《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修1 -1.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修1 -1.doc(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
[課時(shí)作業(yè)]
[A組 基礎(chǔ)鞏固]
1.當(dāng)函數(shù)y=x2x取極小值時(shí),x=( )
A. B.- C.-ln 2 D.ln 2
解析:y′=2x+x2xln 2=0,∴x=-.
答案:B
2.函數(shù)f(x)=sin x+,x∈(0,π)的極大值是( )
A.+ B.-+
C.+ D.1+
解析:f ′(x)=cos x+,x∈(0,π),
由f ′(x)=0得cos x=-,x=.
且x∈時(shí)f ′(x)>0;x∈時(shí)f ′(x)<0,
∴x=時(shí),
f(x)有極大值f=+.
答案:C
3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則f(2)等于( )
A.11或18 B.11 C.18 D.17或18
解析:∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,
∴f(1)=10,且f ′(1)=0,
即
解得或
而當(dāng)時(shí),函數(shù)在x=1處無(wú)極值,
故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16,
∴f(2)=18.故選C.
答案:C
4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b),其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的極大值點(diǎn)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:依題意,記函數(shù)y=f ′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)自左向右依次為x1,x2,x3,x4,當(dāng)a
0;當(dāng)x10,
故x=0時(shí)函數(shù)f(x)取極小值f(0)=c.
答案:c
7.若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.
解析:f ′(x)=3x2-6b.
當(dāng)b≤0時(shí),f ′(x)≥0恒成立,函數(shù)f(x)無(wú)極值.
當(dāng)b>0時(shí),令3x2-6b=0得x=.
由函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值,可得0<<1,
∴00,故-2是g(x)的極值點(diǎn).
當(dāng)-21時(shí),g ′(x)>0,故1不是g(x)的極值點(diǎn).
所以g(x)的極值點(diǎn)為-2.
10.已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.
解析:(1)f ′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f ′(0)=4,故b=4,a+b=8.
從而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f ′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f ′(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.
從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)時(shí),f ′(x)>0;當(dāng)x∈(-2,-ln 2)時(shí),f ′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln 2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).
[B組 能力提升]
1.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不可能為y=f(x)圖象的是( )
解析:因?yàn)閇f(x)ex]′=f ′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f ′(x)]ex,且x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),所以f(-1)+f ′(-1)=0;選項(xiàng)D中,f(-1)>0,f ′(-1)>0,不滿足f ′(-1)+f(-1)=0.
答案:D
2.三次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有極大值4,當(dāng)x=3時(shí)有極小值0,且函數(shù)過(guò)原點(diǎn),則此函數(shù)是( )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
解析:三次函數(shù)過(guò)原點(diǎn),可設(shè)f(x)=x3+bx2+cx,則f ′(x)=3x2+2bx+c.由題設(shè)有
解得b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x,f ′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值4,當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)取得極小值0,滿足條件.
答案:B
3.若函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值,則a=________.
解析:f′(x)==.因?yàn)閒(x)在x=1處取得極值,所以1是f′(x)=0的根,將x=1代入得a=3.
答案:3
4.設(shè)f(x)=,則f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別是________.
解析:對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=.?、?
若f′(x)=0,
則4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.
結(jié)合①,可知
x
(-∞,)
(+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
極大值
極小值
所以x1=是極小值點(diǎn),x2=是極大值點(diǎn).
答案:,
5.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍.
解析:(1)f ′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
當(dāng)a<0時(shí),對(duì)x∈R,有f ′(x)>0,
∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),由f ′(x)>0,解得x<-或x>,
由f ′(x)<0,解得-0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-),(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-,).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f ′(-1)=3(-1)2-3a=0,解得a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,f ′(x)=3x2-3.
由f ′(x)=0,解得x=-1或x=1.
由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合圖象可知m的取值范圍是(-3,1).
6.已知函數(shù)f(x)=x2-2ln x,h(x)=x2-x+a.
(1)求函數(shù)f(x)的極值.
(2)設(shè)函數(shù)k(x)=f(x)-h(huán)(x),若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析:(1)f(x)的定義域是(0,+∞).
令f′(x)=2x-=0,得x=1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
所以f(x)在x=1處取得極小值,又f(1)=1,
所以f(x)的極小值為1,無(wú)極大值.
(2)k(x)=f(x)-h(huán)(x)
=x-2ln x-a(x>0),
所以k′(x)=1-,令k′(x)>0,
得x>2,令k′(x)<0,得0<x<2,
所以k(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
要使函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),
則需
所以2-2ln 2<a≤3-2ln3。
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