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專題14 解三角形 一、考綱要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． 2. 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的. 2.(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用. (3)重視在余弦定理中用均值不等式，實(shí)現(xiàn)a2＋b2，ab，a＋b三者的互化. 　 3.判定三角形形狀的兩種常用途徑 (1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. 4.解決測量角度問題的注意事項(xiàng) (1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義. (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步. (3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用. 三、高考考題題例分析： 例1.(2016全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　解析：由余弦定理得5＝b＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D． 例2.(2016全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________ 　解析：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝. 例3.(2017全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. 例4.(2017全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. [解]　(1)由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cosB－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－2ac(1＋cos B)＝36－2＝4. 所以b＝2. 例5.（2018全國卷I）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2，求BC． （2）∵∠ADC=90，∴cos∠BDC=sin∠ADB=， ∵DC=2， ∴BC= ==5． 　 例6.（2018全國卷II）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（　　） A．4 B． C． D．2 解析：在△ABC中，cos=，cosC=2=﹣， BC=1，AC=5，則AB====4． 故選：A． 例7.（2018全國卷III）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（　?。? A． B． C． D． 例8.（2018北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC邊上的高． 解析：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是銳角， ∵cosB=﹣，∴sinB===， 由正弦定理得=得sinA===， 則A=． 　例9.（2018天津卷）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）． （Ⅰ）求角B的大?。? （Ⅱ）設(shè)a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB， 又bsinA=acos（B﹣）． ∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+， ∴tanB=， 又B∈（0，π），∴B=． （Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=， 由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=， ∵a＜c，∴cosA=， ∴sin2A=2sinAcosA=， cos2A=2cos2A﹣1=， ∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==． 例10.（2018江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為　?。? 解三角形練習(xí) 一、 選擇題： 1．在△ABC中，若＝，則B的值為(　　) A．30　　　　　　 B．45 C．60 D．90 B　解析：由正弦定理知：＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45. 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60，則此三角形的解的情況是(　　) A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定 C　解析：由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在． 3．△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　解析：根據(jù)余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，當(dāng)a＝1時(shí)，三角形ABC為等腰三角形，當(dāng)a＝2時(shí)，三角形ABC為直角三角形，故選D. 4．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120，則AC＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，則△ABC的面積為(　　) A． B． C．1 D．2 A　解析：因?yàn)閏os 2A＝sin A，所以1－2sin2A＝sin A，則sin A＝(舍負(fù))，則△ABC的面積為bcsin A＝2＝，故選A． 6．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東80 D．南偏西80 D　解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40，又∠BCD＝60，所以∠CBD＝30，所以∠DBA＝10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80. 7．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km 　　 B．a(chǎn) km C．a(chǎn) km D．2a km B　解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120， ∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120＝3a2，AB＝A． 8．如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30 m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于(　　) A．5 m B．15 m C．5 m D．15 m 9．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度為 (　　) A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h B　解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin θ＝＝，從而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－221，解得v＝6. 10．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，則A的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 11．(2017山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，則下列等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A A　解析：∵等式右邊＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin (A＋C)＝sin Acos C＋sin B， 等式左邊＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B. 由cos C>0，得sin A＝2sin B. 根據(jù)正弦定理，得a＝2b. 故選A． 12．在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為(　　) A． B． C． D． D　解析：由題意得sin2A＜sin2B＋sin2C， 再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.則cos A＝＞0， ∵0＜A＜π，∴0＜A＜. 又a為最大邊，∴A＞.因此角A的取值范圍是. 二、 填空題： 13．如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________． 14．(2017全國卷Ⅰ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝________. 　解析：因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C． 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角，故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝＝. 由A＝知C為銳角，故C＝. 15．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，sin A，sin B，sin C成等差數(shù)列，且a＝2c，則cos A＝________. 16．如圖3816，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 150　解析：根據(jù)題圖，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180－75－60＝45. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60， ∴MN＝100＝150(m)． 三、 解答題： 17. 如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acos C－c＝2b. (1)求角A的大小； (2)若c＝，角B的平分線BD＝，求A． [解]　(1)∵2acos C－c＝2b， ∴由正弦定理得2sin Acos C－sin C＝2sin B， 2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C) ＝2sin Acos C＋2cos Asin C， ∴－sin C＝2cos Asin C． ∵sin C≠0，∴cos A＝－. 又A∈(0，π)，∴A＝. 18．(2016全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長． [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C． 可得cos C＝，所以C＝. (2)由已知得absin C＝. 又C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長為5＋. 19．如圖，航空測量組駕駛飛機(jī)飛行的航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s，某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5，求山頂?shù)暮０胃叨龋?取≈1.4，≈1.7) [解]　如圖，作CD垂直直線AB于點(diǎn)D， 20．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若tan A＋tan C＝(tan Atan C－1)． (1)求角B； (2)如果b＝2，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)∵tan A＋tan C＝(tan Atan C－1)， 即＝－，∴tan(A＋C)＝－， 又∵A＋B＋C＝π，∴tan B＝， ∵B為三角形內(nèi)角，∴B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝，∴a2＋c2＝ac＋4， ∵a2＋c2≥2ac， ∴ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，等號成立， ∴△ABC的面積S＝acsin B ≤4＝， ∴△ABC面積的最大值為. 22．“德是”號飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域安排了同一條直線上的三個(gè)救援中心，如圖3817(記為B，C，D)．當(dāng)返回艙在距地面1萬米的P點(diǎn)時(shí)(假定以后垂直下落，并在A點(diǎn)著陸)，C救援中心測得飛船位于其南偏東60方向，仰角為60，B救援中心測得飛船位于其南偏西30方向，仰角為30，D救援中心測得著陸點(diǎn)A位于其正東方向. (1)求B，C兩救援中心間的距離； (2)求D救援中心與著陸點(diǎn)A間的距離． [解]　(1)由題意知PA⊥AC，PA⊥AB，則△PAC，△PAB均為直角三角形． 在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60，解得AC＝，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30，解得AB＝， 又∠CAB＝90，BC＝＝萬米．