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1、第八章第八章 隨機(jī)積分隨機(jī)積分 Ito積分積分第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言第二節(jié)第二節(jié) Ito積分的理論積分的理論第三節(jié)第三節(jié) Ito積分的特征積分的特征第四節(jié)第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用定理及應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的更復(fù)雜情況下的Ito公式公式 第一節(jié)第一節(jié) 引引 言言一、一、 Ito積分的導(dǎo)出積分的導(dǎo)出 在物理現(xiàn)象中是用微分方程來(lái)描述其模型，而建立微分方程是從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)。并可根據(jù)微分與積分的關(guān)系，建立相應(yīng)的積分方程。 但在隨機(jī)環(huán)境中，由于不可預(yù)測(cè)的“消息”不斷出現(xiàn)，并且表示現(xiàn)象動(dòng)態(tài)性的等式是這些噪音的函數(shù)，這就無(wú)法定義一個(gè)有效的導(dǎo)數(shù)，建立一個(gè)微分方程。然而，在某些條件下可以定義一個(gè)積分

2、Ito積分，建立積分方程。首頁(yè)首頁(yè) 前面討論的隨機(jī)微分等式，其中的項(xiàng) 都只是近似討論，而沒(méi)給出精確的解釋。但如果給出Ito積分的定義，反過(guò)來(lái)才能更確切地討論。即若用微分方程代表資產(chǎn)價(jià)格 的動(dòng)態(tài)行為，那么能否對(duì)兩邊取積分，即,),(),(ttttdWtSdttSadStSutututudWuSduuSadS),(),(000也就是說(shuō)，是否等式右邊第二項(xiàng)的積分有意義？為解釋此項(xiàng)積分的含義，需引進(jìn)Ito積分ttdWdS、首頁(yè)首頁(yè)也就是說(shuō)，一旦定義Ito積分，則上積分等式才有意義即有其中h為一定的時(shí)間間隔。若則上等式改寫(xiě)為uhttuhttuthtdWuSduuSaSS),(),(httuthtttth

3、tdWtSdutSaSS),(),(即),(),(thtttthtWWtShtSaSS或ttttWtShtSaS),(),(這正是在固定間隔下的隨機(jī)微分方程表示式),(uSau和),(uSu是uS和 u 的平滑函數(shù)，即當(dāng)h很小，它們?cè)?httu內(nèi)變化都不大首頁(yè)首頁(yè)此表示式為一近似式，其精確公式為ttttdWtSdttSadS),(),(二、二、Ito積分的重要性積分的重要性首先隨機(jī)微分方程只能根據(jù)Ito積分方程來(lái)定義，要理解隨機(jī)微分方程的真正含義，必須首先理解Ito積分。其次在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，經(jīng)常先用固定的時(shí)間間隔，得出隨機(jī)微分方程的近似值，然后再通過(guò)Ito積分就可以給出近似值的精確形式。返回首

4、頁(yè)首頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) Ito積分的理論積分的理論Ito積分是用來(lái)定義隨時(shí)間的變化無(wú)法統(tǒng)計(jì)和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)增量的總和。布朗運(yùn)動(dòng)維納過(guò)程)(tW，0t0)(tWE),min(),(2tstsR|)()(2stsWtWVar如果11)(tW標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)/ )(tW一、一、Ito積分的定義積分的定義首頁(yè)首頁(yè)定義定義1滿(mǎn)足設(shè))(tX,bat 為二階矩過(guò)程，ba 0。)(tW是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)),min(),(tstsR|)()(stsWtWVar對(duì), ba的一組分點(diǎn)btttan10)(max11kknkntt作和式)()()(111kkknkntWtWtXI如果均方極限nIn nl.i.ml.i.m存在則稱(chēng)此

5、極限為)(tX關(guān)于)(tW的 Ito 積分，記為)()()(tWdtXIba首頁(yè)首頁(yè)注意在定義中不能按通常的黎曼積分那樣作和式原因是即所以這里取固定的左端點(diǎn)。)()()(11kkknkntWtWtXY,1kkkttt當(dāng)kt在,1kktt中任意選擇時(shí)，nY的均方極限將不存在定理定理1設(shè))(tX均方連續(xù)，且對(duì)任意kkttss121,及121ktss),(),(21sXsX)()(12sWsW與)()(1kktWtW相互獨(dú)立則)(tX關(guān)于)(tW的 Ito 積分存在且唯一首頁(yè)首頁(yè)定理定理2設(shè))(tW,0t是維納過(guò)程對(duì),ba的一組分點(diǎn)：btttan10)(max11kknkntt則n nl.i.ml.

6、i.m211)()(kknktWtW)(ab 證證令)()(1kkktWtWW1kkkttt則221)(abWEknk221)(kknktWE221)(kknktWE)( 22jjiijitWtWE)2(2241kkkknkttWWE首頁(yè)首頁(yè)因?yàn)?23(2221kkknkttt)2(2241kkkknktEtWEWE212knktknknt12)(2abn0n0), 0()(kktNtW4)(ktWE dxextktxk24221dxexttktxkk222232)(3kktWEt首頁(yè)首頁(yè)例例1解試求)()()(tWdtWIba對(duì),ba的一組分點(diǎn)：btttan10)(max11kknkntt)

7、()()(111kkknkntWtWtWI)()()(1002tWtWtW)()()(2112tWtWtW+)()()(112nnntWtWtW)(2102tW)()()(2211nkknktWtWtW)()(2122aWbW211)()(21kknktWtW故)()()(tWdtWIba)()(2122aWbWn nl l. .i i. .m m21211)()(kknktWtW)()(2122aWbW)(21ab首頁(yè)首頁(yè)注表明Ito隨機(jī)積分不同于黎曼積分二、二、Ito積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1則因?yàn)槿绻?(tW是普通函數(shù)，積分不能有)(21ab若 Ito 積分)()(tWdtXba，)

8、()(tWdtYba存在（1）)()()(tWdtYtXba)()(tWdtXba)()(tWdtYba（2）)()(tWdtXba)()(tWdtXca)()(tWdtXbcbca證明證明與黎曼積分相仿（略）首頁(yè)首頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)2則證明證明設(shè)維納過(guò)程)()()(sWdsXtYta，)(tY的均值和相關(guān)函數(shù)為0)(tYE),min(022121)(),(ttYdssXttR略首頁(yè)首頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)3則存在且關(guān)于t是均方連續(xù)的。證明證明若)()(tWdtXba存在，)()()(sWdsXtYtabta)()(2tYhtYE2)()(sWdsXEhttsdsXEhtt)(20（0h）故)(tY關(guān)于 t 是均

9、方連續(xù)首頁(yè)首頁(yè)三、三、Ito微分法則微分法則)()()()()(sWdsBdssAaXtXtata其中)(sA為二階矩過(guò)程且均方可積,設(shè)二階矩過(guò)程)(tX (bta)滿(mǎn)足)(sB滿(mǎn)足定理 1 的條件則第二個(gè)積分作為Ito積分存在，且)(aX與)(tW,at 相互獨(dú)立（1）這時(shí)稱(chēng)(1)式定義的隨機(jī)過(guò)程 有(Ito)隨機(jī)微分)(tX)()()(tdWtBdttA并記為)()()()(tdWtBdttAtdX首頁(yè)首頁(yè)例例2求隨機(jī)微分解解由例可知)(2tWd)()(0tWdtWtttW21)(212即ttW)(2)()(20tWdtWt由隨機(jī)微分的定義)()(2)(2tdWtWdttWd首頁(yè)首頁(yè)定理定

10、理3Ito公式公式的二次微分函數(shù)，則設(shè))(,(tXtf是關(guān)于 t 和隨機(jī)過(guò)程)(tX,Tt 若)(tX的隨機(jī)微分是)()()()(tdWtBdttAtdX)(,()(tXtftY在上也有隨機(jī)微分，且)()(,()(,()(tAtXtftXtftdYXtdttBtXtfXX)()(,(212 )()()(,(tdWtBtXtfX首頁(yè)首頁(yè)例例3求隨機(jī)微分解解設(shè)因?yàn)樗杂蒊to公式得)(2ttWd)()(,(2ttWtXtf)()(10)(tdWtdWdttdX)(2ttWddtttW)(2)()(2tdWttW)()(,(2tWtXtft)(2)(,(ttWtXtfXttXtfXX2)(,( 首頁(yè)

11、首頁(yè)定理定理4設(shè)普通函數(shù)),(),(21mxxxtFxtF及其導(dǎo)數(shù)),(),(),(212100mmxxxtFtxxxtFxtF),(),(),(2121mimiixxxtFxxxxtFxtF),(),(),(21221mjimijijxxxtFxxxxxtFxtFmji, 1,都是連續(xù)函數(shù)如果隨機(jī)過(guò)程 有隨機(jī)微分)(tXi)()()()(tdWtBdttAtdXiii則)(,),(),(,()(,()(21tXtXtXtFtXtFtYm有隨機(jī)微分首頁(yè)首頁(yè)miiitAtXtFtXtFtdY10)()(,()(,()(dttBtBtXtFmjijiij1,)()()(,(21)()()(,(1t

12、dWtBtXtFmiii注是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)轿⒎址▌t在隨機(jī)微分中的表現(xiàn)，稱(chēng)為Ito公式公式首頁(yè)首頁(yè)四、四、Ito隨機(jī)微分方程隨機(jī)微分方程則在Ito積分和微分的基礎(chǔ)上建立的隨機(jī)微分方程稱(chēng)為Ito隨機(jī)微分方程設(shè))(tW,Tt 是布朗運(yùn)動(dòng)，00)()()(,()(,()(XtXtdWtXtgdttXtftdX與Ito隨機(jī)微分方程等價(jià)的Ito隨機(jī)積分方程隨機(jī)積分方程ttttsdWsXsgdssXsfXtX00)()(,()(,()(0其中右邊第一個(gè)積分是均值積分，第二個(gè)積分是Ito積分首頁(yè)首頁(yè)例例4考慮Ito方程1)0()()()(21)(XtdWtXdttXtdX 取xxtfln),(由Ito公式得)(

13、,(tXtdfdttXtXtXtX)()(121)()21()(122)()()(1tdWtXtX即)()(lntdWdttXd所以)()(lntWttX即)(exp)(tWttX注將 看作普通函數(shù)，則解為)(tW)(21exp)(tWttX返回首頁(yè)首頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) Ito積分的特征積分的特征資產(chǎn)價(jià)格理論意義下Ito積分tTtdWtS),(0 其中 在信息集 下是非預(yù)期的),(tSt一、一、Ito積分是鞅積分是鞅在間隔 內(nèi)影響資產(chǎn)價(jià)格不可預(yù)測(cè)的干擾總和可表示為uttudWtI則此Ito積分就是鞅。因?yàn)槭醉?yè)首頁(yè)給定時(shí)間t的信息集 ，如果每個(gè)增量是不可預(yù)測(cè)的，則這些增量的總和也是不可預(yù)測(cè)的，即 于

14、是故Ito積分 是鞅。0ttuutdWEtuusdWE0stsuuuusdWdWE0suudW00stsuusuusdWEdWEts 0utudW0首頁(yè)首頁(yè)下面考慮兩種有意思的情況：1第一種情況第一種情況假設(shè)方差),(tSt是獨(dú)立于資產(chǎn)價(jià)格tS和時(shí)間t的常數(shù)),(tSt此時(shí)Ito積分就等同于Riemann積分即有ttttuWWdW則tuttuudWdWdWE000即積分是鞅首頁(yè)首頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)榫S納過(guò)程的增量具有0均值且是非相關(guān)的，ttuudWdWE00故此積分是鞅00WWWWEtt00)(WWWWWWEtttt)(0WWttudW0注當(dāng) 是常數(shù)時(shí)，Riemann和Ito積分是相同的且都是鞅),(t

15、St首頁(yè)首頁(yè)2第二種情況第二種情況若此時(shí)Ito積分就不同于Riemann積分。Ito積分將保持鞅特性，而Riemman將不再具有鞅特性。例如如果衍生產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)具有幾何分布，其方差與tS有關(guān)，進(jìn)而也與tW有關(guān)，ttStS),(則可表明Ito積分就不同于Riemann積分。用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)Ito積分會(huì)導(dǎo)致自相矛盾，方法具體過(guò)程如下例：首頁(yè)首頁(yè)3一個(gè)例子一個(gè)例子其中偏移量和方差率分別為假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程即兩個(gè)參數(shù)都比例于資產(chǎn)價(jià)格考慮一個(gè)小時(shí)間間隔 ，對(duì)隨機(jī)微分方程積分ttttdWtSdttSadS),(),(ttStSa),(ttStS),(tSuttuttuttudWS

16、duSdS現(xiàn)在用Rieman求和來(lái)討論上式右邊的第二項(xiàng)積分的近似計(jì)算，看會(huì)有什么結(jié)果？首頁(yè)首頁(yè)Rieman求和的一種近似計(jì)算是用子間隔的中點(diǎn)處的維納過(guò)程測(cè)值來(lái)計(jì)算。首先計(jì)算然后再乘以矩形的底得)(2(ttttWWWWS)2(ttWWSttWW從而有0)(2(ttttWWWWSE兩項(xiàng)相關(guān)下面考慮上隨機(jī)微分方程的簡(jiǎn)單形式tttdWWdS則其新增項(xiàng)形式為uttudWW首頁(yè)首頁(yè)用Riemann求和來(lái)大致估計(jì)這樣一個(gè)積分，根據(jù)底和高為矩形的面積可得由于期望這意味著上式右邊的條件期望不為0，即是可預(yù)測(cè)的，ttttuttuWWWWdWW)2(| )(2(tttttWWWWWE| )(2122tttWWWE2

17、10)(2)(222tttttttWWWWWWW首頁(yè)首頁(yè)從而可知，用Riemann求和來(lái)估計(jì)Ito積分意味著新增干擾項(xiàng)有一個(gè)非零期望值，即但由于Ito積分存在條件： 即有00),(ttttdWtSE),(tSt的非預(yù)期性則Ito積分 的近似計(jì)算必須是)(,(tttWWtSttttdWtS),(其中),(tSt與增量tW不相關(guān)的矛盾0),(ttttdWtSE首頁(yè)首頁(yè)注如果被積函數(shù)不是非預(yù)期的，則不能保證用來(lái)構(gòu)建Ito積分的部分求和的均方值會(huì)收斂為一個(gè)有效的隨機(jī)變量，即Ito積分根本就不存在。二、路徑積分二、路徑積分考察在期間0，T內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格tSTtttn100間隔長(zhǎng)度為 ppSSiitt11以概

18、率以概率 nT分割：且有這個(gè)過(guò)程的一個(gè)通常路徑是由和組成的序列首頁(yè)首頁(yè) tTtdSSf0假設(shè)一個(gè)金融分析家要計(jì)算積分其有限求和形式為 )1110iiittnitnSSSfV（取特殊路徑,則)()(ffVn)()(ff顯然nV的值依靠tS的特定軌線(xiàn)如果nV收斂，就可叫做路徑積分但路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中并不一定收斂。如首頁(yè)首頁(yè)取符號(hào)函數(shù)則有即故此路徑積分在隨機(jī)過(guò)程中不收斂。)(11iiitttSSsignSfnVnin10T當(dāng)0時(shí)，nV會(huì)趨于無(wú)窮大注路徑積分意義在計(jì)算路徑積分時(shí)，沒(méi)有用到與 相聯(lián)系的概率，而是用實(shí)際測(cè)值來(lái)計(jì)算的。另一方面，Ito積分是用均方收斂值來(lái)計(jì)算并由隨機(jī)等式來(lái)決定。1itS非預(yù)

19、期重要性由于可預(yù)測(cè) 的符號(hào)，函數(shù)能“看到未來(lái)情況”，則求和公式中各部分都為正，當(dāng)n增加時(shí)， 就會(huì)發(fā)散。iittSS1)(fnV首頁(yè)首頁(yè)三、三、Ito積分存在性積分存在性隨機(jī)函數(shù)),(tSft的 Ito 積分utudSuSf0,存在的條件是)(f連續(xù)且非預(yù)期也就是說(shuō)10),(1nittitiiiSStSf的均方會(huì)收斂到某個(gè)稱(chēng)為Ito積分的隨機(jī)變量首頁(yè)首頁(yè)四、相關(guān)性四、相關(guān)性Ito積分是一隨機(jī)過(guò)程，因此它有各種不同的量一次量即0,0TttdWtWfE非預(yù)期函數(shù))(f關(guān)于維納過(guò)程tW的積分具有鞅特性二次量協(xié)方差duuWfEdWuWfEtuutu2020),(),(方差ttuuuudWuWgdWuWf

20、E00,),(duuWguWfEtuu0),(),(返回首頁(yè)首頁(yè)第四節(jié)第四節(jié) Ito定理及應(yīng)用定理及應(yīng)用在隨機(jī)環(huán)境中，導(dǎo)數(shù)的概念是不存在的，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)被認(rèn)為是不可預(yù)測(cè)的，且在連續(xù)時(shí)間內(nèi)變動(dòng)太不規(guī)則，導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格可能連續(xù)卻不光滑，必須用隨機(jī)微分來(lái)代替導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Ito規(guī)則給出了一個(gè)簡(jiǎn)化隨機(jī)微分的公式，并給出了詳細(xì)的計(jì)算。一、一、 導(dǎo)數(shù)類(lèi)型導(dǎo)數(shù)類(lèi)型 在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，所有變量都是確定型的，可以有三種類(lèi)型的導(dǎo)數(shù)：設(shè)),(tSFt是由變量tS和t決定的函數(shù)，tS是隨著t變化而變化的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。首頁(yè)首頁(yè)偏導(dǎo)數(shù)全微分鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)ttsStSFF,ttSFFtt,dtFdSFdFttstttstFdtdSF

21、dttSdF,導(dǎo)數(shù)在金融市場(chǎng)中作用偏導(dǎo)數(shù)為計(jì)算資產(chǎn)價(jià)格相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)因子的變化反應(yīng)提供了一個(gè)“乘數(shù)”。典型例子：是在計(jì)算套期保值參數(shù) 中用到偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)一個(gè)市場(chǎng)參與者知道 的函數(shù)形式，tSFt,偏導(dǎo)數(shù)sF衡量的是tS每變動(dòng)一單位衍生資產(chǎn)價(jià)格會(huì)變動(dòng)多少1則首頁(yè)首頁(yè)因此對(duì)維納過(guò)程定義一個(gè)關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不會(huì)有任何困難，但需要知道的不是 隨時(shí)間的變化，而是假定在時(shí)間固定情況下，它對(duì)的小變化有什么反應(yīng)。23),(tSFttS全微分是在假定時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格都發(fā)生變動(dòng)，而導(dǎo)致 的變化，其結(jié)果就是隨機(jī)微分。它代表了在時(shí)間間隔內(nèi)衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化，對(duì)市場(chǎng)交易者很有用。),(tSFt在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)表示一個(gè)

22、變量相對(duì)于初始變量經(jīng)過(guò)某些連鎖效應(yīng)的最終變化速率。在隨機(jī)計(jì)算中，鏈?zhǔn)綄?dǎo)數(shù)指的是隨機(jī)微分相互間的關(guān)系，也就是全微分的隨機(jī)形式。首頁(yè)首頁(yè)例例1設(shè)),(1trF是到期日為 T 的票據(jù)的價(jià)格，1r為固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利，且tTrttetrF100,則trrFFtTrtetT 100tFFttTrtter100trdFt, ttTrdretTt100dtertTrtt100注無(wú)論tr是確定性的還是隨機(jī)變量，偏導(dǎo)數(shù)不變但全微分同隨機(jī)事件的實(shí)際發(fā)生率有關(guān)，二者不同。上式給出的是對(duì) 為非隨機(jī)變量的情況。tr首頁(yè)首頁(yè)二、二、Ito定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用（一）Ito定理則有Ito公式可得設(shè)),(tSFt是關(guān)于t和隨

23、機(jī)過(guò)程tS的二次微分函數(shù)，ttttdWdtadStS具有正常的漂移和波動(dòng)參數(shù)ta和tttttttttdWSFdtSFtFaSFdF22221dtSFdttFdSSFdFttttt22221或首頁(yè)首頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明在分析金融衍生產(chǎn)品時(shí)，一旦知道標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)微分方程，運(yùn)用Ito公式就可得到金融衍生產(chǎn)品的隨機(jī)微分方程，即知道衍生資產(chǎn)價(jià)格的變化。例例2設(shè)標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程tW的函數(shù)2,ttWtWFttdWdtdW10求tdF解tttdWWdtdF2因故有Ito定理可得首頁(yè)首頁(yè)因此因此得到在信息集 下的 的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為即漂移率是常數(shù)，方差依賴(lài)于信息集。tWFt,例例3tI1,tIat 和ttW

24、tI2,tWtettWF 3,若tW為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程則有tWWtdWedtedFtt211此時(shí)此時(shí)得到在信息集 下的 的隨機(jī)微分方程，其偏移率和方差項(xiàng)為tWFt,tItWtetIa211,tWtetI,首頁(yè)首頁(yè)例例4計(jì)算Ito積分解解設(shè)stsdWW0221,ttWtWF對(duì)tWFt,運(yùn)用 Ito 定理得tttdWWdtdF21其相關(guān)積分等式ststtdWWdstWF0021,故tttsdstWFdWW0021,即tWdWWtts212120注這個(gè)結(jié)果與本章第二節(jié)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果相同，可作為計(jì)算作為計(jì)算Ito積分的工具。積分的工具。首頁(yè)首頁(yè)例例5計(jì)算積分解解定義定義tssdW0其中tW是一個(gè)維納過(guò)程t

25、ttWtWF,由Ito定理得ttttdWdtWdF其對(duì)應(yīng)的積分等式tststssdWdsWsWd000tsttsdsWtWsdW00故首頁(yè)首頁(yè)注注用Ito定理計(jì)算Ito積分的步驟123對(duì)新得到的隨機(jī)微分方程兩邊進(jìn)行積分處理，得到一個(gè)新的積分等式，該等式所包含的積分的計(jì)算要比原積分簡(jiǎn)單。寫(xiě)出函數(shù)tWFt,的形式根據(jù) Ito 定理得到tWFt,的隨機(jī)微分方程4重新排列積分等式各項(xiàng)，得到最終結(jié)果。首頁(yè)首頁(yè)（二）伊托定理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用（補(bǔ)充內(nèi)容） 現(xiàn)在以不支付股息的股票為例說(shuō)明伊托定理在遠(yuǎn)期合約領(lǐng)域中的應(yīng)用。 假定各個(gè)時(shí)期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r 等于常數(shù)，遠(yuǎn)期價(jià)格用F表示，則遠(yuǎn)期價(jià)格F與即期價(jià)格S之

26、間的關(guān)系可表示為 )(tTrSeF所以)(tTreSF022SF)(tTrrSetF首頁(yè)首頁(yè)如果股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且預(yù)期收益和波動(dòng)率分別是 和 ，即 那么由伊托公式可得遠(yuǎn)期價(jià)格F變化的隨機(jī)過(guò)程為 將 代入上式，得)(tTrSeFdWSedtrSeSedFtTrtTrtTr)()()(SdWSdtdSFdWFdtrdF)(可見(jiàn)，遠(yuǎn)期價(jià)格F與股票價(jià)格S一樣，也遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。但是，遠(yuǎn)期價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是 ，而不是 。r首頁(yè)首頁(yè)三、三、 Ito定理的積分形式定理的積分形式微分形式進(jìn)而可得Ito定理的另一特性：dtFdtFdSFtSdFtssttst221,utstussutdSFduF

27、FSFtSF0020210 ,duFFSFtSFdSFtussututs0200210 ,兩邊取積分，得積分形式該式說(shuō)明關(guān)于維納過(guò)程和其它連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的積分是用時(shí)間的積分函數(shù)表達(dá)出來(lái)的。注返回首頁(yè)首頁(yè)第五節(jié)第五節(jié) 更復(fù)雜情況下的更復(fù)雜情況下的Ito公式公式第一種是在某些條件下，函數(shù) 可能不只是依賴(lài)于單一隨機(jī)變量 ，這樣就要用到多變量的Ito公式。不能直接使用Ito公式的兩種情況：第二種考慮金融市場(chǎng)受到小概率事件影響，這樣需要對(duì)隨機(jī)微分方程加上跳躍過(guò)程來(lái)決定資產(chǎn)價(jià)格，相應(yīng)的Ito公式會(huì)改變很多。FtS首頁(yè)首頁(yè)一、多變量情況一、多變量情況設(shè) 為 兩個(gè)受維納過(guò)程影響的隨機(jī)過(guò)程)(),(21tSt

28、S tdWttdWtdttatdS21211111 tdWttdWtdttatdS22212122其中2 , 1,),(),(jittaiji為依賴(lài)于)(tSi的漂移和方差參數(shù)，)(),(21tWtW為兩個(gè)獨(dú)立的維納過(guò)程。設(shè)ttStSF),(),(21是)(),(21tStS的連續(xù)、二重微分函數(shù)則?tdF首頁(yè)首頁(yè) 是兩個(gè)獨(dú)立的維納過(guò)程的增量結(jié)果這個(gè)問(wèn)題可由下面Ito定理的多變量形式得到解決：由于2121dSFdSFdtFdFsstt2122212122212)()(21dSdSFdSFdSFssssss在單變量Ito定理中，等交叉項(xiàng)在均方意義下都等于0。2)(dt和)(1tdtdW、)(2td

29、tdW且)()(21tdWtdW若在一個(gè)固定的間隔內(nèi)，有 021tWtWE則在均方意義下，有 021tdWtdW首頁(yè)首頁(yè)由此可得 dttttdS21221121 dttttdS22222122 dttttttdStdS2212211121這些等式代入上式即得雙變量Ito公式首頁(yè)首頁(yè)例例1（金融衍生品）（金融衍生品） 在評(píng)價(jià)利率期權(quán)衍生品的價(jià)值時(shí)，收益曲線(xiàn)起到很大作用。 利率期權(quán)的模型之一是假設(shè)收益曲線(xiàn)依賴(lài)于兩個(gè)狀態(tài)變量，分別是短期利率 和長(zhǎng)期利率trtR則利率衍生品的價(jià)格就可表示為T(mén)ttRrFtt, 0,假定利率服從隨機(jī)微分方程 tdWttdWtdttadrt2121111 tdWttdWtd

30、ttadRt2221212其中，長(zhǎng)短期利率誤差項(xiàng)具有相關(guān)性，在固定間隔h內(nèi)，相關(guān)系數(shù)為 httttRrCorrtt22122111,首頁(yè)首頁(yè)市場(chǎng)參與者可通過(guò)參數(shù) 的選擇，由該等式得到長(zhǎng)短期利率的相關(guān)性和方差特性。在評(píng)估利率期權(quán)時(shí)，需要知道期權(quán)價(jià)格對(duì)收益曲線(xiàn)的變化 和 會(huì)怎樣變化，也就是要知道隨機(jī)微分 ，即有Ito公式的多變量形式可得)(tijtdrtdRtdFtRtrttdRFdrFdtFdFdtFFFrRRRrr22122111222221212211221首頁(yè)首頁(yè)例2 財(cái)富假設(shè)市場(chǎng)有n種資產(chǎn)，一個(gè)投資者以?xún)r(jià)格)(tPi購(gòu)買(mǎi)了)(tNi份第i種資產(chǎn)且)(tNi和)(tPi都是連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)

31、程， 都是受同一隨機(jī)變動(dòng)影響的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程)(tNi和)(tPi投資總價(jià)格可由財(cái)富函數(shù) 表示 tW tPtNtWinii1則由Ito定理可得隨著時(shí)間的變化而財(cái)富的增量 tdPtNtdWinii1 niiitdNtP1 tdPtdNinii1首頁(yè)首頁(yè)二、二、Ito公式和跳躍公式和跳躍假設(shè)觀測(cè)一個(gè)過(guò)程 ，它服從隨機(jī)微分方程：tStttttdJdWdtadS其中tdW是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程，tdJ表示的是不可預(yù)測(cè)的跳躍，且假定在一個(gè)固定間隔h內(nèi)該跳躍有零均值：0tJE原因：任何可預(yù)測(cè)的跳躍成分可被包含在漂移項(xiàng) 中ta對(duì)跳躍過(guò)程，作如下假定：1在兩個(gè)跳躍之間，tJ保持不變，而在跳躍時(shí)間, 2 ,

32、1,jtjtJ是離散和隨機(jī)的首頁(yè)首頁(yè)2假定有k種跳躍，跳躍大小為kiai, 1,跳躍發(fā)生率t依賴(lài)于tS的最終觀測(cè)值。每一大小的跳躍ia發(fā)生的概率為ip跳躍類(lèi)型是隨機(jī)和獨(dú)立的。則在一個(gè)小的固定間隔h內(nèi)，增量tJ為kiiitttpahNJ1其中tN表示的是至?xí)r間t所有發(fā)生的跳躍大小總和若在間隔h內(nèi)發(fā)生一次大小為ta的跳躍，則ttaN ht表示的是跳躍發(fā)生的概率ikiipa1為跳躍的期望值則tJ是不可預(yù)測(cè)。首頁(yè)首頁(yè)在這些條件下漂移參數(shù) 可被看作為兩個(gè)分散的漂移的總和：takiiitttpaa1其中 是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的維納過(guò)程部分，第二項(xiàng)為 中純跳躍部分ttS跳躍過(guò)程兩個(gè)隨機(jī)性跳躍的發(fā)生為隨機(jī)事件，發(fā)生大小

33、也是隨機(jī)的。假定這兩個(gè)隨機(jī)性是相互獨(dú)立的。則Ito公式為首頁(yè)首頁(yè)itittttptSFtaSFFtSdF),(),(),(FtsssdJdSFdtF212其中),(),(tSFtSFdJttFdtptSFtaSFkiititt1,tsSSstst,lim首頁(yè)首頁(yè)首先要計(jì)算由可能發(fā)生的隨機(jī)跳躍的期望變化，也就是上式右邊的第二項(xiàng)，要計(jì)算此項(xiàng)，需要用到在時(shí)間 內(nèi)跳躍發(fā)生的概率和由 跳躍所引起的函數(shù) 跳躍的大小期望值。tS在實(shí)際中如何計(jì)算 呢？FdJdtF其次如果在特定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生跳躍， 還應(yīng)包含式上式的第一項(xiàng)。FdJ首頁(yè)首頁(yè)在隨機(jī)計(jì)算中，Ito定理是核心微分工具。第一，在給定標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)方程情況下，由Ito定理可得到金融衍生品的隨機(jī)微分方程；本章說(shuō)明第二， Ito定理完全獨(dú)立 Ito積分的。返回首頁(yè)首頁(yè)