2017-2018學年高中數學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法優(yōu)化練習 新人教A版選修1 -2.doc
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2.2.2 反證法 [課時作業(yè)] [A組 基礎鞏固] 1.用反證法證明:“自然數a,b,c中恰有一個偶數”時正確的反設為( ) A.a,b,c都是偶數 B.a,b,c都是奇數 C.a,b,c中至少有兩個偶數 D.a,b,c中都是奇數或至少有兩個偶數 解析:自然數a,b,c的奇偶性共有四種情形:3個都是奇數,1個偶數2個奇數,2個偶數1個奇數,3個都是偶數,所以否定“自然數a,b,c中恰有一個偶數”時正確的反設為“a,b,c中都是奇數或至少有兩個偶數.” 答案:D 2.實數a,b,c滿足a+2b+c=2,則( ) A.a,b,c都是正數 B.a,b,c都大于1 C.a,b,c都小于2 D.a,b,c中至少有一個不小于 解析:假設a,b,c中都小于, 則a+2b+c<+2+=2,與a+2b+c=2矛盾 ∴a,b,c中至少有一個不小于. 答案:D 3.(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設p+q≥2, (2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設|x1|≥1,以下結論正確的是( ) A.(1)與(2)的假設都錯誤 B.(1)與(2)的假設都正確 C.(1)的假設正確;(2)的假設錯誤 D.(1)的假設錯誤;(2)的假設正確 解析:(1)的假設應為p+q>2;(2)的假設正確. 答案:D 4.設a,b,c大于0,則3個數:a+,b+,c+的值( ) A.都大于2 B.至少有一個不大于2 C.都小于2 D.至少有一個不小于2 解析:假設a+,b+,c+都小于2 則a+<2,b+<2,c+<2 ∴a++b++c+<6,① 又a,b,c大于0 所以a+≥2,b+≥2,c+≥2. ∴a++b++c+≥6.② 故①與②式矛盾,假設不成立 所以a+,b+,c+至少有一個不小于2. 答案:D 5.用反證法證明命題:“三角形的內角中至少有一個不大于60”時,假設正確的是( ) A.假設三內角都不大于60 B.假設三內角都大于60 C.假設三內角至少有一個大于60 D.假設三內角至多有兩個大于60 解析:三個內角至少有一個不大于60,即有一個、兩個或三個不大于60,其反設為都大于60. 答案:B 6.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________. 解析:“至少有一個”的否定是“沒有一個”. 答案:沒有一個是三角形或四邊形或五邊形 7.設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2. 其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號). 解析:顯然①、②不能推出,③中a+b>2能推出“a,b中至少有一個大于1”否則a≤1,且b≤1,則a+b≤2與a+b>2矛盾.④中取a=-2,b=0,推不出. 答案:③ 8.用反證法證明質數有無限多個的過程如下: 假設________.設全體質數為p1,p2,…,pn,令p=p1p2…pn+1. 顯然,p不含因數p1,p2,…,pn.故p要么是質數,要么含有________的質因數.這表明,除質數p1,p2,…,pn之外,還有質數,因此原假設不成立.于是,質數有無限多個. 解析:由反證法的步驟可得. 答案:質數只有有限多個 除p1,p2,…,pn之外 9.用反證法證明:過已知直線a外一點A有且只有一條直線b與已知直線a平行. 證明:由兩條直線平行的定義可知,過點A至少有一條直線與直線a平行. 假設過點A還有一條直線b′與已知直線a平行,即b∩b′=A,b′∥a. 因為b∥a,由平行公理知b′∥b.這與假設b∩b′=A矛盾,所以假設錯誤,原命題成立. 10.已知f(x)=ax+(a>1),證明方程f(x)=0沒有負數根. 證明:假設x0是f(x)=0的負數根, 則x0<0且x0≠-1且ax0=-, 由0- 配套講稿:
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