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2019-2020年人教B版選修2-3高中數(shù)學(xué)2.3.2《離散型隨機(jī)變量的方差》學(xué)案 【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】 　　1．了解離散型隨機(jī)變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望。 　　2．理解公式“E(aε+b)=aEε+b”，以及“若ε～B(n，p)，則Eε=np”。能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的期望。 　　3．了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 　　4．理解公式“”，以及“ε～B(n，p)，則Dε=npq（這里q=1-p）”，應(yīng)會用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。 　　　　【教材內(nèi)容全解】 　　離散型隨機(jī)變量的分布列完全決定了隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但是分布列往往不能明顯而集中地表現(xiàn)隨機(jī)變量的某些特點(diǎn)，例如它的取值的平均水平、集中位置、穩(wěn)定與波動情況、集中與離散程度等。離散型隨機(jī)變量的期望與方差就是體現(xiàn)上述特點(diǎn)的最重要的兩種特征數(shù)（或數(shù)字特征）。 　　1．期望 　?。?）概念分析 　　課本從一個具體的例子入手，引入了離散型隨機(jī)變量的期望的概念。對于這個概念，我們應(yīng)從以下兩點(diǎn)來理解： 　?、匐S機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中所取的平均值，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（期望）又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值。又由于離散型隨機(jī)變量的期望的計(jì)算是從它的概率分布出發(fā)，因而期望就是離散型隨機(jī)變量的概率平均值。 　?、谡n本中給出的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望實(shí)質(zhì)上是一個不嚴(yán)格的定義，所以課本中涉及到的離散型隨機(jī)變量所有可能取的不同值的個數(shù)是有限的，這個定義對于在離散型隨機(jī)變量取有限個值是成立的。今后不作特別說明離散型隨機(jī)變量的取值均為有限個不同值。 　?。?）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望的概念和意義，在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以用它來解決一些問題和作出科學(xué)的決策。 　　例如，對于本章引言中的一個問題。我們設(shè)該商場國慶節(jié)在商場外的促銷活動獲得的經(jīng)濟(jì)效益為ε萬元，則： 　　P(ε=10)=0.6，P(ε=-4)=0.4， 　　∴Eε=100.6+(-4) 0.4=4.4（萬元） 　　即國慶節(jié)在當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%的情況下，在商場外促銷活動的經(jīng)濟(jì)效益的期望為4.4萬元，超過在商場內(nèi)促銷活動可獲得的經(jīng)濟(jì)效益2萬元。所以，商場應(yīng)該選擇商場外的促銷活動。但應(yīng)注意，對于這樣一次商場外的促銷活動，該商場不是賺10萬，就是虧4萬元。若該商場每年國慶節(jié)均重復(fù)這樣的商業(yè)活動，那么，從平均意義上說，每次可獲的經(jīng)濟(jì)效益為這個期望值。正如概率作為隨機(jī)變量發(fā)生的頻率一樣，要在大量現(xiàn)象中才能顯現(xiàn)出來。 　?。?）關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù)η=aε+b的期望的計(jì)算公式的理解，關(guān)鍵是弄清的重要條件是，從而有，i=1，2，…由此可得到η的分布列，由期望的定義求得η的數(shù)學(xué)期望Eη=aEε+b。 　?。?）對二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望Eε=np的證明是本節(jié)的難點(diǎn)，可以按以下程序進(jìn)行思考： 　　設(shè)在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率p，η是k次試驗(yàn)中此事件發(fā)生的次數(shù)，令q=1-p，則k=1時(shí)，p(η=0)=q，p(η=1)=p， 　　Eη=0q+1p=p； 　　k=2時(shí)，，p(η=1)=2pq， 　　， 　　 　　 　　由此可知，在一次試驗(yàn)中，此事件平均發(fā)生p次；二次試驗(yàn)中，此事件平均發(fā)生2p次。由此，我們作出猜想，“若ε～B（n，p），則Eε=np”，為公式的證明作了必要的鋪墊。 　　努力探究數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，對一些數(shù)學(xué)結(jié)論逐步作出科學(xué)猜想，并給出理性的證明，有利于培養(yǎng)我們敢于獨(dú)立思考，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 　?。?）這部分教材安排了四個例題，其中例1和例2著重幫助理解期望概念。例1實(shí)際上指出了隨機(jī)事件發(fā)生的概率p與一次隨機(jī)試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的期望之間的相等關(guān)系。例2的隨機(jī)變量以相等的概率取6個不同數(shù)值，那么隨機(jī)變量的期望就等于這些不同數(shù)值的平均數(shù)，在一定程度上揭示了某類隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系。 　　例3是產(chǎn)品抽查問題，理解起來較困難。在這類問題中常涉及次品率、抽樣是否放回的問題。若采用放回抽樣，則各次抽樣時(shí)的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件。若采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，因而各次抽樣不獨(dú)立。但是直觀上看，當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量很大而抽查次數(shù)較少時(shí)，在抽樣時(shí)抽出次品與否對后面抽樣的次品率影響很小，因而也可以認(rèn)為各次抽樣是彼此獨(dú)立的。 　　例4是利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式解決實(shí)際問的一個例子。 　　2．方差 　?。?）方差的概念較難理解，因此課本采用與初中代數(shù)中介紹的一組數(shù)據(jù)的方差定義類比的方法，直接定義離散型隨機(jī)變量ε的方差。這樣我們對離散型隨機(jī)變量方差的概念的建立就不感到突然，而且理解起來也較容易。方差體現(xiàn)了隨機(jī)變量所取的值相對于它的期望的集中與離散、穩(wěn)定與波動的程度。它是繼數(shù)學(xué)期望后的另一種隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用。 　?。?）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算較復(fù)雜，教材只要求能根據(jù)定義求出離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。另外，為計(jì)算方便，課本上直接給出了兩個計(jì)算方差的簡單公式： 　?、?； 　?、谌绻拧獴（n，p），則Dε=npq。 　　這兩個公式只要求會應(yīng)用就行了。 　?。?）這部分教材中安排了兩個有關(guān)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的例題。在這兩個例題中，都有，但。其中例5中，和都以相等的概率取各個不同的數(shù)值，取較為分散的數(shù)值，取較為集中的數(shù)值。，，。方差比較清楚地指出了比取值更集中。由，，可以看出這兩個隨機(jī)變量取值與其期望的偏差，這個偏差我們甚至可以從隨機(jī)變量的分布列通過猜想得到。 　　在例6中，和所有可能取的值是一致的，只是概率分布不一樣。，這時(shí)通過和來比較和的集中與離散程度，即兩個射手射擊成績的穩(wěn)定狀況。 　　通過上述兩例我們可以明確在實(shí)際問題中，常常在或與很接近時(shí)用和來比較兩個隨機(jī)變量和，并決定取舍。 　　　　【難題巧解點(diǎn)撥】 　　例1 交5元錢，可以參加一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標(biāo)有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和。求抽獎人獲利的數(shù)學(xué)期望。 　　分析 抽到的2個球上的錢數(shù)之和ε是個隨機(jī)變量，其每一個ε取值時(shí)所代表的隨機(jī)事件的概率值是容易獲得的，本題的目標(biāo)是求參加摸獎的人獲利η的數(shù)學(xué)期望。由ε與η關(guān)系為η=ε-5，利用公式Eη=Eε-5可獲解答。 　　解 設(shè)ε為抽到的2球錢數(shù)之和，則ε的可能取值如下： 　　ε=2（抽到2個1元）， 　　ε=6（抽到1個1元，1個5元）， 　　ε10（抽到2個5元）。 　　所以，由題意： 　　，， 　　， 　　， 　　又設(shè)η為抽獎?wù)攉@利可能值，則η=ε-5，所以抽獎?wù)攉@利的期望為： 　　。 　　點(diǎn)撥 要分清楚是誰獲利？不能忽視了先交5元才能參加這一抽獎。因此，不能只計(jì)算Eε，最終Eη的結(jié)果為負(fù)值，說明摸獎?wù)呷糁貜?fù)這種抽獎，平均每摸一次要虧1.4元。 　　　　例2 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下： 　　ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 　　 　　試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較。 　　分析 一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小。 　　解 工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為： 　　， 　??； 　　工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為： 　　， 　　 　　由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但Dε>Dη，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定。 　　點(diǎn)撥 期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化，即計(jì)算方差。方差大說明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 　　 　　例3 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ε的方差不超過。 　　分析 一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)ε只有兩個值，因此，只要求出隨機(jī)變量的概率分布，用定義就可以解決。 　　解 記一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)ε可能值為0，1。 　　ε的分布列為 　　 ε 0 1 p 1-p p 　　 　　∴ε的期望Eε=0(1-p)+1p=p， 　　ε的方差 　　 　　當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p即時(shí)取等號。 　　點(diǎn)撥 將文字?jǐn)⑹鲂詥栴}，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號表達(dá)，這是一種重要的數(shù)學(xué)抽象思維能力。 　　 　　例4 某尋呼臺共有客戶3000人，若尋呼臺準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請客戶在指定時(shí)間來領(lǐng)取。假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為4%。問尋呼臺能否向每一位客戶都發(fā)出領(lǐng)獎邀請？若能使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？ 　　分析 可能來多少人，是一個隨機(jī)變量。由于每人是否去領(lǐng)獎，相互間是獨(dú)立的，因而隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，用數(shù)學(xué)期望來反映平均領(lǐng)獎人數(shù)，即能說明是否可行。 　　解 設(shè)來領(lǐng)獎的人數(shù)ε=k，(k=0，1，2，…，3000)，所以，則ε～B(3000，0.04)，那么Eε=30000.04=120（人）>100（人）。 　　答：尋呼臺不能向每一位客戶都發(fā)送領(lǐng)獎邀請。若要使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準(zhǔn)備120份禮品。 　　點(diǎn)撥 數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平。用它來刻畫、比較和描述取值的平均情況，在一些實(shí)際問題中有重要價(jià)值。因此，要想到用期望來解決這一問題。 　　　　【課本習(xí)題解答】 　　練習(xí)（P12） 　　1．離散型隨機(jī)變量的期望是對隨機(jī)變量在試驗(yàn)中所取得的值的平均值的一種描述，一般情況下未必等于它在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率最大的值。舉例略。 　　2．Eε=2.3。 　　3．Eη=0。 　　4．設(shè)其中所含白球個數(shù)為ε，則ε的分布列如下表： 　　 ε 0 1 2 3 4 p 　　 　　可得Eε=2。 　　5．，Eε=2.5。 　　6．ε～B（10，0.9），Eε=9。 　　練習(xí)（P15） 　　1．Eε=00.1+10.2+20.4+30.2+40.1=2， 　　 　　2．Eε=C， 　　。 　　3．Eε=0(1-p)+1p=p, 　　 　　1．解：該工人一個季度里所得獎金為ε，則ε是一個離散型隨機(jī)變量。由于該工人每月完成任務(wù)與否是等可能的，可從他每月完成任務(wù)的概率等于，所以， 　　，， 　　，， 　　則（元） 　　2．（1）4； （2）9。 　　3．解：設(shè)該商場國慶節(jié)在商場外的促銷活動獲得的經(jīng)濟(jì)效益為ε萬元，由已知，有 　　P(ε=10)=0.6，P(ε=-4)=0.4， 　　所以，Eε=100.6+(-4) 0.4=4.4（萬元）。即在國慶節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%的情況下，在商場外的促銷活動的經(jīng)濟(jì)效益的期望是4.4萬元，超過在商場內(nèi)促銷活動可獲得的經(jīng)濟(jì)效益2萬元。所以，商場應(yīng)該選擇商場外的促銷活動。 　　4．ε～B（20，0.06），Eε=200.06=1.2。 　　5．拋擲2枚均勻硬幣，都出現(xiàn)正面的概率為，所以，，。 　　6．解：拋擲兩個骰子，兩個骰子都不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)的概率是，所以至少有一個5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是。所以。。 　　7．；，，。由此可知，甲品牌手表的質(zhì)量比乙品牌手表的質(zhì)量好。 　　8．，，。 由于 ，即甲種棉花纖維長度的方差小些，所以甲種棉花的質(zhì)量好（纖維長度比較均勻）。