《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 本講知識歸納與達(dá)標(biāo)驗收講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 本講知識歸納與達(dá)標(biāo)驗收講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第二講 參數(shù)方程 考情分析 通過對近幾年高考試題的分析可見，高考對本講知識的考查，主要是以參數(shù)方程為工具，考查直線與圓或與圓錐曲線的有關(guān)的問題． 真題體驗 1．(2017全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解：(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 2．(2017江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當(dāng)s＝時，dmin＝. 因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. 3．(2016江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1， 得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝. 曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化 1.消參的常用方法 (1)代入消參法，是指由曲線的參數(shù)方程中的某一個(或兩個)得到用x(或y，或x，y)表示參數(shù)的式子，把其代入?yún)?shù)方程中達(dá)到消參的目的． (2)整體消參法，是指通過恰當(dāng)?shù)淖冃伟褍墒狡椒较嗉?或相減、相乘、相除)達(dá)到消參的目的，此時常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等． 2．消參的注意事項 (1)消參時，要特別注意參數(shù)的取值對變量x，y的影響，否則易擴大變量的取值范圍． (2)參數(shù)方程中變量x，y就是參數(shù)的函數(shù)，可用求值域的方法確定變量x，y的取值范圍． [例1]　直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切，則直線的傾斜角α等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　直線(t為參數(shù))化為普通方程為xtan α－y＝0. 圓(φ為參數(shù))化為普通方程為(x－4)2＋y2＝4，可得圓心坐標(biāo)為(4,0)，半徑r＝2. ∵直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切， ∴＝2，又α>，解得tan α＝－. 又α為直線的傾斜角，∴α＝. [答案]　A [例2]　參數(shù)方程表示的曲線是什么？ [解]　化為普通方程是x2＋y2＝25， ∵－≤θ≤， ∴0≤x≤5，－5≤y≤5. ∴表示以(0,0)為圓心，5為半徑的右半圓. 直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用 1．直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 直線參數(shù)方程的一般形式為(t為參數(shù))，只有當(dāng)b≥0，a2＋b2＝1時，上述方程組才為直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，直線經(jīng)過的起點坐標(biāo)為M0(x0，y0)，直線上另外兩點M1(x1，y1)，M2(x2，y2)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，這時就有|M0M1|＝|t1|，|M0M2|＝|t2|，|M1M2|＝|t1－t2|. 2．直線參數(shù)方程的應(yīng)用 直線的參數(shù)方程應(yīng)用十分廣泛，特別在計算與圓錐曲線的相交弦的弦長時，可以利用參數(shù)的幾何意義和弦長公式求解，這樣可以避免因運用直線和圓錐曲線的方程所組成的方程組求解導(dǎo)致的煩瑣運算，從而簡化解題過程，優(yōu)化解題思路． 3．應(yīng)用直線的參數(shù)方程求弦長的注意事項 (1)直線的參數(shù)方程應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)形式． (2)要注意直線傾斜角的取值范圍． (3)設(shè)直線上兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. (4)套公式|t1－t2|求弦長． [例3]　已知點P(3,2)平分拋物線y2＝4x的一條弦AB，求弦AB的長． [解]　設(shè)弦AB所在的直線方程為 (t為參數(shù))， 代入方程y2＝4x整理得： t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.① 因為點P(3,2)是弦AB的中點，由參數(shù)t的幾何意義可知，方程①的兩個實根t1，t2滿足關(guān)系t1＋t2＝0. 即sin α－cos α＝0. 因為0≤α＜π，所以α＝. 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝8. 曲線的參數(shù)方程及其應(yīng)用 圓心為(a，b)，半徑為r的圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))； 長半軸為a，短半軸為b，中心在原點的橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，圓、橢圓的參數(shù)方程在計算最大值、最小值和取值范圍等問題中有著廣泛的應(yīng)用，利用圓、橢圓的參數(shù)方程將上述問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，利用三角函數(shù)的變換公式可以簡化計算，從而避免了繁雜的代數(shù)運算． [例4]　(2017全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. [解]　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. (時間：90分鐘，總分120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知曲線的方程為(t為參數(shù))，則下列點中在曲線上的是(　　) A．(1,1)　　　　　　　　 B．(2,2) C．(0,0) D．(1,2) 解析：選C　當(dāng)t＝0時，x＝0且y＝0.即點(0,0)在曲線上． 2．直線x＋y＝0被圓(θ為參數(shù))截得的弦長是(　　) A．3 B．6 C．2 D. 解析：選B　圓的普通方程為x2＋y2＝9，半徑為3，直線x＋y＝0過圓心，故所得弦長為6. 3．當(dāng)參數(shù)θ變化時，動點P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線必過(　　) A．點(2,3) B．點(2,0) C．點(1,3) D．點 解析：選B　令x＝2cos θ，y＝3sin θ，則動點(x，y)的軌跡是橢圓：＋＝1，∴曲線過點(2,0)． 4．若曲線C的參數(shù)方程為參數(shù)θ∈，則曲線C(　　) A．表示直線 B．表示線段 C．表示圓 D．表示半個圓 解析：選D　由得 ∴＋(y－1)2＝1， 整理得x2＋(y－1)2＝4， 由θ∈得0≤≤1，－1≤(y－1)≤1，∴0≤x≤2，－1≤y≤3， ∴曲線C表示半個圓，故選D. 5．將曲線的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．x2＋y2＝16 B．x2＋y2＝16(x≥4) C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝16(x≥4) 解析：選D　在(t為參數(shù))中，分別將x及y平方作差，得x2－y2＝2－2＝16t＋8＋－＝16， 由x＝4＋≥2＝4，得x≥4， 故曲線的參數(shù)方程化成普通方程為x2－y2＝16(x≥4)． 6．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　由題意得，直線l的普通方程為y＝x－4，圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心到直線l的距離d＝＝，直線l被圓C截得的弦長為2＝2. 7．若(θ為參數(shù))，則點(x，y)的軌跡是(　　) A．直線x＋2y＝0 B．以(2,0)為端點的射線 C．圓(x－1)2＋y2＝1 D．以(2,0)和(0,1)為端點的線段 解析：選D　∵(θ為參數(shù))， ∴(θ為參數(shù))， 消去參數(shù)θ，得x＝2(1－y)，即x＋2y－2＝0， 由x＝2cos2θ得0≤x≤2， ∴點(x，y)的軌跡是以(2,0)和(0,1)為端點的線段． 8．參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為(　　) A．(1,0)，(0，－2) B．(－1,0)，(0,1) C．(0，－1)，(1,0) D．(－3,0)，(0,3) 解析：選D　參數(shù)方程(t為參數(shù))消去參數(shù)t，得x－y＋3＝0， 令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝－3. ∴直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為(0,3)，(－3,0)． 9．已知圓的漸開線(φ為參數(shù))上有一個點的坐標(biāo)為(3,0)，則漸開線對應(yīng)的基圓的面積為(　　) A．π B．3π C．6π D．9π 解析：選D　把已知點(3,0)代入?yún)?shù)方程得由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r(cos 0＋0)，所以r＝3，所以基圓的面積為9π. 10．已知點(x，y)滿足曲線方程(θ為參數(shù))，則的最小值是(　　) A. B. C. D．1 解析：選D　曲線方程 (θ為參數(shù))化為普通方程得(x－4)2＋(y－6)2＝2， ∴曲線是以C(4,6)為圓心，以為半徑的圓， ∴表示原點和圓上的點的連線的斜率，如圖，當(dāng)原點和圓上的點的連線是切線OA時，取最小值， 設(shè)過原點的切線方程為y＝kx， 則圓心C(4,6)到切線y＝kx的距離 d＝＝，即7k2－24k＋17＝0， 解得k＝1或k＝，∴的最小值是1. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．雙曲線(θ為參數(shù))的漸近線方程為______________． 解析：雙曲線的普通方程為－x2＝1， 由－x2＝0，得y＝2x，即為漸近線方程． 答案：y＝2x 12．若直線l的參數(shù)方程為(t∈R，t為參數(shù))，則直線l在y軸上的截距是________． 解析：令x＝0，可得t＝1，y＝1，∴直線l在y軸上的截距是1. 答案：1 13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝－4cos θ，則圓C的圓心到直線l的距離為________． 解析：直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化成普通方程為x－y＋1＝0，ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＋4x＝0，也即(x＋2)2＋y2＝4，表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓．∴圓C的圓心到直線l的距離為＝. 答案： 14．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＋3＝0，設(shè)點P是曲線C上的一個動點，則P到直線l的距離d的取值范圍是________． 解析：(t為參數(shù))，消去t，得直線l的普通方程為x－y＋2＝0.由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＋3＝0得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝1.設(shè)點P(2＋cos θ，sin θ)(θ∈R)， 則d＝ ＝，因為θ∈R，所以d的取值范圍是[2－1,2＋1]． 答案：[2－1,2＋1] 三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4，解得－2≤a≤2. 所以實數(shù)a的取值范圍為[－2，2]． 16．(本小題滿分12分)已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，它與曲線(y－2)2－x2＝1交于A，B兩點． (1)求AB的長； (2)求點P(－1,2)到線段AB的中點C的距離． 解：(1)把直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線方程并化簡得7t2＋6t－2＝0.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－，t1t2＝－.|AB|＝|t1－t2|＝5＝. (2)根據(jù)中點坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB的中點C對應(yīng)的參數(shù)為＝－.所以點P(－1,2)到線段AB的中點C的距離為＝. 17．(本小題滿分12分)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為傾斜角)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率； (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍． 解：(1)由已知得直線l經(jīng)過定點P(3,4)，而圓C的圓心是C(1，－1)，所以當(dāng)直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率k＝. (2)由圓C的參數(shù)方程為得圓C的圓心是C(1，－1)，半徑為2，由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，因為直線l與圓C交于兩個不同的點，所以圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<2，解得k>.所以直線l的斜率的取值范圍為. 18．(本小題滿分14分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝3，射線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 解：(1)圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (2)設(shè)P(ρ1，θ1)，則由解得ρ1＝1，θ1＝. 2ρsin＝3，即ρ(sin θ＋cos θ)＝3. 設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝3，θ2＝. 又θ1＝θ2， 所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2. 模塊綜合檢測 (時間90分鐘，滿分120分) 一、選擇題(本大題共10個小題，每個小題5分，滿分50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝sin θ的圓心的極坐標(biāo)是(　　) A.　　　　　　 B．(1,0) C. D. 解析：選C　將圓的極坐標(biāo)方程ρ＝sin θ化成直角坐標(biāo)方程為x2＋2＝，可知圓心的直角坐標(biāo)為，化為極坐標(biāo)為.故選C. 2．在極坐標(biāo)系中，過點且與極軸平行的直線方程是(　　) A．ρ＝2 B．θ＝ C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2 解析：選D　極坐標(biāo)為的點的直角坐標(biāo)為(0,2)，過該點且與極軸平行的直線的方程為y＝2，其極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝2. 3．在同一坐標(biāo)系中，將曲線y＝2sin x變?yōu)榍€y′＝sin 2x′的伸縮變換是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設(shè) 則μy＝sin 2λx，即y＝sin 2λx， ∴解得故選B. 4．若曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則下列說法中正確的是(　　) A．曲線C是直線且過點(－1,2) B．曲線C是直線且斜率為 C．曲線C是圓且圓心為(－1,2) D．曲線C是圓且半徑為|t| 解析：選A　曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消去參數(shù)t得曲線C的普通方程為x－y＋2＋＝0.該方程表示直線，且斜率是.把(－1,2)代入，成立， ∴曲線C是直線且過點(－1,2)，故選A. 5．點M的極坐標(biāo)是，它關(guān)于直線θ＝的對稱點坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　當(dāng)ρ<0時，它的極角應(yīng)在反向延長線上．如圖，描點時，先找到角－的終邊，又因為ρ＝－2<0，所以再在反向延長線上找到離極點2個單位長度的點即是點.直線θ＝就是極角為的那些點的集合．故M關(guān)于直線θ＝的對稱點為M′，但是選項沒有這樣的坐標(biāo)．又因為M′的坐標(biāo)還可以寫成M′，故選B. 6.已知雙曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，在下列直線的參數(shù)方程中， ①?、凇、? ④?、? (以上方程中t為參數(shù))，可以作為雙曲線C的漸近線方程的是(　　) A．①③⑤ B．①⑤ C．①②④ D．②④⑤ 解析：選A　由雙曲線的參數(shù)方程知，在雙曲線中對應(yīng)的a＝3，b＝4且雙曲線的焦點在x軸上，因此其漸近線方程是y＝x.檢驗所給直線的參數(shù)方程可知只有①③⑤適合條件． 7．已知過曲線(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上一點P與原點O的連線PO的傾斜角為，則點P的坐標(biāo)是(　　) A．(0,3) B. C．(－3,0) D. 解析：選A　曲線的普通方程為x2＋y2＝9(0≤x≤3)，∵點P與原點O的連線PO的傾斜角為，∴點P的橫坐標(biāo)為0，將x＝0代入x2＋y2＝9得y＝3(y＝－3舍去)，∴P(0,3)．故選A. 8．在極坐標(biāo)系中，由三條直線θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1圍成的圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　三條直線的直角坐標(biāo)方程依次為y＝0，y＝x，x＋y＝1，如圖．圍成的圖形為△OPQ，可得 S△OPQ＝|OQ||yP|＝1＝. 9．點(ρ，θ)滿足3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，則ρ2的最大值為(　　) A. B．4 C. D．5 解析：選B　由3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，兩邊乘ρ，化為3x2＋2y2＝6x，得y2＝3x－x2，代入ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2＝－x2＋3x＝－(x2－6x＋9)＋＝－(x－3)2＋.因為y2＝3x－x2≥0，可得0≤x≤2，故當(dāng)x＝2時，ρ2＝x2＋y2的最大值為4. 10．過橢圓C：(θ為參數(shù))的右焦點F作直線l：交C于M，N兩點，|MF|＝m，|NF|＝n，則＋的值為(　　) A. B. C. D．不能確定 解析：選B　曲線C為橢圓＋＝1，右焦點為F(1,0)，設(shè)l：(t為參數(shù))，將其代入橢圓方程得(3＋sin2θ)t2＋6cos θt－9＝0， 則t1＋t2＝－，t1t2＝－， ∴＋＝＋＝＝＝. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上) 11．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C： (t 為參數(shù))的普通方程為________． 解析：直接化簡，兩式相減消去參數(shù)t得，x－y＝1，整理得普通方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x＋y－6＝0，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π))，則圓心C到直線l的距離為________． 解析：圓C的參數(shù)方程(參數(shù)θ∈[0,2π))化成普通方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心為(0,2)，半徑為2，∴圓心C到直線l的距離為＝2. 答案：2 13．在極坐標(biāo)系中，曲線C1 與C2 的方程分別為 2ρcos2θ＝sin θ與 ρcos θ＝1，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為 x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1 與C2交點的直角坐標(biāo)為________． 解析：由2ρcos2θ＝sin θ?2ρ2cos2θ＝ρsin θ?2x2＝y(tǒng)， 又由ρcos θ＝1?x＝1，由?故曲線C1與C2交點的直角坐標(biāo)為(1,2)． 答案：(1,2) 14．在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin＝.若以極點為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則直線C1的直角坐標(biāo)方程為______；若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1被C2截得的弦長為________． 解析：直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin＝， 即ρsin θ＋ρcos θ＝2， ∴直線C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 曲線C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))化成普通方程為x2＋(y－1)2＝1，表示圓，圓心到直線C1的距離d＝，∴C1被C2截得的弦長為2 ＝. 答案：x＋y－2＝0　 三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，求直線l與曲線C的交點P的直角坐標(biāo)． 解：因為直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)， 所以直線l的普通方程為y＝x，① 又因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 y＝x2(x∈[－2,2])，② 聯(lián)立①②得或(舍去) 故點P的直角坐標(biāo)為(0,0)． 16．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點A在直線l上． (1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 解：(1)由點A在直線ρcos＝a上，可得a＝. 所以直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2. 從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. (2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1， 所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1， 因為圓心C到直線l的距離d＝＝<1，所以直線l與圓C相交． 17．(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)以原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圓C上任意一點M(x，y)，求△ABM面積的最大值． 解：(1)因為圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 所以普通方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝4. 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2＝4， 化簡可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. (2)由已知得直線AB的方程為x－y＋2＝0， 點M(x，y)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為d＝＝， 又|AB|＝＝2， 所以△ABM的面積S＝|AB|d ＝|2cos θ－2sin θ＋9| ＝， 所以△ABM面積的最大值為9＋2. 18．(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0. (1)求C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若P，Q分別為C1，C2上的動點，且|PQ|的最小值為2，求k的值． 解：(1)由(t為參數(shù))消去t可得C1的普通方程為y＝k(x－1)，它表示過定點(1,0)，斜率為k的直線． 由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圓心為(－5,3)，半徑為1的圓． (2)由題意知直線與圓相離．因為圓心(－5,3)到直線y＝k(x－1)的距離d＝＝，故|PQ|的最小值為－1，由－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－.