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第二章 推理與證明
章末檢測卷
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.證明:<1++++…+
1),當n=2時,中間式子等于( )
A.1 B.1+
C.1++ D.1+++
解析:n=2時中間式子的最后一項為,所以中間子式為1+++.
答案:D
2.用反證法證明命題:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個能被3整除”時,假設應為( )
A.a(chǎn),b都能被3整除
B.a(chǎn),b都不能被3整除
C.a(chǎn),b不都能被3整除
D.a(chǎn)不能被3整除
解析:反證法證明命題時,應假設命題的反面成立.“a,b中至少有一個能被3整除”的反面是:“a,b都不能被3整除”,故應假設a,b都不能被3整除.
答案:B
3.下列推理正確的是( )
A.把a(b+c)與loga(x+y)類比,則有:loga(x+y)=logax+logay
B.把a(b+c)與sin(x+y)類比,則有:sin(x+y)=sinx+siny
C.把(ab)n與(x+y)n類比,則有:(x+y)n=xn+yn
D.把(a+b)+c與(xy)z類比,則有:(xy)z=x(yz)
解析:A中類比的結果應為loga(xy)=logax+logay,B中如x=y(tǒng)=時不成立,C中如x=y(tǒng)=1時不成立,D中對于任意實數(shù)分配律成立.
答案:D
4.若a>0,b>0,則有( )
A.>2b-a B.<2b-a
C.≥2b-a D.≤2b-a
解析:∵-(2b-a)==≥0,∴≥2b-a.
答案:C
5.證明命題:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函數(shù)”.現(xiàn)給出的證法如下:因為f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.因為x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),使用的證明方法是( )
A.綜合法 B.分析法
C.反證法 D.以上都不是
解析:這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結論的,是綜合法,故選A.
答案:A
6.下面是一段“三段論”推理過程:若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f′(x)>0恒成立.因為f(x)=x3在(-1,1)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,所以在(-1,1)內(nèi),f′(x)=3x2>0恒成立.以上推理中( )
A.大前提錯誤 B.小前提錯誤
C.結論正確 D.推理形式錯誤
解析:f(x)在(a,b)內(nèi)可導且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f′(x)≥0恒成立,故大前提錯誤.故選A.
答案:A
7.用數(shù)學歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中,當n=k+1時,為了使用假設,應將5k+1-2k+1變形為( )
A.(5k-2k)+45k-2k
B.5(5k-2k)+32k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-35k
解析:5k+1-2k+1=5k5-2k2=5k5-2k5+2k5-2k2=5(5k-2k)+32k.
答案:B
8.將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比,易得下列結論:
①ab=ba;
②(ab)c=a(bc);
③a(b+c)=ab+ac;
④由ab=ac(a≠0)可得b=c,
則正確的結論有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析:平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律,不滿足結合律,故①③正確,②錯誤;由ab=ac(a≠0)得a(b-c)=0,從而b-c=0或a⊥(b-c),故④錯誤.
答案:B
9.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( )
A.28 B.76
C.123 D.199
解析:記an+bn=f(n),則f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),則f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.
所以a10+b10=123.
答案:C
10.數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=1-,則a2 017等于( )
A. B.-1
C. 2 D.3
解析:∵a1=,an+1=1-,
∴a2=1-=-1,
a3=1-=2,
a4=1-=,
a5=1-=-1,
a6=1-=2,
∴an+3k=an(n∈N*,k∈N*)
∴a2 017=a1+3672=a1=.
答案:A
11.已知a+b+c=0,則ab+bc+ca的值( )
A.大于0 B.小于0
C.不小于0 D.不大于0
解析:因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0,
又因為a2+b2+c2≥0.所以2(ab+bc+ac)≤0.故選D.
答案:D
12.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2),每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如=+,=+,=+,…,則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為( )
A. B.
C. D.
解析:由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知,第7行第1個數(shù)為,由“每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個數(shù)為-=.同理易知,第7行第3個數(shù)為-=,第7行第4個數(shù)為-=.故選A.
答案:A
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.已知x,y∈R,且x+y>2,則x,y中至少有一個大于1,在用反證法證明時,假設應為________.
解析:“至少有一個”的反面為“一個也沒有”即“x,y均不大于1”,亦即“x≤1且y≤1”.
答案:x,y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14.觀察下列不等式
1+<,
1++<,
1+++<,
…
照此規(guī)律,第五個不等式為________________________________________________________________________.
解析:先觀察左邊,第一個不等式為2項相加,第二個不等式為3項相加,第三個不等式為4項相加,則第五個不等式應為6項相加,右邊分子為分母的2倍減1,分母即為所對應項數(shù),故應填1+++++<.
答案:1+++++<
15.若三角形的周長為L,面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則有r=,類比此結論,在四面體中,設其表面積為S,體積為V,內(nèi)切球半徑為R,則有________.
解析:三角形可分解為三個以內(nèi)切圓圓心為頂點的三角形,于是有Lr=S,即r=,四面體可分解為四個以四面體各面為底面,內(nèi)切球球心為頂點的三棱錐.于是SR=V,即R=.
答案:R=
16.用數(shù)學歸納法證明某不等式時,其左邊=1-+-+…+-,則從“n=k到n=k+1”應將左邊加上________.
解析:f(k)=1-+-+…+-,f(k+1)=1-+-+…+-+-,
∴f(k+1)-f(k)
=-.
答案:-
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)把下面在平面內(nèi)成立的結論類比地推廣到空間,并判斷類比的結論是否成立.
(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,則必和另一條相交;
(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線,則這兩條直線互相平行.
解析:(1)類比為:如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交,則必和另一個相交.
結論是正確的,證明如下:設α∥β,且γ∩α=a,則必有γ∩β=b,若γ與β不相交,則必有γ∥β.
又α∥β,∴α∥γ,與γ∩α=a矛盾,∴必有γ∩β=b.
(2)類比為:如果兩個平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面互相平行,結論是錯誤的,這兩個平面也可能相交.
18.(12分)已知a>0,b>0,用分析法證明:≥.
證明:因為a>0,b>0,
要證≥,
只要證,(a+b)2≥4ab,
只要證(a+b)2-4ab≥0,
即證a2-2ab+b2≥0,
而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立,
故≥成立.
19.(12分)已知a1+a2+a3+a4>100,求證a1,a2,a3,a4中至少有一個數(shù)大于25.
解析:假設a1,a2,a3,a4均不大于25,
即a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25,
則a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100,
這與已知a1+a2+a3+a4>100矛盾,故假設錯誤.
所以a1,a2,a3,a4中至少有一個數(shù)大于25.
20.(12分)△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C與a,b,c都成等差數(shù)列,求證△ABC為正三角形.
證明:因為A,B,C成等差數(shù)列,
所以2B=A+C,①
又A+B+C=π,②
由①②得B=.③
又a,b,c成等差數(shù)列,
所以b=,④
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,⑤
將③④代入⑤得
2=a2+c2-2ac.
化簡得a2-2ac+c2=0,
即(a-c)2=0,所以a=c,⑥
由④⑥得a=b=c,
所以△ABC為正三角形.
21.(12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).
(1)sin213+cos217-sin13cos17.
(2)sin215+cos215-sin15cos15.
(3)sin218+cos212-sin18cos12.
(4)sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48.
(5)sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.
①試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
②根據(jù)①的計算結果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結論.
解析:①選擇(2)式計算如下sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30=.
②三角恒等式為
sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)
=.
證明如下:sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)=sin2α+(cos30cosα+sin30sinα)2-sinα(cos30cosα+sin30sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α
=sin2α+cos2α=.
22.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足an=,且a1=.
(1)求a2,a3;
(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學歸納法加以證明.
解析:(1)a2==,又a1=,
則a2=,類似地,求得a3=.
(2)由a1=,a2=,a3=,…,猜想an=.
用數(shù)學歸納法證明如下:
①當n=1時,由(1)可知猜想成立;
②假設當n=k(k∈N*且k≥2)時猜想成立,
即ak==.
則當n=k+1時,ak+1=,
∴Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)=,
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
∴ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-,
∴k(2k+3)ak+1=,
∴ak+1=
=.
∴由n=k+1時猜想也成立.
由①②可知,猜想對任何n∈N*都成立.
∴{an}的通項公式為an=.
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