這些微分公式 從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子 47