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2019-2020年北師大版必修5高中數(shù)學(xué)第二章《正弦定理》word教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5》（北師大版）第二章，正弦定理第一課時(shí)，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。 根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。 二、學(xué)情分析 對(duì)于高一的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。 三、設(shè)計(jì)思想： 本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。 四、教學(xué)目標(biāo)： 1．讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā), 通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。 2．通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。 3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程。 教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器。 六、教學(xué)過程： （一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī) 師生活動(dòng)： 教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測(cè)得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測(cè)得CA距離，如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？ 學(xué)生：思考提出測(cè)量角A，C （圖1） 教師：若已知測(cè)得， ，要計(jì)算A、B兩地距離，你有辦法解決嗎？ 學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形，使得為6cm，， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為 490m。 老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？ 師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。 。 教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？ 學(xué)生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。 解：過作于 （圖2） 在中， ， 在中， 教師：表示對(duì)學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，，能否用、、表示呢？ 教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。 學(xué)生：發(fā)現(xiàn)， 教師：引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？ 學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。 教師：引導(dǎo) ，，，我們習(xí)慣寫成對(duì)稱形式，，，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？ 設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對(duì)特殊問題一般化，得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。 （二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想 教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。 （1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，，引導(dǎo)學(xué)生考察，，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等） （2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（學(xué)生回答它們相等） （3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：：2，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3） （圖3） 教師：對(duì)于呢？ 學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, B a A C c b (圖4) 則有，，又, 則 從而在直角三角形ABC中， 教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。） 學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、、值仍然保持相等。 我們猜想：== 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。 （三）證明猜想，得出定理 師生活動(dòng)： 教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對(duì)我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述） 學(xué)生：思考得出 ①在中，成立，如前面檢驗(yàn)。 ②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，， 作：，垂足為 在中， （圖5） 在中， 同理，在中， ③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，， 作交的延長(zhǎng)線于 （圖6） 在中， 在中， 同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 還有其它證明方法嗎？ 學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對(duì)于任意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：， 而由圖中可以看出：，， = = 等式中均除以后可得， 即。 教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。 (圖7) A B C D E F b a c （圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式 學(xué)生： 得到三角形面積公式 教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)到底有沒有什么特殊幾何意義呢？ （圖8） 學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長(zhǎng)交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。 證明：連續(xù)并延長(zhǎng)交圓于 ， 在中， 即 同理可證：， 教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過，這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？ 學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出： 在銳角三角形中，，作單位向量垂直于， （圖9） 即 同理： 對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。 教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。 設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。 （四）利用定理，解決引例 師生活動(dòng)： 教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。 學(xué)生：馬上得出 在中， （五）了解解三角形概念 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性 教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。 設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。 （六）運(yùn)用定理，解決例題 師生活動(dòng)： 教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。 學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型： ①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如； ②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。 師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。 例1：在中，已知，，，解三角形。 分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。 例2：在中，已知，，，解三角形。 例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流。 用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。 設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。 （七）嘗試小結(jié)： 教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。 學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。 師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)： （1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。 （2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。 （3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。 （八）作業(yè)設(shè)計(jì) 作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1、2題。 思考題：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。 課外鏈接：課后通過查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用 七、設(shè)計(jì)思路： 本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過程，通過“觀察——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。 1、 結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī) 數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。 2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想 通過特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。 3、證明猜想，得出定理 引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛好，在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識(shí)。