2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 2 圓的參數(shù)方程講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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2.圓的參數(shù)方程 圓的參數(shù)方程 (1)在t時刻,圓周上某點M轉(zhuǎn)過的角度是θ,點M的坐標(biāo)是(x,y),那么θ=ωt(ω為角速度).設(shè)|OM|=r,那么由三角函數(shù)定義,有cos ωt=,sin ωt=,即圓心在原點O,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).其中參數(shù)t的物理意義是:質(zhì)點做勻速圓周運動的時刻. (2)若取θ為參數(shù),因為θ=ωt,于是圓心在原點O,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).其中參數(shù)θ的幾何意義是:OM0(M0為t=0時的位置)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時,OM0轉(zhuǎn)過的角度. (3)若圓心在點M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(0≤θ<2π). 求圓的參數(shù)方程 [例1] 根據(jù)下列要求,分別寫出圓心在原點,半徑為r的圓的參數(shù)方程. (1)在y軸左側(cè)的半圓(不包括y軸上的點); (2)在第四象限的圓?。? [解] (1)由題意,圓心在原點,半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π)),在y軸左側(cè)半圓上點的橫坐標(biāo)小于零,即x=rcos θ<0,所以有<θ<,故其參數(shù)方程為. (2)由題意,得解得<θ<2π.故在第四象限的圓弧的參數(shù)方程為. (1)確定圓的參數(shù)方程,必須仔細(xì)閱讀題目所給條件,否則,就會出現(xiàn)錯誤,如本題易忽視θ的范圍而致誤. (2)由于選取的參數(shù)不同,圓有不同的參數(shù)方程. 1.已知圓的方程為x2+y2=2x,寫出它的參數(shù)方程. 解:x2+y2=2x的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1, 設(shè)x-1=cos θ,y=sin θ, 則參數(shù)方程為(0≤θ<2π). 2.已知點P(2,0),點Q是圓上一動點,求PQ中點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 解:設(shè)中點M(x,y).則即(θ為參數(shù))這就是所求的軌跡方程.它是以(1,0)為圓心,為半徑的圓. 圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 [例2] 若x,y滿足(x-1)2+(y+2)2=4,求2x+y的最值. [思路點撥] (x-1)2+(y+2)2=4表示圓,可考慮利用圓的參數(shù)方程將求2x+y的最值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題. [解] 令x-1=2cos θ,y+2=2sin θ, 則有x=2cos θ+1,y=2sin θ-2, 故2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2=4cos θ+2sin θ=2sin(θ+φ), ∴-2≤2x+y≤2, 即2x+y的最大值為2,最小值為-2. 圓的參數(shù)方程突出了工具性作用,應(yīng)用時,把圓上的點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程形式,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)知識解決問題. 3.已知圓C與直線x+y+a=0有公共點,求實數(shù)a的取值范圍. 解:將圓C的方程代入直線方程,得 cos θ-1+sin θ+a=0, 即a=1-(sin θ+cos θ)=1-sin. ∵-1≤sin≤1,∴1-≤a≤1+. 故實數(shù)a的取值范圍為[1-,1+]. 一、選擇題 1.已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則圓的圓心坐標(biāo)為( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(2,0) 解析:選D 將化為(x-2)2+y2=4,其圓心坐標(biāo)為(2,0). 2.已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則圓心到直線y=x+3的距離為( ) A.1 B. C.2 D.2 解析:選B 圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))化成普通方程為(x+1)2+y2=2,圓心(-1,0)到直線y=x+3的距離d==,故選B. 3.若直線y=ax+b經(jīng)過第二、三、四象限,則圓(θ為參數(shù))的圓心在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 解析:選B 根據(jù)題意,若直線y=ax+b經(jīng)過第二、三、四象限,則有a<0,b<0.圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),圓心坐標(biāo)為(a,b),又由a<0,b<0,得該圓的圓心在第三象限,故選B. 4.P(x,y)是曲線(α為參數(shù))上任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值為( ) A.36 B.6 C.26 D.25 解析:選A 設(shè)P(2+cos α,sin α),代入得, (2+cos α-5)2+(sin α+4)2 =25+sin2α+cos2α-6cos α+8sin α =26+10sin(α-φ),所以其最大值為36. 二、填空題 5.x=1與圓x2+y2=4的交點坐標(biāo)是________. 解析:圓x2+y2=4的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) 令2cos θ=1,得cos θ=,∴sin θ=. ∴交點坐標(biāo)為(1,)和(1,-). 答案:(1,),(1,-) 6.曲線(θ為參數(shù))與直線x+y-1=0相交于A,B兩點,則|AB|=________. 解析:根據(jù)題意,曲線(θ為參數(shù))的普通方程為x2+(y-1)2=1, 表示圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑r=1的圓, 而直線的方程為x+y-1=0,易知圓心在直線上, 則AB為圓的直徑,故|AB|=2r=2. 答案:2 7.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin =1,圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則直線l與圓C相交所得的弦長為________. 解析:直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=1, 展開可得ρsin θ+ρcos θ=1,化為直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0,圓C的參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(x-2)2+(y+)2=4, 可得圓心坐標(biāo)為(2,-),半徑r=2. 圓心C到直線l的距離d==. ∴直線l與圓C相交所得弦長=2=2 =. 答案: 三、解答題 8.將參數(shù)方程(t為參數(shù),0≤t≤π)化為普通方程,并說明方程表示的曲線. 解:因為0≤t≤π,所以-3≤x≤5,-2≤y≤2.因為所以(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,所以曲線的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2).它表示的曲線是以點(1,-2)為圓心,4為半徑的上半圓. 9.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,θ∈. (1)求C的參數(shù)方程; (2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo). 解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤t≤π). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan t=,t=. 故D的直角坐標(biāo)為,即. 10.在極坐標(biāo)系中,已知三點O(0,0),A,B. (1)求經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程; (2)以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)),若圓C1與圓C2外切,求實數(shù)a的值. 解:(1)O(0,0),A,B對應(yīng)的直角坐標(biāo)分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過點O,A,B的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,將代入可求得經(jīng)過點O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos. (2)圓C2:(θ是參數(shù))對應(yīng)的普通方程為(x+1)2+(y+1)2=a2,圓心為(-1,-1),半徑為|a|,由(1)知圓C1的圓心為(1,1),半徑為, 所以當(dāng)圓C1與圓C2外切時,有+|a|=,解得a=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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