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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修一 3-1-1 方程的根與函數(shù)的零點 教案 一、 教學內容解析 《方程的根與函數(shù)的零點》是人教A版必修一第三章《函數(shù)的應用》第一節(jié)的內容.必修一共分為三章，第一章介紹了函數(shù)的概念及性質，第二章引入了指、對、冪三種基本初等函數(shù).本章是函數(shù)應用問題，主要分為兩個層面：（1）數(shù)學學科內部應用，如方程的根與函數(shù)的零點的關系，可以通過函數(shù)方程思想，及數(shù)形結合思想，獲得函數(shù)的零點的具體取值或零點所在的區(qū)間.零點存在性定理的引入，為一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的應用.通過建立函數(shù)模型來解決相應問題，使之前一、二章所學內容與生活緊密聯(lián)系起來，感受數(shù)學在生活中的重要性. 本節(jié)課根據(jù)學生已經掌握的函數(shù)的內容，從初中二次方程與二次函數(shù)關系的具體學習，過渡到了高中一般方程與其相應函數(shù)關系的抽象研究，得出了函數(shù)零點的概念.進一步，通過對函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷，引入了零點存在性定理，是一節(jié)概念課.本節(jié)課不僅揭示了方程與函數(shù)之間的本質聯(lián)系，并且以“函數(shù)與方程”為理論基礎，為“二分法求方程的近似解”做了鋪墊，起到了承前啟后的作用. 二、教學目標設置 1．知識與技能：（1）理解函數(shù)零點的定義；（2）掌握零點存在區(qū)間的判斷方法. 2. 過程與方法：（1）由特殊的一元二次方程的根與相應二次函數(shù)的關系，推廣到一般方程與函數(shù)的 關系；（2）由特殊函數(shù)的零點所在區(qū)間的判斷推廣到一般情況；（3）由學生自主探究得到零點存在區(qū) 間的判斷方法. 3. 情感、態(tài)度、價值觀：（1）在學習的過程中，體會函數(shù)方程思想及數(shù)形結合思想的應用；（2）感 受學習、探索、發(fā)現(xiàn)的樂趣. 教學重點：函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成利用函數(shù)方程思想處理問題的意識. 教學難點：理解函數(shù)零點存在的判定條件. 三、學生學情分析： 通過前面的學習，學生已經了解了函數(shù)的概念、性質，以及一些基本初等函數(shù)的模型，可以熟練做出函數(shù)圖象，具備一定的看圖識圖能力，這為本節(jié)課提供了一定的知識基礎.但是針對高一學生，他們的思維習慣、動手作圖能力以及觀察、歸納、轉化等能力都還不強，在本節(jié)課的學習上還是會遇到一些困難.尤其是在本節(jié)的難點：零點存在性定理的學習上，由于零點存在性定理是高等數(shù)學下放的一個內容，它的證明需要用到《數(shù)學分析》中的連續(xù)函數(shù)的有關概念、區(qū)間套定理和局部保號定理，高中學生沒有這個知識基礎，因此高中學生學習這個知識只能通過一些特殊函數(shù)去探究.在探究過程中要突破三個關節(jié)點：一是在解決給定具體方程根的存在性問題時，很難想到將這個問題轉化為借助對應函數(shù)的圖象和性質來判斷.二是如何想得到：當函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線時，連接兩個端點的曲線經過軸（次數(shù)不限），即曲線與軸一定有公共點（個數(shù)不限），可以用來表示.三是對定理條件中圖象連續(xù)不斷以及對定理條件“充分而不必要性”的認識都有一定的難度.為此，在教學中要從具體函數(shù)和幾何直觀入手，給學生搭建腳手架，讓學生從特殊到一般，從具體到抽象，同時利用反例促成對定理本質的理解，突破學習難點. 所以在本節(jié)課的教學設計中，注重了從具體的、簡單的知識出發(fā)，經過逐層推廣，自主探究，獲得了一般性的結論的過程. 四、教學策略分析 1.教學方法的選定 在教學中，這節(jié)課采用以導學案教學，體現(xiàn)以學生為主體的教學方法.在教學手段上，充分利用 了多媒體及實物投影，發(fā)揮了教師的主導作用，充分調動學生學習的主動性，讓學生真正成為教學活動的主體. 在零點概念的教學上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教學方法，以具體的二次方程與相應二 次函數(shù)的關系為載體，引出了函數(shù)與方程的關系，并將其進行了推廣.而在零點存在性定理的教學中， 我主要采用了“啟發(fā)－探究－討論”的模式，找到問題討論的切入點后，將學生分成小組充分進行討 論，在思維上通過學生之間的質疑，產生火花，進而生成了定理的內容.這樣的講解，自然且易于理 解. 2.突破重、難點的策略 對于函數(shù)零點概念的引入，學生從解決熟悉的問題的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識與原有知識形成聯(lián)系，為新知識提供“?？奎c”.把函數(shù)零點的概念作為解決課堂探究問題的過程性知識，可以讓學生的探究更自主，思維活動更充分. 探究函數(shù)零點存在性定理是本課的難點.為突破這一難點，本節(jié)先利用例1（4）的變式引出定理的必要性，即不是所有的函數(shù)都可以直接求出零點，所以我們有必要掌握零點存在區(qū)間的判斷方法.而通過例1（4）的解決方法，由特殊到一般，過渡到對于一般的函數(shù)，，若在開區(qū)間內一定存在零點，應滿足什么條件？學生很容易找到切入點，即討論端點函數(shù)值的符號.之后通過分組討論獲得定理，這個過程體現(xiàn)了定理的合理性.這樣的引入，會讓學生感覺更加的自然，由此產生的討論，使定理的生成過程更加的水到渠成. 五、教學過程 教學活動 教師活動 學生活動 設計意圖 一．創(chuàng)設情境，提出問題 以短版形式講述解方程的歷史，而后出示引例：這樣的超越方程的根應如何求解？ 給出具體的三個一元二次方程及相應的二次函數(shù)填表.提出問題：方程的根與函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系？通過追問，引導學生準確回答二者的關系. 繼續(xù)追問：上述結論是否可以推廣到一般的一元二次方程與二次函數(shù)關系上？ 再次追問：上述結論是否可以推廣到一般方程與函數(shù)的關系上？ 學生積極思考，認真填表，利用實物投影分享結果.回答出方程的根與函數(shù)圖象和x軸交點的橫坐標相等. 學生思考，類比，歸納. 通過對數(shù)學史的了解增加民族自豪感，激發(fā)學生的求知欲. 體會方程的根與函數(shù)圖象的聯(lián)系，為零點概念的引出做好鋪墊. 由特殊到一般，感受零點產生的過程，使零點不再抽象，而是更加具體形象，便于零點概念的理解. 二、概念引入 1.總結零點概念，提問：零點是點么？ 2.概括零點的意義 3.零點求法：（1）代數(shù)法 （2）幾何法 理解、歸納 三、概念應用 給出4 個例題，其中前3個為代數(shù)解法，最后一個為幾何解法. 獨立完成，并于臺前展式.其中（4）題共有兩種求解思路. 通過例題的設置，加深零點求法，求解過程體現(xiàn)了函數(shù)方程思想及數(shù)形結合思想. 四、自主探究 提出問題：函數(shù)的零點已直接求出，但是不是所有的函數(shù)零點都可以在不借助信息技術的條件下，準確求出？ 追問：的零點取值情況怎樣？ 學生思考、質疑. 師生共同探究，發(fā)現(xiàn)不可直接獲得其零點. 引導：像這樣的函數(shù)，我們不能直接獲得其零點，所以我們更加觀注其零點所在區(qū)間.例如在[－1，1]上是否存在零點，只從解析式出發(fā)，如何判斷？ 推廣：對于函數(shù)，，若在開區(qū)間內一定存在零點，應滿足什么條件？ 巡視指導，適時點撥 組織展示，評價追問 學生思考，分析可利用的條件，計算出端點函數(shù)值，判斷其符號，結合圖象連續(xù)，得到圖象必穿過x軸的結論. 學生分小組討論： 探究1： （1） （2） （3） 探究2：在（2）的條件下，存在零點的個數(shù)唯一么？怎樣可使零點唯一？零點個數(shù)最少有幾個，最多有幾個？ 探究3：(2)的結論可逆么？ 各小組積極參與，并派代表到前面總結，在討論過程中，不斷的質疑，產生思維的火花，使學生成為課堂的主體. 通過具體問題的探究，為零點存在性定理討論的引出進行了鋪墊. 由特殊到一般，學生很容易找到問題討論的切入點：即利用端點函數(shù)值的符號進行分類，使得問題的引入更加自然. 通過以上學生們的討論，使得零點存在性定理的生成水到渠成. 五、定理應用 例2 判斷函數(shù)的零點個數(shù). 變式：函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ B ） (A) (B) (C) (D) 學生積極思考，獨立完成，并利用實物投影講解答題過程. 六、反思總結 引導學生回顧整個探究過程，生成數(shù)學知識：一個概念、一種關系和一個定理.數(shù)學思想方法 反思探究過程中，歸納蘊含的數(shù)學思想方法 一、數(shù)學知識方面 1.函數(shù)零點的概念 （1）定義：對于函數(shù)，使方程的實數(shù)叫做函數(shù)的零點（zero point）. （2）方程有實數(shù)根函數(shù)圖象與軸有交點函數(shù)有零點 2.零點存在性定理 如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即存在，使得，這個就是的根. 二、數(shù)學思想方法方面 函數(shù)與方程思想 數(shù)形結合思想 反思核心任務的解決過程，歸納提升知識、方法.學生親身經歷核心任務的解決過程，體驗所蘊含的思想方法，生成一個概念、一種關系和一個定理，符合學生的認知規(guī)律. 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點 一、函數(shù)零點的概念 1.定義 2.方程有實數(shù)根函數(shù)圖象與軸有交點函數(shù)有零點 3.零點的求法：代數(shù)法、幾何法 數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想 二、零點存在性定理 三、例題解析 例1（4） ……………………………………………………………………………… ……………………………………… 例2 ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… 六、板書設計