2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題10 導數(shù)的應用 理.doc
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專題10 導數(shù)的應用 一、考綱要求: 1.了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)； 2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)； 3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題； 4.會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1．在某區(qū)間內f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件． 2．可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內都不恒為零． 3．對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件． 4.用導數(shù)證明函數(shù)fx在（a,b）內的單調性的步驟 一求：求f′(x)； 二定：確定f′(x))在(a，b)內的符號； 三結論：作出結論：f′(x)＞0時為增函數(shù)；f′(x)＜0時為減函數(shù). 5.研究含參數(shù)函數(shù)的單調性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論. (1）討論分以下四個方面 ①二次項系數(shù)討論，②根的有無討論，③根的大小討論，④根在不在定義域內討論. (2）討論時要根據(jù)上面四種情況，找準參數(shù)討論的分點. (3）討論完必須寫綜述. 6.利用導數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程 7．已知函數(shù)極值點和極值求參數(shù)的兩個要領 (1)列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值列方程組，利用待定系數(shù)法求解． (2)驗證：因為一點處的導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性 三、高考題例分析 例1（2018新課標Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=﹣x+alnx． （1）討論f（x）的單調性； （2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：＜a﹣2． 當a＞0時，判別式△=a2﹣4， ①當0＜a≤4時，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)， ②當a＞2時，x，f′（x），f（x）的變化如下表： x （0，） （，） （，+∞） f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ f（x） 遞減 遞增 遞減 綜上當a≤2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)， 當a＞2時，在（0，），和（，+∞）上是減函數(shù)， 則（，）上是增函數(shù)． 設h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0， 求導得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0， 則h（x）在（0，1）上單調遞減， ∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0， 故2lnx＞x﹣， 則＜a﹣2成立． 例2（2018新課標Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2． （1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1； （2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a． 【解答】證明：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=ex﹣x2． 則f′（x）=ex﹣2x， 令g（x）=ex﹣2x，則g′（x）=ex﹣2， 令g′（x）=0，得x=ln2． 當∈（0，ln2）時，h′（x）＜0，當∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0， ∴h（x）≥h（ln2）=eln2﹣2?ln2=2﹣2ln2＞0， ∴f（x）在[0，+∞）單調遞增，∴f（x）≥f（0）=1， 例3（2018新課標Ⅲ））已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x． （1）若a=0，證明：當﹣1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0； （2）若x=0是f（x）的極大值點，求a． 【解答】（1）證明：當a=0時，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）． ，， 可得x∈（﹣1，0）時，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）時，f″（x）≥0 ∴f′（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞增， ∴f′（x）≥f′（0）=0， ∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上單調遞增，又f（0）=0． ∴當﹣1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0． （2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得 f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=， 令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1）， h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）． 當a≥0，x＞0時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增， ∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，故x=0不是f（x）的極大值點，不符合題意． 當a＜0時，h″（x）=8a+4aln（x+1）+， 顯然h″（x）單調遞減， ②若﹣＜a＜0，則h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0， ∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一個零點，設為x0， ∴當0＜x＜x0時，h″（x）＞0，h′（x）單調遞增， ∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0， 導數(shù)應用練習 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調遞增區(qū)間是( ) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) D 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)≥0，得ex－1≥0，即x≥0，故f(x)的單調遞增區(qū)間是[0，＋∞)． 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋4，則“a＞0”是“f(x)在R上單調遞增”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A 解析：f′(x)＝x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件． 3．若冪函數(shù)f(x)的圖象過點，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調遞減區(qū)間為( ) A．(－∞，0) B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－2,0) 4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖2112所示，則該函數(shù)的圖象是( ) 圖2112 B 解析：由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)，且在區(qū)間[－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1]上增長速度越來越慢． 5．(2017安徽二模)已知f(x)＝，則( ) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) 6．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是( ) A．y＝x3 B．y＝ln(－x) C．y＝xe－x D．y＝x＋ D 解析：由題可知，B，C選項中的函數(shù)不是奇函數(shù)，A選項中，函數(shù)y＝x3單調遞增(無極值)，而D選項中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值． 7．(2016四川高考)已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a＝( ) A．－4 B．－2 C．4 D．2 D 解析：由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝2，∴當x<－2或x>2時，f′(x)>0；當－2
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