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第2講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。 初中階段大家已經(jīng)學習了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。如三角形角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個端點的距離相等，諸如此類。 在高中學習中，還會涉及到三角形三條中線交點（重心）、三條高線交點（垂心）、三條邊的垂直平分線交點（外心）及三條內(nèi)角平分線交點（內(nèi)心）的問題，因而有必要進一步了解它們的性質(zhì)。 【知識梳理】 三角形的四心 (1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形各邊的距離相等． (2)高線：三角形的三條高線交于一點，這點叫做三角形的垂心． (3)中線：三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心． (4)垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的距離相等． 【典例解析】求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1. 已知：D、E、F分別為△ABC三邊BC、CA、AB的中點， 求證：AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2：1. 【解析】 證明： 連結(jié)DE，設AD、BE交于點G， D、E分別為BC、AE的中點， 則DE//AB，且， ∽，且相似比為1：2， . 設AD、CF交于點，同理可得， 則與重合， AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成. 【解題反思】三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點. 【變式訓練】求證重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。 已知：為的重心, 求證： 【分析】可聯(lián)系重心的性質(zhì)，重心為中線的三等分點即；,在運用 等底，高成比例完成證明； 【點評】將重心的性質(zhì)借助相似比，推出了重心關于三角形面積的性質(zhì)。同時應當想到它還有其它性質(zhì)。 【典例解析】已知的三邊長分別為，I為的內(nèi)心，且I在的邊上的射影分別為， 求證：. 【解析】證明：作的內(nèi)切圓，則分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點， 為圓的從同一點作的兩條切線，， 同理，BD=BF，CD=CE. ； 即. 【解題反思】三角形的三條角平分相交于一點，這個交點稱為三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 【變式訓練】1.若三角形的內(nèi)心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形. 已知：O為三角形ABC的重心和內(nèi)心. 求證：三角形ABC為等邊三角形. 【解析】證明： 如圖，連AO并延長交BC于D. O為三角形的內(nèi)心，故AD平分， （角平分線性質(zhì)定理） O為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DC. ，即. 同理可得，AB=BC. 為等邊三角形. 【點評】等邊三角形具有四心合一的性質(zhì)。 【變式訓練】2.在三角形ABC中，G為重心，I為內(nèi)心，若AB=6， BC=5，CA=4，求的值．【分析】根據(jù)三角形重心性質(zhì)可得：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2），求得GI后代入求值即可． 【點評】本題考查了三角形的五心的知識，解題的關鍵是了解三角形重心性質(zhì)：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2）． 【典例解析】在中，為垂心，，，，為外接圓半徑， 求證:． 注此性質(zhì)的證明，或由勾股定理有 等，即可． 【解題反思】三角形的三條高線相交于一點為垂心，通過探究也具有豐富的性質(zhì)。 【變式訓練】設的外接圓半徑為，則 求證：，， 【解析】證明當為銳角三角形時，如圖， 顯然有，從而． 在中，， 故． 同理，，． 當為鈍角三角形時，不妨設為鈍角． 此時，只需調(diào)換圖中字母與，與的位置，圖形不變， 即得，，． 當為直角三角形時，不妨設為直角，此時，垂心與，，重舍． 顯然，，．