《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量的應(yīng)用 3.2.3 空間的角的計(jì)算講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量的應(yīng)用 3.2.3 空間的角的計(jì)算講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

3．2.3　空間的角的計(jì)算 山體滑坡是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害．甲、乙兩名科技人員為了測(cè)量一個(gè)山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的A處，乙站在山坡斜面上的B處，A、B兩點(diǎn)到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30 m和40 m，CD的長(zhǎng)為60 m，AB的長(zhǎng)為80 m. 問(wèn)題1：如何用向量方法求異面直線AC和BD所成的角？ 提示：設(shè)異面直線AC與BD所成的角為θ， 則cos θ＝|cos〈，〉|. 問(wèn)題2：如何求斜線BD與地面所成角α？ 提示：設(shè)地面的法向量為n， 則sin α＝|cos〈，n〉|. 問(wèn)題3：如何求水平地面與斜坡面所成的二面角β？ 提示：cos β＝cos〈，〉． 異面直線所成的角 設(shè)兩條異面直線a，b所成的角為θ，它們的方向向量分別為a、b.則cos θ＝ 直線與平面所成的角 設(shè)直線和平面所成的角為θ，且直線的方向向量為a，平面的法向量為b，則sin θ＝ 二面角的平面角 設(shè)二面角α—l—β的銳二面角大小為θ，且兩個(gè)半平面的法向量分別為a，b，則cos θ＝ 對(duì)直線(或斜線)與平面所成角的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí) (1)斜線與平面的夾角范圍是；而直線與平面的夾角范圍是； (2)設(shè)在平面α內(nèi)的射影為，且直線AB與平面α的夾角為θ，則||＝||cos θ； (3)平面α的法向量n與所成的銳角θ1的余角θ就是直線AB與平面α所成的角． 利用空間向量求異面直線所成的角 　　 [例1]　如圖所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60，∠AOB＝90，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值的大小． [思路點(diǎn)撥]　→→，坐標(biāo)→ cos〈，〉→. [精解詳析]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)， ∴＝－ ＝(－，1，－)， ＝－＝(，－1，－)． ∴cos〈，〉＝ ＝ ＝－. 異面直線A1B與AO1所成的角的余弦值為. [一點(diǎn)通] 求異面直線所成的角的方法及關(guān)注點(diǎn)： (1)方法：利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線所成的角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角． (2)關(guān)注點(diǎn)：求角時(shí)，常與一些向量的計(jì)算聯(lián)系在一起，如向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算． 1.如圖所示，已知在四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求證：AO⊥平面BCD； (2)求異面直線AB與CD所成的角的余弦值． 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則B(1,0,0)，D(－1,0,0)， C(0，，0)，A(0,0,1)， (1)證明：＝(0,0,1)，＝(－2,0,0)， ＝(－1，，0)． ∵＝0，＝0，∴OA⊥BD，OA⊥BC. 又BD∩BC＝B，∴AO⊥平面BCD. (2)＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)． ∴cos〈，〉＝＝， ∴異面直線AB與CD所成的角的余弦值為. 2.已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60，求直線AC1與AC所成角的余弦值． 解：＝＋＋， ＝＋， ||2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋211cos 603＝6， ||2＝2＋2＋2＝1＋1＋1＝3， ∴||＝，||＝. ＝(＋)(＋＋) ＝2＋＋＋＋2＋ ＝1＋＋＋＋1＋＝4， ∴cos〈，〉＝＝＝， 即AC1與AC所成角的余弦值為. 求線面角 　　 [例2]　(湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)證明：AC⊥B1D； (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值． [思路點(diǎn)撥]　以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． (1)求出和，證明＝0； (2)求出直線B1C1的方向向量與平面ACD1的法向量． [精解詳析]　(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)． 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)． 因?yàn)锳C⊥BD，所以＝－t2＋3＋0＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)． 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)． 因?yàn)椋剑?＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D. (2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量， 則即 令x＝1，則n＝(1，－，)． 設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. [一點(diǎn)通]　利用向量法求直線與平面所成角的解題步驟為： (1)根據(jù)題設(shè)條件、圖形特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2)得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)向量的坐標(biāo)； (3)利用公式cos〈a，b〉＝，進(jìn)行計(jì)算，其中向量a是直線的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直線在平面內(nèi)射影的方向向量； (4)將〈a，b〉轉(zhuǎn)化為所求的線面角． 3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn)． (1)求證：MN⊥平面A1BC； (2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大?。? 解：(1)證明：根據(jù)題意，CA、CB、CC1兩兩垂直，以C為原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝CC1＝a， 則B(0，a,0)，B1(0，a，a)，A(a，0,0)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N. 所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)， ＝. 于是＝0，＝0， 即MN⊥BA1，MN⊥CA1. 又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC. (2)因?yàn)镸N⊥平面A1BC，則為平面A1BC的法向量，又＝(0，－a，a)， 則cos〈，〉＝＝＝， 所以〈，〉＝60. 故直線BC1和平面A1BC所成的角為30. 4．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)． (1)證明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值． 解：(1)證明：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系H－xyz如圖， 則A(1,0,0)，B(0,1,0)． 設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，D(0，m,0)，E. 可得＝，＝(m，－1,0)． 因?yàn)椋剑?＝0， 所以PE⊥BC. (2)由已知條件可得m＝－，n＝1， 故C，D，E，P(0,0,1)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量， 則即 因此可以取n＝(1，，0)． 又＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝＝＝， 所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 求二面角 [例3]　(江蘇高考)如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)． (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值． [思路點(diǎn)撥]　(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值； (2)求出平面ADC1與平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再轉(zhuǎn)化為正弦值． [精解詳析]　(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝＝，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)， 因?yàn)椋?1,1,0)，＝(0,2,4)， 所以n1＝0，n1＝0， 即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2， 所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量． 取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)， 設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ. 由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝. 因此平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為. [一點(diǎn)通]　用向量法求二面角的大小時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：一是建系后兩個(gè)平面的法向量求解正確；二是求出了兩法向量夾角后，應(yīng)結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角大?。? 5．(天津高考)如圖， 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點(diǎn)． (1)證明：B1C1⊥CE; (2)求二面角B1－CE－C1的正弦值． (3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上， 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)． 解： 如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是＝0， 所以B1C1⊥CE. (2)可知＝(1，－2，－1)． 設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)， 則即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個(gè)法向量為m＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1， 可得B1C1⊥平面CEC1， 故＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個(gè)法向量． 于是cos〈m，〉＝＝＝－， 從而sin 〈m，〉＝. 所以二面角B1－CE－C1的正弦值為. (3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 設(shè)＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)． 可?。?0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量． 設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角， 則sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝ .于是＝，解得λ＝，所以AM＝. 6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)． (1)證明：PC⊥平面BEF； (2)求平面BEF與平面BAP夾角的大?。? 解：(1)證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四邊形ABCD是矩形． ∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)， 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)， ∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)． ∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)， ∴＝－2＋4－2＝0，＝2＋0－2＝0， ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. (2)由(1)知平面BEF的法向量n1＝＝(2,2，－2)， 平面BAP的法向量n2＝＝(0,2，0)， ∴n1n2＝8. 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴θ＝45，∴平面BEF與平面BAP的夾角為45. 1．兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角． 2．直線的方向向量為u，平面的法向量為n，直線與平面成角為θ，則sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了絕對(duì)值符號(hào)． 3．利用兩平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后要根據(jù)圖形判斷二面角是銳角還是鈍角． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二十五)]　 1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為_(kāi)_______． 解析：＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴直線AB，CD所成角的余弦值為. 答案： 2．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B1，BB1的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值是________． 解析：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N. ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝＝， 故異面直線AM與CN所成角的余弦值為. 答案： 3．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，則二面角A－PB－C的余弦值為_(kāi)_______． 解析： 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(，1,0)， C(0,1,0)，P(0,0,1)， ＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1，1)．設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)， 則 ? ?令x＝1，則m＝(1，－，0)． 設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x′，y′，z′)， 則? ?令y′＝－1，則n＝(0，－1，－1)， ∴cos〈m，n〉＝＝. 答案： 4．(大綱全國(guó)卷改編)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________． 解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥，所以有 令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)．設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 答案： 5．已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的余弦值是________． 解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0)，E，F(xiàn)，D1(0,0,1)． 所以＝(－1,0,1)，＝. 設(shè)平面AEFD1的法向量為n＝(x，y，z)，則? 取y＝1，則n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一個(gè)法向量為u＝(0,0,1)， ∴cos〈n，u〉＝. 答案： 6.如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)．求AB與平面BDF所成角的正弦值． 解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則B(0,0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)， F(1,0,1)． ∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)． 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n＝(2，a，b)， ∵n⊥，n⊥， ∴即 解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)． 又設(shè)AB與平面BDF所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝. 即AB與平面BDF所成角的正弦值為. 7．(江西高考)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AD于F. (1)求證：AD⊥平面CFG； (2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值． 解：(1)證明：在△ABD中，因?yàn)镋是BD中點(diǎn)， 所以EA＝EB＝ED＝AB＝1， 故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝， 因?yàn)椤鱀AB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB， 從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝， 所以∠FED＝∠FEA， 故EF⊥AD，AF＝FD.因?yàn)镻G＝GD，所以FG∥PA. 又PA⊥平面ABCD， 所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG. (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P， 故＝，＝， ＝. 設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量n1＝(1，y1，z1)， 則解得 即n1＝. 設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量n2＝(1，y2，z2)， 則解得即n2＝(1，，2)． 從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為 cos θ＝＝＝. 8.如圖，在幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中點(diǎn)，EA＝DA＝AB＝2CB. (1)求證：DM⊥EB； (2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值； (3)求二面角M－BD－A的余弦值． 解：以直線AE、AB、AD為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)CB＝a， 則A(0,0,0)，E(2a,0,0)， B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)， 所以M(a，a，)， (1)證明：＝(a，a，－)，＝(－2a,2a,0)， ∴＝a(－2a)＋a2a＋0＝0， ∴⊥，即DM⊥EB. (2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)， 設(shè)異面直線AB與CE所成的角為θ， 則cos θ＝＝＝. 即異面直線AB與CE所成角的余弦值為. (3)∵DA⊥平面EAB，AD?平面DAB， ∴平面DAB⊥平面EAB， ∵EA?平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB， EA⊥AB. ∴EA⊥平面DAB. ∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一個(gè)法向量． 設(shè)平面MBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， ＝(a，a，－)，＝(0，－2a,2a)， 則即 令z＝a，則n＝， 設(shè)二面角M－BD－A的平面角為α， 則cos α＝＝＝. 即二面角M－BD－A的余弦值為.