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考點(diǎn)20 平面與平面之間的位置關(guān)系 平面與平面的位置關(guān)系 位置關(guān)系 圖示 表示法 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩平面平行 α∥β 無(wú) 兩平面相交 有一條 公共直線 【例】給出的下列四個(gè)命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） ①平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線和平面β平行，則α與β平行；③平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面β的距離相等，則α與β平行；④若兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是相交或重合． A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 對(duì)于②，在正方體ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，與A1D1平行的直線有無(wú)數(shù)條，但平面AA1D1D與平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直線A1D1，故②是錯(cuò)誤的． 對(duì)于③，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，分別取AA1，DD1，BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距離相等，而△A1BC與平面EFHG相交，故③是錯(cuò)誤的． 【思路探索】根據(jù)平面平行、相交的定義，借助于模型長(zhǎng)方體或正方體進(jìn)行判斷．兩平面位置關(guān)系中不存在重合，若重合則為一個(gè)平面，故命題④錯(cuò)． 1．圓柱的兩個(gè)底面的位置關(guān)系是（ ） A．相交 B．平行 C．平行或異面 D．相交或異面 【答案】B 【解析】圓柱的兩個(gè)底面無(wú)公共點(diǎn)，則它們平行． 2．若兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，且這兩條直線是異面直線，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A．有限個(gè) B．無(wú)限個(gè) C．一個(gè)也沒(méi)有 D．一個(gè)也沒(méi)有或無(wú)限個(gè) 【答案】D 【解析】借助正方體或長(zhǎng)方體模型得知，這兩個(gè)平面平行或相交． 【規(guī)律方法】判斷兩平面的位置關(guān)系或兩平面內(nèi)的線線，線面關(guān)系，我們常根據(jù)定義，借助實(shí)物模型“百寶箱”長(zhǎng)方體（或正方體）進(jìn)行判斷． （2）反證法也用于相關(guān)問(wèn)題的證明． 3．若兩個(gè)平面相互平行，則分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是（ ） A．平行 B．異面 C．相交 D．平行或異面 【答案】D 4．下列說(shuō)法中，正確的是（ ） ①若一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行； ②過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面和已知平面平行； ③過(guò)平面外兩點(diǎn)不能作平面與已知平面平行； ④若一條直線和一個(gè)平面平行，則經(jīng)過(guò)這條直線的任何平面都與已知平面平行． A．①③ B．②④ C．①② D．②③④ 【答案】C 【解析】①②正確；③中，兩點(diǎn)所在直線與平面平行時(shí)可以；④中，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平 面可能相交． 5．三個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部分時(shí)，它們的交線有（ ） A．1條 B．2條 C．3條 D．1或2條 【答案】D 6．如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論． 【解析】平面ABC與β的交線與l相交． 證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，∴AB與l一定相交，設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l． 又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β． ∴點(diǎn)P是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)C也是平面ABC與β的一個(gè)公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)， ∴直線PC就是平面ABC與β的交線． 即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P， ∴平面ABC與β的交線與l相交． 【易錯(cuò)易混】用符號(hào)語(yǔ)言表示兩個(gè)相交平面時(shí)，必須寫(xiě)出交線是什么，避免出現(xiàn)的錯(cuò)誤寫(xiě)法． 1．兩平面平行，，下列四個(gè)命題：①內(nèi)的所有直線平行；②內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行； ③直線內(nèi)任何一條直線都不垂直；④無(wú)公共點(diǎn)，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】B 【解析】①中a不是與β內(nèi)的所有直線平行，而是與無(wú)數(shù)條直線平行，有一些是異面；②正確；③中直線內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直；④根據(jù)定義無(wú)公共點(diǎn)，正確．故選B． 2．如果空間的三個(gè)平面兩兩相交，則下列判斷正確的是________(填序號(hào))． ①不可能只有兩條交線； ②必相交于一點(diǎn)； ③必相交于一條直線； ④必相交于三條平行線． 【答案】① 【解析】空間的三個(gè)平面兩兩相交，可能只有一條交線，也可能有三條交線，這三條交線可能交于一點(diǎn)． 3．下列命題： ①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合； ②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β． 其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為_(kāi)_______． 【答案】①② 4．試畫(huà)圖說(shuō)明三個(gè)平面可把空間分成幾個(gè)部分？ 【解析】三個(gè)平面可把空間分成4（如圖①）、6（如圖②③）、7（如圖④）或8（如圖⑤）個(gè)部分． 書(shū)本中的面面關(guān)系 高爾基說(shuō)過(guò)：“書(shū)是人類(lèi)進(jìn)步的階梯．”這句話的確很有道理．書(shū)在人類(lèi)的文明史上發(fā)揮了不可替代的重要作用．通過(guò)書(shū)面記載，語(yǔ)言、文字、圖畫(huà)能夠較為完好地保存下來(lái)，并且可以大量印制，方便人類(lèi)的閱讀、學(xué)習(xí)，有利于人類(lèi)知識(shí)的傳承．