2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 1 參數(shù)方程的概念講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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1.參數(shù)方程的概念 1.參數(shù)方程的概念 在平面直角坐標(biāo)系中,曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t(θ,φ,…)的函數(shù):①,并且對于每一個t的允許值,方程組①所確定的點(diǎn)(x,y)都在這條曲線上,那么方程組①就叫這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言,直接給出坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.參數(shù)的意義 參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù),也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù). 參數(shù)方程表示的曲線上的點(diǎn) [例1] 已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)判斷點(diǎn)A(1,0),B(5,4),E(3,2)與曲線C的位置關(guān)系; (2)若點(diǎn)F(10,a)在曲線C上,求實(shí)數(shù)a的值. [解] (1)把點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組,解得t=0,所以點(diǎn)A(1,0)在曲線上.把點(diǎn)B(5,4)的坐標(biāo)代入方程組,解得t=2,所以點(diǎn)B(5,4)也在曲線上.把點(diǎn)E(3,2)的坐標(biāo)代入方程組,得到即故方程組無解,所以點(diǎn)E不在曲線上. (2)因?yàn)辄c(diǎn)F(10,a)在曲線C上, 所以解得或所以a=6. 參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式,點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷,與平面直角坐標(biāo)方程下的判斷方法是一致的. 1.已知點(diǎn)M(2,-2)在曲線C:(t為參數(shù))上,則其對應(yīng)的參數(shù)t的值為________. 解析:由t+=2,解得t=1. 答案:1 2.已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù),a∈R).點(diǎn)M(5,4)在該曲線上,求常數(shù)a. 解:∵點(diǎn)M(5,4)在曲線C上,∴解得 ∴a的值為1. 求曲線的參數(shù)方程 [例2] 如圖,△ABP是等腰直角三角形,∠B是直角,腰長為a,頂點(diǎn)B,A分別在x軸、y軸上滑動,求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程. [思路點(diǎn)撥] 解決此類問題關(guān)鍵是參數(shù)的選?。纠杏捎贏,B的滑動而引起點(diǎn)P的運(yùn)動,故可以O(shè)B的長為參數(shù),或以角為參數(shù),此時不妨取BP與x軸正向夾角為參數(shù)來求解. [解] 法一:設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),過P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于Q.如圖所示,則Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB=t,t為參數(shù)(0<t<a).∵|OA|=,∴|BQ|=.∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0<t<a). 法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q,如圖所示.取∠QBP=θ,θ為參數(shù),則∠ABO=-θ.在Rt△OAB中,|OB|=acos=asin θ.在Rt△QBP中,|BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ.∴點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為 求曲線參數(shù)方程的主要步驟 (1)畫出軌跡草圖,設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).畫圖時要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置,以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系. (2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn):一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯,容易列出方程;二是x,y的值可以由參數(shù)唯一確定.例如,在研究運(yùn)動問題時,通常選時間為參數(shù);在研究旋轉(zhuǎn)問題時,通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù).此外,離某一定點(diǎn)的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù). (3)根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等,建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,證明可以省略. 3.設(shè)飛機(jī)以v=150 m/s 作水平勻速飛行,若在飛行高度h=490 m處投彈,求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程(設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度).(g=9.8 m/s 2) 解:如圖,A為投彈點(diǎn),坐標(biāo)為(0,490),B為目標(biāo).記炸彈飛行的時間為t,在A點(diǎn)t=0,設(shè)M(x,y)為飛行曲線上的任一點(diǎn),它對應(yīng)時刻t,炸彈初速度v0=150 m/s,用物理學(xué)知識,分別計算水平、豎直方向上的路程,得(t為參數(shù)),即(t為參數(shù)),這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程. 一、選擇題 1.下列方程可以作為x軸的參數(shù)方程的是( ) A. B. C. D. 解析:選D x軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)可取任意實(shí)數(shù),縱坐標(biāo)為0. 2.當(dāng)參數(shù)θ變化時,由點(diǎn)P(2cos θ,3sin θ)所確定的曲線過點(diǎn)( ) A.(2,3) B.(1,5) C. D.(2,0) 解析:選D 當(dāng)2cos θ=2,即cos θ=1時,3sin θ=0,所以過點(diǎn)(2,0). 3.在方程(θ為參數(shù))所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) A.(2,-7) B. C. D.(1,0) 解析:選C 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程,若能求出θ,則點(diǎn)在曲線上,經(jīng)檢驗(yàn),知C滿足條件. 4.由方程x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為( ) A. B. C. D. 解析:選A 設(shè)(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn).由x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0,得(x-2t)2+(y-t)2=4+2t2,∴ 二、填空題 5.已知曲線(θ為參數(shù),0≤θ<2π),下列各點(diǎn)A(1,3),B(2,2),C(-3,5),其中在曲線上的點(diǎn)是________. 解析:將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得:θ=0或π,將B,C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程,方程無解,故A點(diǎn)在曲線上. 答案:A(1,3) 6.若曲線經(jīng)過點(diǎn),則a=________. 解析:將點(diǎn)代入曲線方程得cos θ=,a=2sin θ=2 =. 答案: 7.動點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動,它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12,運(yùn)動開始時,點(diǎn)M位于A(1,1),則點(diǎn)M的參數(shù)方程為__________. 解析:設(shè)M(x,y),則在x軸上的位移為x=1+9t,在y軸上的位移為y=1+12t.∴其參數(shù)方程為 答案: 三、解答題 8.如圖,已知定點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)Q是圓C:x2+y2=1上的動點(diǎn),∠AOQ的平分線交AQ于點(diǎn)M,當(dāng)Q在圓C上運(yùn)動時,求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程. 解:設(shè)點(diǎn)O到AQ的距離為d, 則|AM| d=|OA||OM|sin ∠AOM, |QM|d=|OQ||OM|sin ∠QOM, 又∠AOM=∠QOM, 所以==2,所以=AQ―→. 設(shè)點(diǎn)Q(cos θ,sin θ),M(x,y), 則(x-2,y-0)=(cos θ-2,sin θ-0), 即x=+cos θ,y=sin θ, 故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 9.某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí),已知飛機(jī)離地面高度為H=2 000 m,水平飛行速度為v1=100 m/s,如圖所示. (1)求飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度; (2)如果飛機(jī)追擊一輛速度為v2=20 m/s同向行駛的汽車,欲使炸彈擊中汽車,飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈?(g=10 m/s2) 解:(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時刻為0 s,在時刻t s時其坐標(biāo)為M(x,y), 易知炸彈在飛行時作平拋運(yùn)動, 依題意得 即 令y=2 000-5t2=0,得t=20, 所以飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移為100t m,離地面的高度為(2 000-5t2)m,其中0≤t≤20. (2)易知炸彈的水平方向運(yùn)動和汽車的運(yùn)動均為勻速直線運(yùn)動.以汽車為參考系,水平方向上s相對=v相對t,所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s=(v1-v2)t=(100-20)20=1 600 m. 10.試確定過M(0,1)作橢圓x2+=1的弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 解:設(shè)過M(0,1)的弦所在的直線方程為y=kx+1, 其與橢圓的交點(diǎn)為(x1,y1)和(x2,y2). 設(shè)中點(diǎn)P(x,y),則有x=,y=. 由得(k2+4)x2+2kx-3=0, ∴x1+x2=,y1+y2=, ∴就是以動弦斜率k為參數(shù)的動弦中點(diǎn)的軌跡方程.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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