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第6章 萬有引力與航天 章末總結 一、天體(衛(wèi)星)運動問題的處理 分析處理天體運動問題，要抓住“一個模型”“兩個思路”、區(qū)分“三個不同”。 1．一個模型：無論是自然天體(如行星等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運動軌跡為圓形，就可將其簡化為質點的勻速圓周運動。 2．兩個思路 (1)所有做圓周運動的天體，所需的向心力都來自萬有引力。因此，向心力等于萬有引力，據此所列方程是研究天體運動的基本關系式，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma。 (2)不考慮地球或其他天體自轉影響時，物體在地球或其他天體表面受到的萬有引力約等于物體的重力，即G＝mg，變形得GM＝gR2。 3．三個不同 (1)不同公式中r的含義不同。在萬有引力定律公式(F＝G)中，r的含義是兩質點間的距離；在向心力公式(F＝m＝mω2r)中，r的含義是質點運動的軌道半徑。當一個天體繞另一個天體做勻速圓周運動時，兩式中的r相等。 (2)運行速度、發(fā)射速度和宇宙速度的含義不同。 (3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉做勻速圓周運動的向心加速度a′的含義不同。 [例1] 土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動，其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為rA＝8.0104 km和rB＝1.2105 km。忽略所有巖石顆粒間的相互作用(結果可用根式表示)。 (1)求巖石顆粒A和B的線速度之比； (2)求巖石顆粒A和B的周期之比； (3)土星探測器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出它距土星中心3.2105 km處受到土星的引力為0.38 N。已知地球半徑為6.4103 km，請估算土星質量是地球質量的多少倍？ 解析　(1)設土星質量為M0，巖石顆粒質量為m，距土星中心距離為r，線速度為v，根據牛頓第二定律和萬有引力定律可得G＝， 解得v＝。 對于A、B兩顆粒分別有vA＝和vB＝， 得＝。 (2)設顆粒繞土星做圓周運動的周期為T，則T＝， 對于A、B兩顆粒分別有TA＝和TB＝， 得＝。 (3)設地球質量為M，半徑為r0，地球上物體的重力可視為等于萬有引力，探測器上物體質量為m0，在地球表面重力為G0，跟土星中心相距r0′＝3.2105 km處的引力為G0′，根據萬有引力定律得 G 0＝，G0′＝，解得＝95。 答案　(1)　(2)　(3)95倍 [針對訓練1] “靜止”在赤道上空的地球同步氣象衛(wèi)星將氣象數據發(fā)回地面，為天氣預報提供準確、全面和及時的氣象資料。設地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法中正確的是(　　) A．同步衛(wèi)星的運行速度是第一宇宙速度的 B．同步衛(wèi)星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉獲得的速度的 C．同步衛(wèi)星的運行速度是第一宇宙速度的 D．同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的 解析　同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動，由萬有引力提供向心力，則G＝ma＝m＝mω2r＝mr，得同步衛(wèi)星的運行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故選項A錯誤，C正確；a＝，g＝，所以＝＝，故選項D錯誤；同步衛(wèi)星與地球自轉的角速度相同，則v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故選項B錯誤。 答案　C 二、人造衛(wèi)星的發(fā)射、變軌與對接 1．發(fā)射問題 要發(fā)射人造衛(wèi)星，動力裝置在地面處要給衛(wèi)星以很大的發(fā)射初速度，且發(fā)射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造衛(wèi)星做離開地球的運動；當人造衛(wèi)星進入預定軌道區(qū)域后，再調整速度，使F引＝F向，即G＝m，從而使衛(wèi)星進入預定軌道。 2．變軌問題 發(fā)射過程：如圖1所示，一般先把衛(wèi)星發(fā)射到較低軌道1上，然后在P點點火，使衛(wèi)星加速，讓衛(wèi)星做離心運動，進入軌道2，到達Q點后，再使衛(wèi)星加速，進入預定軌道3。 圖1 回收過程：與發(fā)射過程相反，當衛(wèi)星到達Q點時，使衛(wèi)星減速，衛(wèi)星由軌道3進入軌道2，當到達P點時，再讓衛(wèi)星減速進入軌道1，再減速到達地面。 3．對接問題 如圖2所示，飛船首先在比空間站低的軌道運行，當運行到適當位置時，再加速運行到一個橢圓軌道。通過控制使飛船跟空間站恰好同時運行到兩軌道的相切點，便可實現(xiàn)對接。 圖2 [例2] (多選)2016年中國將發(fā)射“天宮二號”空間實驗室，并發(fā)射“神舟十一號”載人飛船和“天舟一號”貨運飛船，與“天宮二號”交會對接。“天宮二號”預計由“長征二號F”改進型無人運載火箭或“長征七號”運載火箭從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，B點距離地面的高度為h，地球的中心位于橢圓的一個焦點上?！疤鞂m二號”飛行幾周后進行變軌進入預定圓軌道，如圖3所示。已知“天宮二號”在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，引力常量為G，地球半徑為R。則下列說法正確的是(　　) 圖3 A．“天宮二號”從B點沿橢圓軌道向A點運行的過程中，引力為動力 B．“天宮二號”在橢圓軌道的B點的向心加速度大于在預定圓軌道上B點的向心加速度 C．“天宮二號”在橢圓軌道的B點的速度大于在預定圓軌道上的B點的速度 D．根據題目所給信息，可以計算出地球質量 解析　“天宮二號”從B點沿橢圓軌道向A點運行的過程中，速度在變大，故受到的地球引力為動力，所以A正確；在B點“天宮二號”產生的加速度都是由萬有引力產生的，因為同在B點萬有引力大小相等，故不管在哪個軌道上運動，在B點時萬有引力產生的加速度大小相等，故B錯誤；“天宮二號”在橢圓軌道的B點加速后做離心運動才能進入預定圓軌道，故“天宮二號”在橢圓軌道的B點的速度小于在預定圓軌道的B點的速度，故C錯誤；“天宮二號”在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，故周期為T＝，根據萬有引力提供向心力G＝m，得地球的質量M＝＝，故D正確。 答案　AD [針對訓練2] (多選)如圖4所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點變軌，進入橢圓形轉移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q)，到達遠地點Q時再次變軌，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在橢圓形轉移軌道的近地點P的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在同步軌道上的速率為v4，三個軌道上運動的周期分別為T1、T2、T3，則下列說法正確的是(　　) 圖4 A．在P點變軌時需要加速，Q點變軌時要減速 B．在P點變軌時需要減速，Q點變軌時要加速 C．T1＜T2＜T3 D．v2＞v1＞v4＞v3 解析　衛(wèi)星在橢圓形轉移軌道的近地點P時做離心運動，所受的萬有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圓軌道時萬有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1；同理，由于衛(wèi)星在轉移軌道上Q點做近心運動，可知v3＜v4。又由人造衛(wèi)星的線速度v＝可知v1＞v4，由以上所述可知選項D正確，A、B錯誤，由于軌道半長軸R1＜R2＜R3，由開普勒第三定律＝k(k為常量)得T1＜T2＜T3，故選項C正確。 答案　CD 三、雙星模型在天體運動中的應用 1．雙星：兩個離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星。 圖5 2．雙星問題的特點 (1)兩星的運動軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點。 (2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。 (3)兩星的運動周期、角速度相同。 (4)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L。 3．雙星問題的處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。 由此得出： (1)軌道半徑之比與雙星質量之比相反：＝。 (2)線速度之比與質量之比相反：＝。 (3)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質量之和m1＋m2＝。 [例3] (多選)冥王星與其附近的星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質量之比約為7∶1，同時繞它們連線上某點O做勻速圓周運動。由此可知卡戎繞O點運動的(　　) 圖6 A．角速度大小約為冥王星的7倍 B.向心力大小約為冥王星的 C．軌道半徑約為冥王星的7倍 D．周期大小與冥王星周期相同 解析　由題圖可知，冥王星與卡戎繞O點轉動時每轉一圈所用的時間相同，故D正確，A錯誤；冥王星與卡戎繞O點轉動時萬有引力提供向心力，即G＝M冥ω2r冥＝m卡ω2r卡，故＝＝，B錯誤，C正確。 答案　CD [針對訓練3] 雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為(　　) A.T B.T C.T D.T 解析　設兩顆星的質量分別為m1、m2，做圓周運動的半徑分別為r1、r2，根據萬有引力提供向心力可得：G＝m1r1，G＝m2r2，聯(lián)立解得：m1＋m2＝，即T2＝，因此，當兩星總質量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時，兩星圓周運動的周期為T′＝T，選項B正確，其他選項均錯。 答案　B