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1、 第四章 隨機變量的數字特征 知道了隨機變量的概率分布也就知道了它的全部統(tǒng)計特性．然而，在許多實際問題中，隨機變量的概率分布往往不易求得，也有不少實際問題并不需要我們知道隨機變量的全部統(tǒng)計特性，而只需要知道它的某些主要統(tǒng)計特征．舉例：學生成績．首先要知道平均成績，其次又要注意各個學生的成績與平均成績的偏離程度. 平均成績越高，偏離程度越小，學生學習成績就越好。 我們把表示隨機變量某些特征的數值稱為隨機變量的數字特征，它們反映了隨機變量的某些本質屬性．許多重要的分布往往由這些數字特征唯一確定．本章主要介紹數學期望、方差、相關系數和矩． 第一節(jié) 數學期望 一 數學期望的定義 1

2、. 引例 設有十個數字1，1，2，2，2，3，3，3，3，4 以表示平均值，則有 又可以寫成。顯然，這里的實際上是數字1，2，3，4在這十個數字中所占的份額，我們可以稱之為這四個數字的“權重”，所以上式又可稱為是1，2，3，4這四個數字的加權平均數。再換一個角度，設想這是十張寫有數字的卡片，隨機從中取出一張，觀察到的數值為，則它是一個隨機變量，它的可能取值為1，2，3，4，而它的分布律為： 因此，實質上就是隨機變量的取值的平均數。受此問題的啟發(fā)，引出如下數學期望的定義. 2．數學期望（Mathematical expectation）或均值(Mean)的定義 1）[定義] 設

3、是離散型隨機變量，其概率函數為 如果級數絕對收斂，則定義的數學期望為 ； 2）[定義] 設為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對可積，則定義的數學期望為. 【注1】 數學期望即隨機變量的平均取值，它是所有可能取值以概率為權重的加“權”平均． 考察隨機變量的平均取值． 【注2】連續(xù)型隨機變量的數學期望和離散型隨機變量的數學期望的實質是相同的：相當于；相當于；相當于. 【注3】 物理解釋：數學期望——重心．設有總質量為的個質點構成的質點系，記點在軸上的坐標為，質量為，求該質點系的重心坐標. 解：記質點系的重心坐標為，于是，這里是在點處的質量占總質量的比重，因此是以為權的

4、加“權”平均． 例１ 甲、乙兩人作射擊比賽，命中環(huán)數分別為，它們的分布律分別為 問：哪一個射手的本領較好？ 解 （環(huán)） （環(huán)） 顯然,，因此甲比乙的本領要好些． 例2 設隨機變量X的密度函數為：，求． 解：. 二 隨機變量函數的數學期望　 1.[定義] 設為離散型隨機變量，其概率函數，為連續(xù)函數，且級數絕對收斂，則的函數的數學期望為 2．[定義] 設為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對收斂，則的函數的數學期望為：. 例3.設離散型隨機變量X的分布律如下，求：. X 0 1

5、 2 P 3/10 6/10 1/10 解：. 例4.設風速X是一個隨機變量，在[0，]上服從均勻分布，而飛機的兩機翼受到的壓力Y與風速X的平方成正比，即，，求：. 解：X的密度函數為，而，所以. 三 數學期望的性質 1. (其中c為常數)； 2. (其中c為常數)； 3. ； 4. 如果X與Y相互獨立，則. 例4. 若X的數學期望E（X）存在，求： 解： 第二節(jié) 方差與標準差 一 方差（Variance）與標準差(Standard deviation)的概念 1．方差與標準差的定義 [定義]

6、 設是隨機變量，若存在，則稱為的方差，記為或，即．隨機變量的標準差定義為方差的算術平方根，記為． 從定義中可清楚地看出：方差實際上是隨機變量X 的函數的數學期望，于是當為離散型隨機變量，其方差為 ； 當為連續(xù)型隨機變量，其方差為 . 【注1】方差描述的是隨機變量取值的波動程度，或隨機變量偏離均值的程度． 2.計算方差的簡便公式： 利用數學期望的性質，可以得到： .因此，方差的計算常常用簡便公式： 例1 設 ， 求： 解：=0； ；所以：. 二 方差的性質 1. (c是常數)； 2. (c是常數)； 3. (c是常數)； 4. 如果與

7、獨立，則 這個結論可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量的情況： 設相互獨立，則有. 例2.設兩個相互獨立的隨機變量與 ，它們的方差分別為4和2，求 解：. 例3. 隨機變量X有，且已知求 解：由 ∴，故：. 三 常用分布的數學期望與方差 分布名稱 數學期望 方差 0-1 分布 p p(1-p) 二項分布 np n p (1-p) 泊松分布π(l) l l 均勻分布 指數分布 Exp(l) 正態(tài)分布 N(m, s 2) m s 2 例4. 設隨機變量X在區(qū)間上服從均勻分布，求 解： ， ； ； ∴. 例5. 設隨機變

8、量X服從參數為的二項分布，求 解：由二項分布的定義可知：隨機變量X表示重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數，且在每次試驗中A發(fā)生的概率為. 現在引進隨機變量，表示在第次試驗中A發(fā)生；表示在第次試驗中A不發(fā)生，則.由于各次試驗的獨立性，且 ， 可得：，， ， 所以：； . 【注2】當直接求某個隨機變量的數學期望或方差有困難或計算麻煩時，一個較為有效的處理技巧是把它分解成若干容易求數學期望或方差的隨機變量的和，從而可以方便地求出該隨機變量的數學期望或方差。 四 切比雪夫（Chebyshev）不等式 [切比雪夫定理] 對于隨機變量，，，則對于任意>0， ， 或 ． ——切比雪

9、夫（Chebyshev）不等式 （證略） 【注2】 從定理中看出，越小，隨機變量取值于中的概率就越大，這就說明方差是一個反映隨機變量的概率分布對其分布中心()的集中程度的數量指標． 【注3】 利用切比雪夫不等式，可以在隨機變量的分布未知的情況下估算事件的概率(只不過精度太差)．切比雪夫不等式在理論上的意義更大一些. 例6.設隨機變量X的數學期望方差，若，求及. 解： 這說明：具有數學期望為0，方差為1.稱Y為X經標準化后的隨機變量. 例7. 設隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且，求 的數學期望和方差. 解： ； . 例8. 某批產品的次品率為0.04，試用切比雪夫

10、不等式估計15000件產品中，次品數在500～700件之間的概率. 解：設次品數為X，則X服從二項發(fā)布，所以； ，即，其中. 由切比雪夫不等式 可得： . * 第三節(jié) 矩、協(xié)方差及相關系數 一. 協(xié)方差(Covariance) 設為二維隨機變量，隨機變量的協(xié)方差定義為 ． 計算協(xié)方差常用下列公式： ． 當時，． 協(xié)方差具有下列性質： (1) (c是常數)； (2) ； (3) (是常數)； (4) 【注1】． 【注2】． 【注3】 二 相關系數(Correlation coefficient）． 隨機變量的相關系數定義為 相關系數反

11、映了隨機變量與之間線性關系的緊密程度，當越大，與之間的線性相關程度越密切，當時，稱與不相關． 相關系數具有下列性質： (1) ； (2) 的充要條件是，其中為常數； (3) 若隨機變量與相互獨立，則與不相關，即，但由不能推斷與獨立． (4) 下列5個命題是等價的： ． (i) ； (ii) ； (iii) ； (iv) )； (v) ． 利用協(xié)方差或相關系數可以計算 ． 【注4】的大小反映了與之間的線性關系． 若，則說與間正相關（，完全正相關）；

12、 若，則說與間負相關（，完全負相關）． 【注5】與不相關表示與之間不存在線性關系． 【注6】與不相關 ． 【注7】若與相互獨立，則與不相關．反之不然，反例見教材． 三 k階原點矩與k階中心矩 隨機變量的階原點矩定義為； 隨機變量的階中心矩定義為]； 隨機變量的階混合原點矩定義為； 隨機變量的階混合中心矩定義為． 一階原點矩是數學期望； 二階中心矩是方差D(X)； 二階混合中心矩為協(xié)方差. 思考題 ?。保O，求． 　２．設的密度函數為 記，求的數學期望 3. 一學徒工用車床接連加工10個零件，設第個零件報廢的概率為，求報廢零件個數的數學期望.