第第1515章章 軸對稱圖形與等腰三角形軸對稱圖形與等腰三角形15.4 15.4 角的平分線角的平分線第第1 1課時課時 角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)1課堂講解課堂講解u角的平分線的畫法角的平分線的畫法u角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)2課時流程課時流程逐點逐點導(dǎo)講練導(dǎo)講練課堂課堂小結(jié)小結(jié)作業(yè)作業(yè)提升提升1知識點知識點角的平分線的畫法角的平分線的畫法問題：問題：怎樣作出角的平分線？怎樣作出角的平分線？知知1 1導(dǎo)導(dǎo)知識點知識點角的平分線的畫法角的平分線的畫法1：通過折紙可以作出一個角的角平分線通過折紙可以作出一個角的角平分線. .在半透明紙上任畫在半透明紙上任畫一個角，請你用折疊的方法，找出角的平分線，如圖一個角，請你用折疊的方法，找出角的平分線，如圖. .知知1 1講講歸歸 納納知知1 1講講角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸. . （來自教材）（來自教材）知知1 1講講角的平分線的畫法角的平分線的畫法2：也可以用量角器來畫一個角的平分線也可以用量角器來畫一個角的平分線.角的平分線的畫法角的平分線的畫法3：下面介紹用尺規(guī)作圖的方法作出：下面介紹用尺規(guī)作圖的方法作出AOB的平分線（如圖）的平分線（如圖）.作法：作法：1.以以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA,OB于點于點M,N,如圖（如圖（1）.2.分別以點分別以點M,N為圓心，以大于為圓心，以大于 MN長為半徑長為半徑(為什么？）在角的內(nèi)為什么？）在角的內(nèi) 部畫弧交于點部畫弧交于點P,如圖（如圖（2）.3.作射線作射線OP,則則OP為所要求作的為所要求作的AOB的平分線，如圖（的平分線，如圖（3）.21知知1 1講講思考：思考：1.根據(jù)作圖，你能證明所作射線根據(jù)作圖，你能證明所作射線OP,就是就是AOB的平分線嗎？的平分線嗎？2.當(dāng)當(dāng)AOB的兩邊成一直線時（即的兩邊成一直線時（即AOB= 180），你會作），你會作 這個角的平分線嗎？這時的角平分線與直線這個角的平分線嗎？這時的角平分線與直線AB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？知知1 1講講拓展：過一點作已知直線的垂線：拓展：過一點作已知直線的垂線：1.經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線：經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線： 如圖所示，已知直線如圖所示，已知直線AB和和AB上一點上一點C，作，作AB的垂線，使它經(jīng)過點的垂線，使它經(jīng)過點C. 作法：如圖所示作法：如圖所示 第一步：作平角第一步：作平角ACB的平分線的平分線CF； 第二步：反向延長射線第二步：反向延長射線CF.直線直線CF就是所要求作的垂線就是所要求作的垂線知知1 1講講2經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線： 如圖所示，已知直線如圖所示，已知直線AB和和AB外一點外一點C， 作作AB的垂線，使它經(jīng)過點的垂線，使它經(jīng)過點C. 作法：如圖所示作法：如圖所示 第一步：以點第一步：以點C為圓心，作能與為圓心，作能與AB相交于相交于D 、 E兩點的??；兩點的?。?第二步：作第二步：作 DCE的平分線的平分線CF； 第三步：反向延長射線第三步：反向延長射線CF.則直線則直線CF就是所要求作的垂線就是所要求作的垂線知知1 1講講思考：思考：為什么這樣作出的直線為什么這樣作出的直線CF就是所求作的垂線？你能說說道理就是所求作的垂線？你能說說道理嗎？嗎？歸歸 納納知知1 1講講（來自（來自點撥點撥） 1.理論根據(jù)：作角平分線的理論根據(jù)是三角形全等的判理論根據(jù)：作角平分線的理論根據(jù)是三角形全等的判 定方法：定方法：“SSS” 拓展：根據(jù)角平分線的作法還可以作已知角的四等拓展：根據(jù)角平分線的作法還可以作已知角的四等 分線分線2.易錯警示：作角平分線的最后一步易錯警示：作角平分線的最后一步“過兩點作射線過兩點作射線” 時，不能簡單地敘述為時，不能簡單地敘述為“連接兩點連接兩點”，連接兩點是線，連接兩點是線 段，段，角平分線是射線角平分線是射線而不是線段而不是線段知知1 1講講 如圖所示，已知如圖所示，已知AOB， 求作：求作：AOM AOB. 導(dǎo)引：導(dǎo)引：要作射線要作射線OM，使，使AOM AOB， 可作可作 AOB的平分線的平分線 解：解：作法：作法：(1)以點以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點于點E，交，交OB于點于點F；(2)分別以點分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于為圓心，大于 EF的長為半徑畫弧，兩弧在的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部的內(nèi)部 交于點交于點C；(3)畫射線畫射線OC；(4)同理，作同理，作AOC的平分線的平分線OM. AOM即為所求即為所求(如圖所示如圖所示)41214121（來自（來自點撥點撥）例例1 總總 結(jié)結(jié)知知1 1講講（來自（來自點撥點撥） 作法中作法中“適當(dāng)長為半徑畫弧適當(dāng)長為半徑畫弧”的目的是為方便作的目的是為方便作圖，不能太大或太?。粓D，不能太大或太?。弧按笥诖笥?EF的長為半徑畫弧的長為半徑畫弧”是因為若以小于或等于是因為若以小于或等于 EF的長為半徑畫弧時，畫的長為半徑畫弧時，畫出的兩弧不能相交出的兩弧不能相交 21211在下面尺規(guī)作圖中，了解作圖道理，保留作圖痕跡，在下面尺規(guī)作圖中，了解作圖道理，保留作圖痕跡，不要求寫作法不要求寫作法. .已知一直角邊和斜邊作直角三角形已知一直角邊和斜邊作直角三角形. .知知1 1練練（來自教材）（來自教材）2作作AOB的平分線時，以的平分線時，以O(shè)為圓心，某一長度為半徑作弧，與為圓心，某一長度為半徑作弧，與OA，OB分別相交于分別相交于C，D，然后分別以，然后分別以C，D為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，使兩弧相交于一點，則這個適當(dāng)?shù)拈L度應(yīng)徑作弧，使兩弧相交于一點，則這個適當(dāng)?shù)拈L度應(yīng)()A大于大于 CD B等于等于 CDC小于小于 CD D以上答案都不對以上答案都不對(中考中考玉林玉林)根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結(jié)論：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結(jié)論： _，然后證明你的結(jié)論，然后證明你的結(jié)論(不要求寫不要求寫已知、求證已知、求證)知知1 1練練（來自（來自典中點典中點）32121214利用尺規(guī)作利用尺規(guī)作AOB的平分線的方法如下：如圖，以點的平分線的方法如下：如圖，以點O為圓心，為圓心，任意長為半徑畫弧，交任意長為半徑畫弧，交OA于點于點C，交，交OB于點于點D，再分別以點，再分別以點C，D為圓心，以大于為圓心，以大于 CD的長為半徑畫弧，兩弧在的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于點點P，作射線，作射線OP.此作法的依據(jù)是此作法的依據(jù)是()ASASBASA CAAS DSSS知知1 1練練（來自（來自點撥點撥）212知識點知識點角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)知知2 2導(dǎo)導(dǎo)思考：思考：如圖，如圖，OP是是AOB的平分線，的平分線，P是是OP上的任一點，過點上的任一點，過點P分別分別作作PCOA,PD OB,點點C,D是垂足是垂足.你能猜想你能猜想PC，PD長度間有長度間有什么關(guān)系嗎？證明你的猜想什么關(guān)系嗎？證明你的猜想.知知2 2講講下面我們給出上面下面我們給出上面“思考思考”中猜想結(jié)論的證明中猜想結(jié)論的證明.證明：證明：OP平分平分AOB，（已知），（已知） AOP=BOP.(角平分線定義）角平分線定義） 又又 PCOA，PD OB，（已知），（已知） PCO=PDO= 90.(垂直的定義）垂直的定義） 在在PCO 和和 PDO中，中， PCO PDO.(AAS) PC=PD.（來自教材）（來自教材） 公共邊）公共邊）已證已證已證）已證）( ,)( ,( ,OPOPPDOPCOBOPAOP知識點知識點知知2 2講講1.角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離距離相等相等 要點精析：要點精析：(1)點一定要在角平分線上；點一定要在角平分線上；(2)點到角兩邊的距離點到角兩邊的距離 是指點到角兩邊垂線段的長度；是指點到角兩邊垂線段的長度；(3)角平分線的性質(zhì)可用來證角平分線的性質(zhì)可用來證 明兩條線段相等明兩條線段相等2書寫格式：如圖，書寫格式：如圖，OP平分平分AOB， PDOA于點于點D，PEOB于點于點E, PDPE.3易錯提示：易找錯距離，誤以為角平分線上的點到角的兩易錯提示：易找錯距離，誤以為角平分線上的點到角的兩 邊的距離就是角平分線上的點與角兩邊上任意點間的距離邊的距離就是角平分線上的點與角兩邊上任意點間的距離知識點知識點知知2 2講講例例2 如圖，在如圖，在ABC中，中，C90，AD平分平分CAB， DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BEFC，求證：，求證：BDDF. 導(dǎo)引：導(dǎo)引：要證要證BDDF，可考慮證兩線段所在的，可考慮證兩線段所在的BDE和和 FDC全等，兩個三角形中已有一角和一邊相等，只全等，兩個三角形中已有一角和一邊相等，只 要再證要再證DECD即可，這可由即可，這可由AD平分平分CAB及垂直條件證得及垂直條件證得證明：證明：AD平分平分CAB，DEAB于于E，C90， DEDC，DEBC90. 在在BDE和和FDC中，中， BDE FDC, BDDF.（來自（來自點撥點撥） ,FCBECDEBCDED總總 結(jié)結(jié)知知2 2講講（來自（來自點撥點撥） 由角平分線的性質(zhì)不用證全等可以直接得線段由角平分線的性質(zhì)不用證全等可以直接得線段相等，這是證線段相等的一個簡捷方法相等，這是證線段相等的一個簡捷方法 知識點知識點知知2 2講講例例3 如圖，在如圖，在ABC中，中，C90，BCAC， AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于點于點E.若若AB10 cm， 求求DBE的周長的周長 導(dǎo)引：導(dǎo)引：要求要求DBE的周長，實質(zhì)是求的周長，實質(zhì)是求BEDEBD的長，而題中已知的長，而題中已知 AB10 cm，因此需證，因此需證DEBDAE，又，又AD是角平分線及垂直是角平分線及垂直 條件知條件知DECD，所以需證，所以需證BCAE，由，由BCAC，因此只需證，因此只需證 ACAE，它可由，它可由RtACD RtAED得出得出知識點知識點知知2 2講講解：解：AD平分平分CAB，且，且C90，DEAB， DCDE. 又又CDEA90，ADAD， RtACD RtAED， ACAE. 又又ACBC， ACAEBC. DEEBBDDCEBBDBCEBAEEBAB. 又又AB10 cm， DBE的周長為的周長為DBBEDE10 cm.（來自（來自點撥點撥）1 已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中，AB=AC,AD是是BAC的平的平分線，分線，DEAB，DF AC，垂足分別為點，垂足分別為點E，F(xiàn). 判斷下列結(jié)論是否正確：判斷下列結(jié)論是否正確： （1）DE=DF.（ ） （2）BD=CD.（ ） （3）AD上任一點到上任一點到AB,AC的距離相等的距離相等.( ) (4) AD 上任一點到點上任一點到點B,C距離相等距離相等.( )知知2 2練練（來自教材）（來自教材）2(中考中考茂名茂名)如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，的平分線，P是是OC上一點，上一點，PDOA于點于點D，PD6，則點，則點P到邊到邊OB的距離為的距離為()A6 B5 C4 D3如圖，在如圖，在ABC中，中，C90，ACBC，AD平分平分CAB交交BC于于D，DEAB于于E，若，若AB6 cm，則，則DBE的周長是的周長是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm知知2 2練練（來自（來自典中點典中點）34(中考中考湖州湖州)如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，CD是是AB邊上的高線，邊上的高線，BE平分平分ABC，交，交CD于點于點E，BC5，DE2，則，則BCE的面積等的面積等于于()A10 B7 C5 D4知知2 2練練（來自（來自典中點典中點）如圖，已知如圖，已知AC平分平分BAD，CEAB于于E，CFAD于于F，且，且BCCD.(1)求證：求證：BCE DCF；(2)若若AB15，AD7，求，求BE的長的長5（來自（來自點撥點撥）1.角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的角的平分線圖形結(jié)構(gòu)中的“兩種數(shù)量關(guān)系兩種數(shù)量關(guān)系”： 如圖，如圖，OC 平分平分AOB，點，點P在在OC上，上， PDOA，PEOB，DE交交OC于點于點F.(1)角的相等關(guān)系角的相等關(guān)系：AOCBOCPDF PEF；ODPOEPDFOEFO DFPEFPPDAPEB90；DPO EPOODFOEF.(2)線段的相等關(guān)系線段的相等關(guān)系：ODOE，DPEP，DFEF.2. 運用角的平分線的性質(zhì)解決與面積有關(guān)的問題的方法：運用角的平分線的性質(zhì)解決與面積有關(guān)的問題的方法： 首先運用三角形的面積公式將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)首先運用三角形的面積公式將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān) 系，再結(jié)合角的平分線的性質(zhì)進一步轉(zhuǎn)化為三角形邊長系，再結(jié)合角的平分線的性質(zhì)進一步轉(zhuǎn)化為三角形邊長 之間的關(guān)系，從而把兩者建立起關(guān)系，結(jié)合已知條件可之間的關(guān)系，從而把兩者建立起關(guān)系，結(jié)合已知條件可 解決問題解決問題3. 過角平分線上一點作垂線是解決有關(guān)角平分線問題最過角平分線上一點作垂線是解決有關(guān)角平分線問題最 常用的作輔助線的方法常用的作輔助線的方法