《高中數(shù)學講義微專題59新信息背景下的數(shù)列問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學講義微專題59新信息背景下的數(shù)列問題（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 微專題59 新信息背景下的數(shù)列問題 含“新信息”背景的數(shù)列問題，以其難度通常位于試卷的最后一題。此類問題有以下幾個難點：一是對于新的概念與規(guī)則，學生在處理時會有一個熟悉的過程，不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中，二是學生不易發(fā)現(xiàn)每一問所指向的知識點，傳統(tǒng)題目通常在問法上就直接表明該用哪些知識進行處理，例如“求通項，求和”。但新信息問題所問的因為與新信息相關(guān)，所以要運用的知識隱藏的較深，不易讓學生找到解題的方向。三是此類問題在設(shè)計時通常注重幾問之間的聯(lián)系，即前面問題的處理是為了最后一問做好鋪墊。但學生不易發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系，從而導致在處理最后一問時還要重整旗鼓，再加上可能要進行的分類討

2、論，解題難度陡然增加。本節(jié)通過10道例題來說明如何對這種“新信息”題目進行理解與分析，如何尋找到解題的突破口與思路 一、基礎(chǔ)知識： 1、此類問題常涉及的知識點 （1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式 （2）數(shù)列的單調(diào)性 （3）放縮法證明不等式 （4）簡單的有關(guān)整數(shù)的結(jié)論 （5）數(shù)學歸納法與反證法 2、解決此類問題的一些技巧： （1）此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進”的特點，第（1）問讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問便進行進一步的應用，那么在解題的過程中要注意解決前面一問中的過程與結(jié)論，因為這本身就是對“新信息”的詮釋與應用。抓住“新信息”的特點

3、，找到突破口，第（2）（3）問便可尋找到處理的思路 （2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項，求和”的風格不同，但其根基也是我們所學的一些基礎(chǔ)知識與方法。所以在考慮問題時也要向一些基本知識點靠攏，弄清本問所考察的與哪個知識點有關(guān)，以便找到一些線索。 （3）在分類討論時要遵循“先易后難”的原則，以相對簡單的情況入手，可能在解決的過程中會發(fā)現(xiàn)復雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復雜情況也有章可循。 二、典型例題： 例1：定義：若對任意，數(shù)列的前項和都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”；特別的，若存在，使得數(shù)列的前項和為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“部分平方數(shù)列”

4、（1）若數(shù)列為“部分平方數(shù)列”，且，求使數(shù)列的前項和為完全平方數(shù)時的值 （2）若數(shù)列的前項和，那么數(shù)列是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出的值；若不是，請說明理由 （3）試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列 解：（1）思路：依題意可知先求出的表達式，再根據(jù)表達式的特點尋找到完全平方式即可 時， 時， 時，是完全平方數(shù) （2）思路：若要觀察的前項和是否為完全平方數(shù)，則要先求出的通項公式。由可求得，因為為完全平方式，所以若有些項為中對應項的相反數(shù)，則再求和時很有可能不是完全平方數(shù)。根據(jù)時，，可知只有時，恒大于0，即，所以是“完全平方數(shù)列”；時，中存在部分項小于0，可知不是“完全平方數(shù)

5、列” 解：時， 時， 當，時， 的前項和即為，所以為“完全平方數(shù)列” 當時，不是完全平方數(shù) 不是“完全平方數(shù)列” 綜上所述：時，是“完全平方數(shù)列”，時，不是“完全平方數(shù)列” （3）思路：依題意可知該等差數(shù)列的前項和公式應為完全平方式，由等差數(shù)列求和公式 出發(fā)，可將其通過配方向完全平方式進行靠攏，可得：，所以有，再根據(jù)利用整數(shù)的特性求解即可。 解：設(shè)所求等差數(shù)列 的首項為，公差為 若為“完全平方數(shù)列” 則，為完全平方式 由①可令 由②令，可得： 代入到③可得： 或 當時， 當時，

6、 當時，符合上式 綜上所述， 例2：已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設(shè)，． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若，，求實數(shù)的最小值； （3）當時，給出一個新數(shù)列，其中設(shè)這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”．問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由． （1）思路：證明為等比數(shù)列，可以利用條件中的作為中間橋梁尋找的關(guān)系，則有，只需找到的關(guān)系，由及可得：，進而代入解出 解： 為公比是的等比數(shù)列 （2）思路：由（1）可解出，進而可求出，由可在的情況下得到關(guān)于的恒成立不等式

7、，從而通過參變分離可求出的范圍：，再驗證是否成立即可 解：由（1）可得： 時， 時， 即 當時，成立 （3）思路：時，可代入求出，從而，利用“指數(shù)型和”的定義，可先求出前項和，從而將問題轉(zhuǎn)化為可否寫成的形式，本題不便將變形為的形式，所以考慮利用等式轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題。即判斷是否有解。，為偶數(shù)時， 為奇數(shù)時，。而只是個2相乘，所以可通過對分解后的每個因式能否表示為的形式進行討論即可。 解：由（1）可得：當時， 當時， 時， 假設(shè)中的項存在“指數(shù)型和”，則 使得： 當為偶數(shù)時： 設(shè)，則 可解

8、得： ，即，為“指數(shù)型和” 當為奇數(shù)時， 若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù) 為奇數(shù)， 若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為個奇數(shù)之和也為奇數(shù) 當為奇數(shù)時，不存在“指數(shù)型和” 綜上所述：只有為“指數(shù)型和” 例3：如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項，則也是數(shù)列中的一項，那么就稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)” （1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值 （2）若有窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項和 （3）已知有窮等差數(shù)列的項數(shù)是，所有項之和是，試判斷數(shù)列是否為“兌換數(shù)列”？如果是，給予證明，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，

9、請說明理由 （1）思路：依照“兌換數(shù)列”的定義可知，應均在數(shù)列中，在第（1）問中涉及兩個變量，故考慮尋找兩個等量，通過方程解決。其最重要的等量關(guān)系就是找到是數(shù)列中的哪一項。通過排序可知，則通過不等式性質(zhì)可知：，此數(shù)列一共就4項且單調(diào)遞增，所以得，從而解得 解：由已知可得：在“兌換數(shù)列”中，且 也在該數(shù)列中，且 （2）思路：第（1）問提供了這樣一個思路：如果數(shù)列是有限數(shù)列且單調(diào)，則由對應生成的數(shù)列也單調(diào)，且單調(diào)性相反。由“兌換數(shù)列”的定義即可知兩個數(shù)列中項應存在相等關(guān)系。所以利用這個特征可知在中，由且能夠得到，即，根據(jù)首尾和是個常數(shù)的特點可知求和時使用倒序相加法即可得到 解

10、：不妨設(shè)有窮數(shù)列的項數(shù)為 為遞增數(shù)列 即 （3）思路：由（2）可得：若有窮單調(diào)數(shù)列 為“兌換數(shù)列”，則要滿足。那么在等差數(shù)列 中，有性質(zhì)當且僅當，所以就可得到：，且等差數(shù)列若不是常數(shù)列，則為單調(diào)數(shù)列。由這兩點并結(jié)合（2）的思路則可證明等差數(shù)列均為“兌換數(shù)列”，，再通過等差數(shù)列前項和公式即可解出 數(shù)列是“兌換數(shù)列”，證明如下： 設(shè)的公差為 若，則遞增 設(shè)，由可得： 同理，若，則遞減 若，則為常數(shù)列，只需即可，則 為“兌換數(shù)列” 由（2）可知： 例4：設(shè)數(shù)列滿足：①；②

11、所有項；③．[來 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3． （1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和； （3）若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和 （1）思路：首先要根據(jù)例子及定義理解什么是“伴隨數(shù)列”，“是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值”，則意味著每取一個值，則可通過解不等式得到的最大值即為，那么按此規(guī)律可知在（1）中，，，說明在中，小于等于3的只有1項，即，，則，所以，同理，

12、則 解： （2）思路：由（1）可知：伴隨數(shù)列中的項即為解不等式得到的最大值，本題已知，則可建立不等式，則對取每一個值，計算的最大值即可。例如，則；，則；以此類推便可尋找到規(guī)律，即時，，即，抓住這個規(guī)律即可得到的前30項，進而求和 若考慮解關(guān)于的不等式 當時， 當時， 當時， 當時， 的前30項和為 （3）思路：已知即可求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合（2）對“伴隨數(shù)列”定義的使用，即可建立不等式，從而可得到：，根據(jù)項的的特點可考慮以相鄰兩項為一組進行求和，則需對項數(shù)進行奇偶分類討論，進而得到 ，則 解關(guān)于的不等式

13、 時，即 當時，即 綜上所述： 例5：對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，定義變換：將“數(shù)列”中原有的每個1都變成，原有的每個0都變成.例如：，則，設(shè)是“數(shù)列”，令 （1）若數(shù)列，求數(shù)列 （2）若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至少有多少對？請說明理由 （3）若，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是的數(shù)對個數(shù)為，求關(guān)于的表達式 （1）思路：依題意可知變換的特點為1項分裂為2項，所以可將中的項兩兩一組，再根據(jù)規(guī)則即可還原為，照此方法即可得到 解：由變換的規(guī)則可知： （2）思路：首先可先觀察兩次變換的特點，可知，，發(fā)現(xiàn)無論是

14、從1開始還是從0開始，兩次變換后均可得到一對相鄰的數(shù)，且首尾也相同，這意味著若中若含相鄰的數(shù)，則兩次變換后這兩個數(shù)生成的數(shù)首尾也將連接成相鄰的數(shù)對，例如：。進而可知：共有10項，那么兩次變換后至少會有對，（例如當時） 若作兩次變換：， 中的每一項通過兩次變換均生成一對兩項相等的數(shù)對，所以至少有10對 （3）思路：依題意可將視為一個數(shù)列，則所求即為該數(shù)列的通項公式。由數(shù)列的知識可知，求通項公式常用的手段有三種：利用數(shù)列中的項尋找規(guī)律并證明；通過遞推公式；通過求和公式。所以若不愿列出具體項尋找規(guī)律，則需要先找到關(guān)于的一個遞推公式，即尋找第次變換與前幾次變換數(shù)對的聯(lián)系。由（2）可知，若產(chǎn)生數(shù)對

15、，則上一步只能為，所以數(shù)對的個數(shù)與上一步數(shù)對（記為）的個數(shù)相同。即，再考慮數(shù)對的來源，共有兩個，一個是由上一步的得到，一個是由上一步的得到 由變換的規(guī)則及（2）可知：中數(shù)對只能由中的數(shù)對生成，中的1共有個（因為每一次變換生成相同個數(shù)的，所以中含個1，個0），所以，聯(lián)立兩個等式可得：，消去即可得到關(guān)于的遞推公式，然后再求得的通項公式即可 解：設(shè)中有個數(shù)對 ① 另一方面：，且 中和的總個數(shù)相等 中項有個 中有個，有個 而中的數(shù)對從處只有兩條途徑能夠得到：一個是由中的得到（個），一個是由中的得到（個） ② 由①②可得： 由，可得： 當

16、為偶數(shù)時 當為奇數(shù)時： 綜上所述： 例6：已知數(shù)列是正整數(shù)的一個全排列，若對每個都有或，則稱為數(shù)列 （1）寫出滿足的所有數(shù)列 （2）寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式 （3）在數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：或 解：（1）或 （2）思路：中的項為的一個全排列，所以在構(gòu)造最好符合一定的規(guī)律，以便于寫出通項公式，由（1）的啟發(fā)可知的前5個數(shù)可為第（1）問中的一種情況，因為或，即只關(guān)心相鄰兩項的差，故可為的一個排列，且，這樣就保證了在第2組中，相鄰項的差均符合條件，只需驗證即可：以為例，則，可知符合題意。按此

17、規(guī)律構(gòu)造，5個數(shù)為一組，第組的數(shù)為第組對應的數(shù)加上5，從而得到 解：由（1）可知，記為的第一組數(shù) 考慮構(gòu)造數(shù)列滿足，則對任意的， 或 且當時， 符合要求 綜上所述： （3）思路：若的公差為，則，因為中相鄰項的差為，所以必然由若干個組成，但不會同時出現(xiàn)且不會同時出現(xiàn)（否則數(shù)列會出相同項，不符題意） 即可以寫成的形式，且，由此可解得，然后根據(jù)的取值分別進行驗證，看中的項是否在中（主要抓?。?，即可判斷出的值只能是 解：為等差數(shù)列 且由或，可得：或 且 ① 若，則 ，不符題意 ② 若，則 ，不符題意 ③ 若，則 當時，，不符題意 當時，

18、或，所以可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問中的結(jié)論） ④ 若，則，可得不符題意 ⑤ 若，則 當時，，不符題意 當時，同③可以找到這樣的使之成立（例如第（2）問中的結(jié)論） ⑥ 若，則 ，不符題意 綜上所述，若為等差數(shù)列，則或 例7：若有窮數(shù)列滿足：（1）；（2），則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列” （1）分別寫出一個單調(diào)遞增的“3階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列” （2）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式 （3）記“階非凡數(shù)列”的前項的和為，求證： ① ② 解：（1）3階非凡數(shù)列： 4階非凡數(shù)列： （2）思路：首先明確其通項公式

19、應該是關(guān)于和序數(shù)的表達式，要求得通項公式，關(guān)鍵要確定，因為非常數(shù)列的等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，所以由一方面利用等差數(shù)列性質(zhì)可得到，另一方面也可知該數(shù)列以為分界線，左右兩側(cè)分為正項與負項（與的符號有關(guān)），可分進行討論。當時，為遞增數(shù)列，從而可知為負項，為正項。再由可得，從而用可表示出，另一方面，進而均可用表示，所以可求得其通項公式。按同樣的方法可求出時的通項公式 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 即 當時，為遞增數(shù)列 ，且； 且 當時，為遞減數(shù)列，同理可得： ， 即 （3）①證明：當時， 當時， ②

20、 思路一：本題的難點在于不知中各項的符號，但從（1）（2）問可得到一個規(guī)律，任意“歸化數(shù)列”，其正項和為，負項和為，進而可以考慮在求和時正項一組，負項一組進行放縮。 解：依題意可得：中的項有正有負 設(shè)中的正項為，負項為，零項為 而（所有系數(shù)放大為1） （所有系數(shù)變?yōu)椋? 思路二：本題從通項公式入手，考慮，從而，合并同類項即可得到：，聯(lián)想到裂項相消，且由第①問可知，可利用放縮及絕對值不等式得到 解： ，且 即不等式得證 小煉有話說：（1）對于“新概念”的題目，要善于利用具體實例或

21、者前面的小問掌握其規(guī)律，為最后一問做準備。在本題中通過前兩問所總結(jié)出的“正項和為，負項和為”即為第三問的突破口 （2）從一個已知數(shù)列中抽出若干項形成新數(shù)列，要善于運用雙字母進行書寫?？蓞⒖急绢}中的寫法?？梢员硎境鲂聰?shù)列的項源自于的第幾項，而表示新數(shù)列中該項的序數(shù)。一種寫法，兩個含義均顯現(xiàn)其中。 例8：對于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項，把或（）作為新數(shù)列的第項，數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和． （1）寫出的所有可能值； （2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； （3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為 ． （1

22、）思路：由“生成數(shù)列”的定義可知的前三項可能的值為，進而通過不同的組合可求得 解：由已知可得：，且 可能的求和為： 可能的取值為 （2）思路：本題已知的表達式，可類比在數(shù)列中已知求數(shù)列通項的方式，得到，計算可得：，由為生成數(shù)列可得： ，通過合理組合即可得到：，從而得到通項公式 當時， 當時， 數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列 若，則以上各種組合中，只有 （3）思路：由生成數(shù)列的定義可知，所以其共計中情況。而觀察中元素的個數(shù)恰好也為個（從取到個），且本題無法一一計算出，故從可取的值的個數(shù)與元素個數(shù)相等作為突破口，若要證取值集合所給集合相

23、等，則可通過兩個步驟證明：一是證明的值一定都在中，可通過，其中為奇數(shù)可得，二是證明對于不同的生成數(shù)列，其和也必然不同（利用反證法），進而再利用可取的值的個數(shù)與的個數(shù)均為即可證明結(jié)論 共有種情況 ，即： ，可知為奇數(shù) 滿足且分子為奇數(shù)的共有種 共有種情況 只需證明兩個不同的生成數(shù)列，其和不同即可 設(shè)數(shù)列為兩個不同的生成數(shù)列，且和分別記為 則 為生成數(shù)列，所以 或 不同 ，使得 所以種不同的生成數(shù)列，其和共有種可能 只有種可能 ∴可能值必恰為，共個． 的所有可能值組成的集合為 例9：有限數(shù)列同時滿足下列兩個條件： ① 對于任意的

24、（），； ② 對于任意的（），，，三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項.[學 （1）若，且，，，，求的值； （2）證明：不可能是數(shù)列中的項； （3）求的最大值 解：（1）由①可知： 考慮，依題意三個數(shù)至少有一個在中 且 均不在中 （2）思路：本題并不容易去證明“不可能”，故考慮用反證法，先假設(shè)可能，再推出矛盾。若均在中，則中至少有一項在里，此時就會“創(chuàng)造出一項”位于中，進而可知這種“創(chuàng)造”是無休止的，所生成的新的項要大于之前的每一個數(shù)（數(shù)列遞增）那么以此類推下去，的項數(shù)會無限增加下去，與“為有限數(shù)列”矛盾。所以本題的證明可以以“為有限數(shù)列”為突破口，假定最

25、后的三項為，則，則比都大，那么只能為，即，同理對于，也可得到，從而推出，與數(shù)列遞增矛盾。所以不可能是數(shù)列中的項 解：（反證法）：假設(shè)是數(shù)列中的項 由②可知：6，10，15中至少有一個是數(shù)列中的項，則有限數(shù)列的最后一項，且. 由①，. 對于數(shù)，由②可知：；對于數(shù)，由②可知：. 所以 ，這與①矛盾. 所以 不可能是數(shù)列中的項. （3）思路：本題的主旨在于盡可能構(gòu)造項數(shù)多的，由（

26、2）的證明過程可提供一條線索，當大于1的項超過3項時，則不成立，所以可知中至多有3項，且這3項中兩項的乘積等于第三項。同時還可對其進行推廣得到中至多有3項，絕對值大于1；然后可將這種思路拓展至其它范圍，比如絕對值在0至1之間同理也至多只有3項。再補充上，所以的最大值為，可構(gòu)造為 解：的最大值為，證明如下： （1）令，則符合①、②. （2）設(shè)符合①、②，則： ① 中至多有三項，其絕對值大于1. 假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于1，不妨設(shè)，，，是中絕對值最大的四項，其中. 則對有，所以均不是數(shù)列中的項，即是數(shù)列中的項

27、 同理：也是數(shù)列中的項 但 ，與①矛盾 ②中至多有三項，其絕對值大于0且小于1. 假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于0且小于1，類似（?。┑贸雒? ③中至多有兩項絕對值等于1. ④中至多有一項等于0. 綜合①②③④可知中至多有9項. 由（1），（2）可得，的最大值為9. 例10：對于實數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實數(shù)稱為實數(shù)的小數(shù)部分，用記號表示，對于實數(shù)，無窮數(shù)列滿足如下條件： 其中. （1）若，求數(shù)列； （2）當時，對任意的，都有，求符合要求的實數(shù)構(gòu)成的集合． （3）若是有理數(shù)，設(shè) （是整數(shù)，是正整數(shù)，、互質(zhì)），問對于大于的任意正整數(shù)，是否都

28、有成立，并證明你的結(jié)論． （1）思路：按照題目規(guī)則可知即為的小數(shù)部分，所以只有確定介于哪兩個整數(shù)之間，才能夠求出。由得，，由得，進而發(fā)現(xiàn)，且計算的過程與計算相同，可猜想，考慮到可由求出，所以用數(shù)學歸納法即可證明 解： 猜想，下面用數(shù)學歸納法證明： 當時， 假設(shè)時，，則時 成立 （2）思路：由（1）的過程可知本題在計算各項時關(guān)鍵要把握住“”里面數(shù)的范圍， ，意味著故的范圍是本問的關(guān)鍵，由得，所以要對分為進行分類討論，從而確定的結(jié)果，得到關(guān)于的方程，求解即可 依題意可知 當時， ，解得： 當時， ，解得： 當時， ，解得：

29、綜上所述： （3）思路：因為，從而，所以也可寫成“”的形式，且，所以均可表示為的形式，依規(guī)則可知一旦，則后面的項均為0，所以要證明大于的任意正整數(shù)，，則需要在中尋找出得0的項。本題已知遞推公式，所以考慮以相鄰項的關(guān)系入手，即尋找與的關(guān)系，，確定的范圍是關(guān)鍵，對于且可知利用帶余除法得到，從而中，所以，再由即可得到，從而可知為遞減數(shù)列，且均為正整數(shù)。則有，此處便可發(fā)現(xiàn)突破口，小于的正整數(shù)共有個，但中小于的項共有個，則里面必含，即證明結(jié)論 解：該結(jié)論成立，證明如下： ，即，為正有理數(shù)或0 設(shè)，則有 ，即 若，則可知，所以當時，均有 若，可設(shè) ，依假設(shè)可知

30、 由可得： 為遞減數(shù)列，且 對于給定的，若均不為0， 則即小于的整數(shù)有個 但小于的正整數(shù)為共個，所以矛盾 中至少有一個為0，即存在，使得 從而 ，均有，即 三、歷年好題精選 1、(2016，北京西城一模)設(shè)數(shù)列和的項均為，則將數(shù)列和的距離定義為. （1）該出數(shù)列和數(shù)列的距離 （2）設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，和為中的兩個元素，且項數(shù)均為，若，，和的距離小于，求得最大值； （3）記是所有項數(shù)列或的集合，，且由任何兩個元素的距離大于或等于，證明：中的元素個數(shù)小于或等于. 2、已知數(shù)列滿足，且當時，，記． （1）寫出的所有可能的值； （2）求的

31、最大值 3、設(shè)數(shù)列共有項，記該數(shù)列前項中的最大項為，該數(shù)列后項中的最小項為，. （1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式； （3）試構(gòu)造一個數(shù)列，滿足，其中是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，使得對于任意給定的正整數(shù)，數(shù)列都是單調(diào)遞增的，并說明理由. 4、設(shè)是關(guān)于的次多項式，數(shù)列的首項，前項和為，對于任意的正整數(shù)都成立 （1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列 （2）試確定所有的自然數(shù)，使得能成等差數(shù)列 5、（2016，上海五校聯(lián)考） 數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列是“E數(shù)列” （1）數(shù)列的前項和，判斷數(shù)列是否

32、為“E數(shù)列”，并說明理由 （2）數(shù)列是等差數(shù)列，其首項，公差，若數(shù)列 是“E數(shù)列”，求的值 （3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“E數(shù)列”，使得成立 習題答案： 1、解析：（1）由公式可得： （2）由可得： 數(shù)列為周期是4的周期數(shù)列 中， 中， 由可知，越大，其距離越大 時， （3）證明，假設(shè)中的元素個數(shù)大于或等于17個 或 可能的組合為： 中的數(shù)列必有三個相同的 設(shè)這三個數(shù)列分別為： 其中 因為三個數(shù)列中每兩個的距離大于或等于3 所以

33、中，至少有3個成立 或 中必有一個成立 同理中必有一個成立，中必有一個成立 即“中至少有兩個成立”，或“中至少有兩個成立”中必有一個成立 和中必有一個成立，與題意矛盾 假設(shè)不成立 中的元素個數(shù)小于或等于16個 2、解:（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有： ； ；； ； 所以，的所有可能的值為：，，，，． （2）由， 可設(shè)，則或（，），因為，所以 ． 因為，所以，且為奇數(shù)，是由 個1和個構(gòu)成的數(shù)列． 所以 則當?shù)那绊椚?，后項取時最大， 此時． 證明如下：假設(shè)的前項中恰有項取，則 的后項中恰有項取，其中， ，，．

34、 ． 所以的最大值為． 3、解析：（1）單調(diào)遞增 （2）由題意可得：，由可得： 即單調(diào)遞增 ，所以 是公差為2的等差數(shù)列 （3）構(gòu)造數(shù)列，其中，可知是遞增數(shù)列 ， ，可知單調(diào)遞增，滿足題意 4、解析：（1）證明：若，則為常數(shù)，設(shè) 是公比為的等比數(shù)列 （2）解：若，由（1）可得不符題意，舍去 若，設(shè) 兩式相減可得： 若為首項是1，公差為的等差數(shù)列， 則 ，即為常數(shù)列 若，設(shè) 同理，若為首項是1，公差為的等差數(shù)列， 則 ，且 ，符合題意 時，存在為等差數(shù)列 當時，若為等差數(shù)列，則為不高于二次的多項式，所以 綜上所述：時，存在為等差數(shù)列 5、解析：（1）時， 時， 當時，，假設(shè)存在使得 則 不是“E數(shù)列” （2）由的條件可得： 為“E數(shù)列” （3）若等差數(shù)列（為常數(shù)） 則的前項和是該數(shù)列的第項 為“E數(shù)列” 對任意等差數(shù)列，設(shè) 則令 根據(jù)上式可知均為“E數(shù)列”，且 命題得證 - 35 - 版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)